Merhaba sevgili arkadaşlar, fonksiyon grafikleri videolarıyla devam ediyorum.
Yanda eşittir f(x) polinom fonksiyonunun grafiği verildi.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi f türev x'in grafiği olabilir?
Şimdi olabilir dediği grafiği tam olarak çizmemizi istemedi.
Yani ne lazım o zaman bize?
x eksenini kestiği yerler artanlık azalanlık.
Ne zaman x ekseninin üzerinde yani pozitif, ne zaman x ekseninin altında onlara dikkat etmemiz gerekiyor.
Ve f(x) fonksiyonuna baktığınız eksenleri kestiği noktalar belli f(x)'in ama bu lazım değil.
Bize f türevin grafiğini soruyorsa f türevi 0 yapan değerleri bulmalıyız.
X ekseni kestiği yeri bulmak için evet f türevi 0 olduğu yerler neresidir?
Bakın f fonksiyonumuz x eşittir 1 apsisli noktada yerel maksimum değer almış.
x eşittir 4 apsisli noktada da yerel minimum değer almış.
Bakın x eşittir 1 noktasında 1 apsisli noktada çizilen teğetin eğimi sıfırdır.
Çünkü x eksenine paralel.
Bakın buradaki teğet, buradaki teğet de x eksenine paralel.
Yani f türev 1in 0 olduğunu ve f türev 4ün 0 olduğunu söyleyebiliriz.
Bu ne anlama gelir?
f türev x fonksiyonunun grafiği x eksenini 1 ve 4'te keser demektir arkadaşlar.
Şıklara baktığında hepsi x ekseni 1 ve 4'te kesiyor zaten buradan elenmedi.
Ama bakın mesela a şıkkında eksi 2'de de x eksenini kesmiş.
Yani A şıkkı diyor ki f türev, şöyle şurada f türev eksi 2 de sıfırdır diyor değil mi?
Bakalım eksi 2'de 0 olur mu?
Olmaz zaten.
Bakın x eşittir eksi 2'nin olduğu yerde f(x) fonksiyonun artan değil mi?
O aralıkta f(x) fonksiyonu artan demek ki bu aralıkta türevi pozitif olmalıdır.
X ekseni kesmez.
Pozitif olması ne demek?
x ekseninin üzerinde olması demek.
f türev eksi 2 sıfır değildir arkadaşlar.
O yüzden a şıkkını eleriz.
B şıkkında yine eksi 2'de kesmiş bunu da elediniz C'ye bakalım yine eksi 2'de kesmiş.
Bunu da eledim.
Hatta eksi 2'de teğet olmuş.
Bu da yine f türev eksi 2 sıfırdır anlamına gelir.
Ama f türev eksi 2'nin sıfır olmadığını, pozitif olduğunu biliyoruz.
D'ye bakalım bakın, ikisi de bir ve dörtte kesmiş.
Ama burada x'in farkı ne?
Birinde artarak devam etti, sonra azalana geçti.
E şıkkında da azalarak devam edip sonradan artana geçti.
Peki bunu nasıl ayırt edeceğim arkadaşlar?
Az önce bir yerden söylemiştim mesela.
Yukarı çıkalım tekrar eksi 2'nin olduğu yerde fonksiyonum artan artan değil mi?
Şöyle diyelim.
Fonksiyon bire kadar bir apsisli noktaya kadar artan demek ki 1'e kadar x'lerimiz bir olana kadar f türev fonksiyonumuz pozitiftir.
Artanmış.
f türev X fonksiyonumuz pozitif ise bu ne demek?
x ekseninin üzerindedir grafiği demek.
Evet, x eşittir 1'e kadar fonksiyonumuz x ekseninin üzerinde olacaksa cevabımız e seçeneğidir arkadaşlar.
Bakın burada X eşittir 1'e kadar fonksiyonumuz x ekseninin altında negatif değer alır diyor.
O zaman azalandır anlamına gelir.
Hayır fonksiyonumuz artandı.
Bakın şu aralıkta şöyle geldim bire kadar fonksiyonum pozitif.
Demek ki f(x) burada artan 1'den sonra birden dörde kadar negatif.
Bakın fonksiyonumuza birden dörde kadar fonksiyonum azalan.
O zaman türevi negatif olacak.
Cevabımız e seçeneğidir arkadaşlar.
Son olarak bir grafik daha çizelim, grafik videolarını bitirelim.
Fonksiyonunun grafiğini çiziniz dedik.
Grafiği çizerken ne yapıyoruz?
x'e 0 verdim yani f(0) eşittir x'e sıfır verdiğinde sıfırın küpü sıfır yaptı.
eksi İki çarpı sıfırın karesi o da sıfır yaptı.
Artı sıfır.
O zaman cevabımız sıfır.
Yani orijin ile bakın x'e de sıfır verdim y'si de sıfır çıktı.
Y eksenini kestiği nokta Y eşittir sıfır apsisli noktaymış.
Orijinmiş yani sıfıra sıfır.
Şimdi Y'ye sıfır veriyorum yani eksi sıfıra eşit diyorum arkadaşlar.
Buradan da x küp eksi iki, x kare artı x eşittir sıfırı çözmemiz gerekiyor.
x parantezine alırsam x kare eksi 2, x artı 1 eşittir sıfır elde ettim.
Ve bakın x kare eksi 2 x artı 1 nedir bunu çarpanlarına ayırdığınızda x, x bu da eksi bir eksi bir yani x eksi 1'in karesidir.
x Çarpı x eksi 1'in karesi eşittir Sıfır.
Köklerim nedir?
Şunu sıfıra eşitlediğinizde x eşittir sıfır.
Bunu sıfıra eşitlediğinizde x eksi 1 eşittir sıfırsa x eşittir birdir ve bir çift katlı köktür çünkü kuvvetim çift.
Bu ne demektir?
x eşittir bir apsisli noktada fonksiyonumuz x eksenine teğet demektir.
x eşittir 0 apsisli noktada x eksenini kesecek demektir.
Bu kısım dursun şimdi türevin yorumuna bakalım.
f türev x'imiz 3 x kare üstleri başa indirip 1 azalttım.
Artı -- eksi 4x artı 1 bunu sıfıra eşitleyip yerel maksimum minimum değerleri bulacağım.
3z'e x eksi bire eksi bir bakın.
Şöyle çapraz bir şekilde ortadaki eksi 4x'i elde ediyoruz.
O yüzden çarpanlar da 3x eksi bir çarpı x eksi 1 olarak ayrıldı ve her çarpanı sıfıra işlediğimizde 3x eksi 1'i sıfıra eşitlediniz.
Buradan x eşittir 1 bölü 3 elde ettim.
x eksi 1'i sıfıra eşitledim.
Buradan da x eşittir bir buldum.
Bunlar türevin tek katlı kökleridir.
Tablosunu kuralım, işaret tablosu yapalım.
Türevin işaretini neden inceliyorum?
Artan, azalan olduğu yerleri bulmak için.
Evet, en sağ f türevin en büyük dereceli teriminin işareti x karenin işareti ne burada arkadaşlar?
Pozitif.
O yüzden en sağa pozitif koydum.
Kökte işaret değiştirdim, kökte işaret değiştirdim.
Yani fonksiyonun x eşittir 1 bölü 3 apsisli noktaya kadar artan, sonra bire kadar azalan, birden sonra tekrar artan demek ki 2 eşittir bir bölü 3 apsisli noktada fonksiyonun maksimum değer alacak.
x eşittir bir apsisli noktada da fonksiyonum minimum değer alacak arkadaşlar.
Evet, son olarak grafiği çizelim.
Şimdi Y eksenimiz, x eksenimiz ve fonksiyon nerede kesecekti?
0.
x'i de y'yi de 0'da kesecek yani orijinde kesiyoruz.
Bir de x eşittir 1' de bakın burda kare demiştik.
O zaman burada çift katlı kökte x eşittir 1 de teğet olacaktı z eksenine ve fonksiyon bir bölü 3'te maksimum değer alacak.
Bir de minimum değer alacak.
Peki bir bölü üçte maksimum değer alacak.
Bakın şuraya geliyorum.
Şimdi şu kısımda 1 bölü 3'te x sonsuzdan 1 bölü 3'e kadar fonksiyonum artandı değil mi?
Bir bölü üçe kadar artıp artıp sonra azalacaktır.
O yüzden grafik aşağıdan başlatıyorum.
Sıfırdan kestim.
Bir bölü 3'e kadar arttım sonra azaldım x eşittir bir apsisli noktada teğet oldum ve çıktım.
Bakın bir de minimum değer aldı.
Bir bölü 3'te de yerel maksimum değerimiz var arkadaşlar.
Y eşittir x fonksiyonumuzun grafiği budur.
Yanda eşittir f(x) polinom fonksiyonunun grafiği verildi.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi f türev x'in grafiği olabilir?
Şimdi olabilir dediği grafiği tam olarak çizmemizi istemedi.
Yani ne lazım o zaman bize?
x eksenini kestiği yerler artanlık azalanlık.
Ne zaman x ekseninin üzerinde yani pozitif, ne zaman x ekseninin altında onlara dikkat etmemiz gerekiyor.
Ve f(x) fonksiyonuna baktığınız eksenleri kestiği noktalar belli f(x)'in ama bu lazım değil.
Bize f türevin grafiğini soruyorsa f türevi 0 yapan değerleri bulmalıyız.
X ekseni kestiği yeri bulmak için evet f türevi 0 olduğu yerler neresidir?
Bakın f fonksiyonumuz x eşittir 1 apsisli noktada yerel maksimum değer almış.
x eşittir 4 apsisli noktada da yerel minimum değer almış.
Bakın x eşittir 1 noktasında 1 apsisli noktada çizilen teğetin eğimi sıfırdır.
Çünkü x eksenine paralel.
Bakın buradaki teğet, buradaki teğet de x eksenine paralel.
Yani f türev 1in 0 olduğunu ve f türev 4ün 0 olduğunu söyleyebiliriz.
Bu ne anlama gelir?
f türev x fonksiyonunun grafiği x eksenini 1 ve 4'te keser demektir arkadaşlar.
Şıklara baktığında hepsi x ekseni 1 ve 4'te kesiyor zaten buradan elenmedi.
Ama bakın mesela a şıkkında eksi 2'de de x eksenini kesmiş.
Yani A şıkkı diyor ki f türev, şöyle şurada f türev eksi 2 de sıfırdır diyor değil mi?
Bakalım eksi 2'de 0 olur mu?
Olmaz zaten.
Bakın x eşittir eksi 2'nin olduğu yerde f(x) fonksiyonun artan değil mi?
O aralıkta f(x) fonksiyonu artan demek ki bu aralıkta türevi pozitif olmalıdır.
X ekseni kesmez.
Pozitif olması ne demek?
x ekseninin üzerinde olması demek.
f türev eksi 2 sıfır değildir arkadaşlar.
O yüzden a şıkkını eleriz.
B şıkkında yine eksi 2'de kesmiş bunu da elediniz C'ye bakalım yine eksi 2'de kesmiş.
Bunu da eledim.
Hatta eksi 2'de teğet olmuş.
Bu da yine f türev eksi 2 sıfırdır anlamına gelir.
Ama f türev eksi 2'nin sıfır olmadığını, pozitif olduğunu biliyoruz.
D'ye bakalım bakın, ikisi de bir ve dörtte kesmiş.
Ama burada x'in farkı ne?
Birinde artarak devam etti, sonra azalana geçti.
E şıkkında da azalarak devam edip sonradan artana geçti.
Peki bunu nasıl ayırt edeceğim arkadaşlar?
Az önce bir yerden söylemiştim mesela.
Yukarı çıkalım tekrar eksi 2'nin olduğu yerde fonksiyonum artan artan değil mi?
Şöyle diyelim.
Fonksiyon bire kadar bir apsisli noktaya kadar artan demek ki 1'e kadar x'lerimiz bir olana kadar f türev fonksiyonumuz pozitiftir.
Artanmış.
f türev X fonksiyonumuz pozitif ise bu ne demek?
x ekseninin üzerindedir grafiği demek.
Evet, x eşittir 1'e kadar fonksiyonumuz x ekseninin üzerinde olacaksa cevabımız e seçeneğidir arkadaşlar.
Bakın burada X eşittir 1'e kadar fonksiyonumuz x ekseninin altında negatif değer alır diyor.
O zaman azalandır anlamına gelir.
Hayır fonksiyonumuz artandı.
Bakın şu aralıkta şöyle geldim bire kadar fonksiyonum pozitif.
Demek ki f(x) burada artan 1'den sonra birden dörde kadar negatif.
Bakın fonksiyonumuza birden dörde kadar fonksiyonum azalan.
O zaman türevi negatif olacak.
Cevabımız e seçeneğidir arkadaşlar.
Son olarak bir grafik daha çizelim, grafik videolarını bitirelim.
Fonksiyonunun grafiğini çiziniz dedik.
Grafiği çizerken ne yapıyoruz?
x'e 0 verdim yani f(0) eşittir x'e sıfır verdiğinde sıfırın küpü sıfır yaptı.
eksi İki çarpı sıfırın karesi o da sıfır yaptı.
Artı sıfır.
O zaman cevabımız sıfır.
Yani orijin ile bakın x'e de sıfır verdim y'si de sıfır çıktı.
Y eksenini kestiği nokta Y eşittir sıfır apsisli noktaymış.
Orijinmiş yani sıfıra sıfır.
Şimdi Y'ye sıfır veriyorum yani eksi sıfıra eşit diyorum arkadaşlar.
Buradan da x küp eksi iki, x kare artı x eşittir sıfırı çözmemiz gerekiyor.
x parantezine alırsam x kare eksi 2, x artı 1 eşittir sıfır elde ettim.
Ve bakın x kare eksi 2 x artı 1 nedir bunu çarpanlarına ayırdığınızda x, x bu da eksi bir eksi bir yani x eksi 1'in karesidir.
x Çarpı x eksi 1'in karesi eşittir Sıfır.
Köklerim nedir?
Şunu sıfıra eşitlediğinizde x eşittir sıfır.
Bunu sıfıra eşitlediğinizde x eksi 1 eşittir sıfırsa x eşittir birdir ve bir çift katlı köktür çünkü kuvvetim çift.
Bu ne demektir?
x eşittir bir apsisli noktada fonksiyonumuz x eksenine teğet demektir.
x eşittir 0 apsisli noktada x eksenini kesecek demektir.
Bu kısım dursun şimdi türevin yorumuna bakalım.
f türev x'imiz 3 x kare üstleri başa indirip 1 azalttım.
Artı -- eksi 4x artı 1 bunu sıfıra eşitleyip yerel maksimum minimum değerleri bulacağım.
3z'e x eksi bire eksi bir bakın.
Şöyle çapraz bir şekilde ortadaki eksi 4x'i elde ediyoruz.
O yüzden çarpanlar da 3x eksi bir çarpı x eksi 1 olarak ayrıldı ve her çarpanı sıfıra işlediğimizde 3x eksi 1'i sıfıra eşitlediniz.
Buradan x eşittir 1 bölü 3 elde ettim.
x eksi 1'i sıfıra eşitledim.
Buradan da x eşittir bir buldum.
Bunlar türevin tek katlı kökleridir.
Tablosunu kuralım, işaret tablosu yapalım.
Türevin işaretini neden inceliyorum?
Artan, azalan olduğu yerleri bulmak için.
Evet, en sağ f türevin en büyük dereceli teriminin işareti x karenin işareti ne burada arkadaşlar?
Pozitif.
O yüzden en sağa pozitif koydum.
Kökte işaret değiştirdim, kökte işaret değiştirdim.
Yani fonksiyonun x eşittir 1 bölü 3 apsisli noktaya kadar artan, sonra bire kadar azalan, birden sonra tekrar artan demek ki 2 eşittir bir bölü 3 apsisli noktada fonksiyonun maksimum değer alacak.
x eşittir bir apsisli noktada da fonksiyonum minimum değer alacak arkadaşlar.
Evet, son olarak grafiği çizelim.
Şimdi Y eksenimiz, x eksenimiz ve fonksiyon nerede kesecekti?
0.
x'i de y'yi de 0'da kesecek yani orijinde kesiyoruz.
Bir de x eşittir 1' de bakın burda kare demiştik.
O zaman burada çift katlı kökte x eşittir 1 de teğet olacaktı z eksenine ve fonksiyon bir bölü 3'te maksimum değer alacak.
Bir de minimum değer alacak.
Peki bir bölü üçte maksimum değer alacak.
Bakın şuraya geliyorum.
Şimdi şu kısımda 1 bölü 3'te x sonsuzdan 1 bölü 3'e kadar fonksiyonum artandı değil mi?
Bir bölü üçe kadar artıp artıp sonra azalacaktır.
O yüzden grafik aşağıdan başlatıyorum.
Sıfırdan kestim.
Bir bölü 3'e kadar arttım sonra azaldım x eşittir bir apsisli noktada teğet oldum ve çıktım.
Bakın bir de minimum değer aldı.
Bir bölü 3'te de yerel maksimum değerimiz var arkadaşlar.
Y eşittir x fonksiyonumuzun grafiği budur.
