Merhaba gençler, bu videomuzda türev süreklilik ilişkisini anlatacağız.
Bir fonksiyonun x eşittir a'da türevi varsa bu noktada sürekli olmak zorundadır.
Arkadaşlar türev varsa sürekli imiş.
Bir fonksiyon x eşittir a'da sürekli değilse türevi yoktur ve fonksiyon x eşittir a'da sürekli olduğu halde türevi olmayabilir.
Şöyle özetleyelim hatta limit türev süreklilik ilişkisine bakalım.
Türevi varsa kesinlikle süreklidir.
Arkadaşlar sürekli ise kesinlikle limitimiz vardır.
Bu tarafa doğru kesinlik vardır, kesinlik var.
Şöyle diyelim limit süreklilik türev diyelim.
Limitimiz varsa bir fonksiyonun limiti varsa süreklidir diyebilir miyiz?
Limiti aynı ama belki fonksiyonun o noktadaki değeri, limiti eşit değil değil mi?
Limitimiz varsa kesinlikle süreklidir diyemeyiz.
Bir fonksiyon sürekli olduğunda da kesinlikle türevi vardır anlamına gelmez arkadaşlar.
Burada yönümüz bu tarafa olduğunda kesinlik yoktur.
Evet, bu şekilde olduğunda kesinlik varmış.
Eğer böyle yaparsanız kesinlik yoktur, türevi varsa kesinlikle sürekli olmalıdır.
Sürekli ise de kesinlikle limiti vardır.
Ama burada ne dedik?
Limit varsa sürekli olmak zorunda değildir.
Sürekli ise türevi olmak zorunda değildir.
Evet bir not düştük bir fonksiyon x eşittir a apsisli noktada sürekli değilse türevi yoktur.
Az önce söylemiştik burası çok önemli arkadaşlar.
Süreklilik yoksa türevden bahsedemeyiz.
İkinci olarak fonksiyonun grafiğinde kırılmanın olduğu noktada buna sivri uç diyoruz.
Türev yoktur yani.
Bakın altında grafiğini çizdim.
Fonksiyon arttı arttı, birden kırıldı aşağı indi.
Burada bir sivri uç oluştu değil mi?
Bu noktada türevimiz yoktur arkadaşlar.
Bunu şöyle de açıklayabilirim.
Mesela eğrimiz bu şekilde buradan bir noktadan şu noktadan geçen bir tane teğet atabilirim değil mi?
Bu teğeti böyle birazcık eğseniz farklı bir noktaya değer.
Zaten türev eğim demekti ya o zaman bu noktada bir tane teğet vardır.
Bu teğetin eğimi de türevi verecektir.
Yani türevi vardır ve bir tanedir.
Ama bakın sivri bir uç varsa ben burdan teğet atacağım diyelim.
Nereden atacağım değil mi?
Böyle atsan böyle atsam sonsuz tane teğet atabilirim ben bu sivri uçtan.
O yüzden ucu sivri olduğunda türevimiz yoktur arkadaşlar.
Yani fonksiyon grafiğinde bir ani kırılma olduğunda grafiğimiz yok.
Türevimiz yokmuş.
F x'in x eşittir a'da türevi yoktur dedik devam ediyorum.
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların x eşittir a apsisli noktalarında limit süreklilik, türev durumlarını inceleyin.
Şimdi burada şöyle diyelim limit süreklilik.
Türev.
x eşittir a'da limitimiz var mı?
Sağdan soldan yaklaştınız ikisi de B'ye yaklaştı.
O yüzden limitimiz vardır arkadaşlar ve fonksiyonun x eşittir a noktasındaki değeri de B ye eşit olduğu için süreklilik de vardır ve limit süreklilik var türevimizde.
Burada bir kırılma yok, tanımsızlık yok, süreksizlik yok.
O yüzden türevimiz de vardır.
İkinci grafiğe geçtiğimde sağdan ve soldan limite baktım ikisi de B yapar.
Yani limit vardır.
Sürekliliğe baktım.
Sağ sol limit eşit ama fonksiyonun x eşittir a noktasındaki değeri c'ye eşitmiş.
O yüzden süreklilik yoktur.
Süreklilik yoksa türev direkt yoktur diyebiliriz arkadaşlar.
Üçüncü grafiğimizde sağdan yaklaştım.
A'ya soldan yaklaştım, ikisinde de B'ye eşittir.
O halde limitimiz vardır.
Sağ sol limitleri b fonksiyonunun x eşittir a noktasındaki değeri de b.
O yüzden süreklilik de vardır.
Ama bakın sivri uç olduğu için, ani kırılma olduğu için türevimiz yoktur.
Bakın sürekli olması türevli olması anlamına gelmedi ama türevinin olması kesinlikle sürekli olduğu anlamına geliyordu.
Evet son grafiğimiz limit, süreklilik, türev diyelim.
Sağdan yaklaştım, soldan yaklaştım.
Sağdan limitim C yaparken soldan limitim B yaptı arkadaşlar.
Limit yok.
Limit yoksa zaten sürekli değildir.
Sürekli değilse zaten türevi de yoktur arkadaşlar.
Evet, bir sonraki örneğimizde bir grafik verdim.
Yanda grafiği verilen y eşittir f x fonksiyonun türevinin olmadığı noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
Türevleri de yoktur.
Süreksiz olduğu noktada yoktur ve ani kırılma yani sivri uçların oluştuğu noktada türev yoktur.
Bakın burada eksi 8 apsis, eksi 8 olan noktada bir sivri uç oluşmuş, grafik birden değişmiş, ani bir kırılma olmuş.
Burada türev yoktur, eksi 8'de yoktur dedik.
Sonra devam etti.
Hiçbir kopukluk olmadan devam ediyor.
Eksi beşe geldiğinde yeni bir sivri uç oluştu.
O yüzden X eşittir eksi 5 apsisli noktada da türevi yoktur.
Arkadaşlar bakın eksi 2'ye geldiğimizde yine bir sivri uç oluştu.
Eksi 2'de de türev yoktur.
Devam ettim.
Yine bir kopukluk olmadan devam ettik ve dörde geldiğimizde burada bir sıçrama var.
Sıçrama olduğunda zaten nedir?
Limit yoktu değil mi?
Sağ sol limit aynı değil zaten limit yok.
O zaman sürekli de değil sürekli değilse türevi yoktur arkadaşlar.
Demek ki x eşittir 4 apsisli noktada da türevimiz yokmuş.
5'e baktığınızda 5'in sağ sol limitleri aynı ama x eşittir 5 noktasında fonksiyonun bir değeri yok.
X eşittir 5'te tanımsız değil mi?
Sağa sola limit aynı ama o noktadaki değer limite eşit değil.
O zaman burada süreklilik yok.
Süreklilik yoksa yine limit de yok.
Türev de yoktur arkadaşlar.
O zaman 5 noktası da türevsiz olan bir noktadır.
Bunların toplamını sormuş, toplayalım hepsini.
Şu eksi 5 artı beşi bir götürdüm.
Eksi 10 4 de oradan eksi 6 dır arkadaşlar türevi olmayan noktaların apsisleri toplamı.
Evet son bir örneğimiz daha.
Yanda grafiği verilen y eşittir f x fonksiyonu için aşağıda verilenlerden hangisi doğrudur, hangileri doğrudur.
Biraz daha yukarı kaydıralım.
Evet, x eşittir eksi 1 de tanımsız olduğu için süreklidir, Eksi bire bakalım fonksiyon x eşittir birde eksi bir de tanımsız mı arkadaşlar?
Tanımsız ne demek?
O noktada değeri yoktur demek.
Ama eksi bir de bakın fonksiyonun değeri var.
Şurada bir nokta var.
Yani eksi bir 3'e eşit demektir değil mi?
Tamam, süreksizdir.
Bakın burada sağ sol limitler eşit ama fonksiyonun o noktadaki değeri limite eşit olmadığı için süreksizdir.
Ama bunun nedeninin tanımsız olduğundan dolayı olduğunu söylemiş süreksizdir doğru ama tanımsız olduğu için süreksiz değil, Sağ sol limiti ile fonksiyon o noktadaki değeri birbirine eşit olmadığı için süreksiz.
Yani bu yanlıştır arkadaşlar.
x eşittir beşte sürekli olmadığı için türevi yoktur.
x eşittir beşe bakalım.
Bakın sağ sol limit aynı değil o yüzden sürekli değildir bunlar.
Limiti yoktur zaten sürekli olmadığı için de türevi yoktur iki doğrudur.
x eşittir 2'de süreklidir.
Ama türevsizdir demişiz x eşittir 2'de bakın sağ sol limit eşit ve fonksiyon o noktadaki değeri de limite eşit.
Ama burada yine bir sivri uç var.
Ani kırılma var.
O yüzden türevi yoktur.
Bakın süreklidir ama türevi yoktur.
O yüzden üç de doğrudur.
Dörde bakalım x eşittir 1'de türevi yoktur demişiz.
x eşittir bir grafikte göstermedik ama X eşittir bir buradadır değil mi?
E Burada bir teğet attığınızda bir eğimi vardır bunun yani sonuçta süreklidir limiti vardır.
Grafikte bir kopma, sıçrama, tanımsızlık durumu yok o yüzden türevi vardır.
4 Yanlıştır arkadaşlar.
Doğru olan iki ve üçüncü öncülümüzdür.
Bir fonksiyonun x eşittir a'da türevi varsa bu noktada sürekli olmak zorundadır.
Arkadaşlar türev varsa sürekli imiş.
Bir fonksiyon x eşittir a'da sürekli değilse türevi yoktur ve fonksiyon x eşittir a'da sürekli olduğu halde türevi olmayabilir.
Şöyle özetleyelim hatta limit türev süreklilik ilişkisine bakalım.
Türevi varsa kesinlikle süreklidir.
Arkadaşlar sürekli ise kesinlikle limitimiz vardır.
Bu tarafa doğru kesinlik vardır, kesinlik var.
Şöyle diyelim limit süreklilik türev diyelim.
Limitimiz varsa bir fonksiyonun limiti varsa süreklidir diyebilir miyiz?
Limiti aynı ama belki fonksiyonun o noktadaki değeri, limiti eşit değil değil mi?
Limitimiz varsa kesinlikle süreklidir diyemeyiz.
Bir fonksiyon sürekli olduğunda da kesinlikle türevi vardır anlamına gelmez arkadaşlar.
Burada yönümüz bu tarafa olduğunda kesinlik yoktur.
Evet, bu şekilde olduğunda kesinlik varmış.
Eğer böyle yaparsanız kesinlik yoktur, türevi varsa kesinlikle sürekli olmalıdır.
Sürekli ise de kesinlikle limiti vardır.
Ama burada ne dedik?
Limit varsa sürekli olmak zorunda değildir.
Sürekli ise türevi olmak zorunda değildir.
Evet bir not düştük bir fonksiyon x eşittir a apsisli noktada sürekli değilse türevi yoktur.
Az önce söylemiştik burası çok önemli arkadaşlar.
Süreklilik yoksa türevden bahsedemeyiz.
İkinci olarak fonksiyonun grafiğinde kırılmanın olduğu noktada buna sivri uç diyoruz.
Türev yoktur yani.
Bakın altında grafiğini çizdim.
Fonksiyon arttı arttı, birden kırıldı aşağı indi.
Burada bir sivri uç oluştu değil mi?
Bu noktada türevimiz yoktur arkadaşlar.
Bunu şöyle de açıklayabilirim.
Mesela eğrimiz bu şekilde buradan bir noktadan şu noktadan geçen bir tane teğet atabilirim değil mi?
Bu teğeti böyle birazcık eğseniz farklı bir noktaya değer.
Zaten türev eğim demekti ya o zaman bu noktada bir tane teğet vardır.
Bu teğetin eğimi de türevi verecektir.
Yani türevi vardır ve bir tanedir.
Ama bakın sivri bir uç varsa ben burdan teğet atacağım diyelim.
Nereden atacağım değil mi?
Böyle atsan böyle atsam sonsuz tane teğet atabilirim ben bu sivri uçtan.
O yüzden ucu sivri olduğunda türevimiz yoktur arkadaşlar.
Yani fonksiyon grafiğinde bir ani kırılma olduğunda grafiğimiz yok.
Türevimiz yokmuş.
F x'in x eşittir a'da türevi yoktur dedik devam ediyorum.
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların x eşittir a apsisli noktalarında limit süreklilik, türev durumlarını inceleyin.
Şimdi burada şöyle diyelim limit süreklilik.
Türev.
x eşittir a'da limitimiz var mı?
Sağdan soldan yaklaştınız ikisi de B'ye yaklaştı.
O yüzden limitimiz vardır arkadaşlar ve fonksiyonun x eşittir a noktasındaki değeri de B ye eşit olduğu için süreklilik de vardır ve limit süreklilik var türevimizde.
Burada bir kırılma yok, tanımsızlık yok, süreksizlik yok.
O yüzden türevimiz de vardır.
İkinci grafiğe geçtiğimde sağdan ve soldan limite baktım ikisi de B yapar.
Yani limit vardır.
Sürekliliğe baktım.
Sağ sol limit eşit ama fonksiyonun x eşittir a noktasındaki değeri c'ye eşitmiş.
O yüzden süreklilik yoktur.
Süreklilik yoksa türev direkt yoktur diyebiliriz arkadaşlar.
Üçüncü grafiğimizde sağdan yaklaştım.
A'ya soldan yaklaştım, ikisinde de B'ye eşittir.
O halde limitimiz vardır.
Sağ sol limitleri b fonksiyonunun x eşittir a noktasındaki değeri de b.
O yüzden süreklilik de vardır.
Ama bakın sivri uç olduğu için, ani kırılma olduğu için türevimiz yoktur.
Bakın sürekli olması türevli olması anlamına gelmedi ama türevinin olması kesinlikle sürekli olduğu anlamına geliyordu.
Evet son grafiğimiz limit, süreklilik, türev diyelim.
Sağdan yaklaştım, soldan yaklaştım.
Sağdan limitim C yaparken soldan limitim B yaptı arkadaşlar.
Limit yok.
Limit yoksa zaten sürekli değildir.
Sürekli değilse zaten türevi de yoktur arkadaşlar.
Evet, bir sonraki örneğimizde bir grafik verdim.
Yanda grafiği verilen y eşittir f x fonksiyonun türevinin olmadığı noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
Türevleri de yoktur.
Süreksiz olduğu noktada yoktur ve ani kırılma yani sivri uçların oluştuğu noktada türev yoktur.
Bakın burada eksi 8 apsis, eksi 8 olan noktada bir sivri uç oluşmuş, grafik birden değişmiş, ani bir kırılma olmuş.
Burada türev yoktur, eksi 8'de yoktur dedik.
Sonra devam etti.
Hiçbir kopukluk olmadan devam ediyor.
Eksi beşe geldiğinde yeni bir sivri uç oluştu.
O yüzden X eşittir eksi 5 apsisli noktada da türevi yoktur.
Arkadaşlar bakın eksi 2'ye geldiğimizde yine bir sivri uç oluştu.
Eksi 2'de de türev yoktur.
Devam ettim.
Yine bir kopukluk olmadan devam ettik ve dörde geldiğimizde burada bir sıçrama var.
Sıçrama olduğunda zaten nedir?
Limit yoktu değil mi?
Sağ sol limit aynı değil zaten limit yok.
O zaman sürekli de değil sürekli değilse türevi yoktur arkadaşlar.
Demek ki x eşittir 4 apsisli noktada da türevimiz yokmuş.
5'e baktığınızda 5'in sağ sol limitleri aynı ama x eşittir 5 noktasında fonksiyonun bir değeri yok.
X eşittir 5'te tanımsız değil mi?
Sağa sola limit aynı ama o noktadaki değer limite eşit değil.
O zaman burada süreklilik yok.
Süreklilik yoksa yine limit de yok.
Türev de yoktur arkadaşlar.
O zaman 5 noktası da türevsiz olan bir noktadır.
Bunların toplamını sormuş, toplayalım hepsini.
Şu eksi 5 artı beşi bir götürdüm.
Eksi 10 4 de oradan eksi 6 dır arkadaşlar türevi olmayan noktaların apsisleri toplamı.
Evet son bir örneğimiz daha.
Yanda grafiği verilen y eşittir f x fonksiyonu için aşağıda verilenlerden hangisi doğrudur, hangileri doğrudur.
Biraz daha yukarı kaydıralım.
Evet, x eşittir eksi 1 de tanımsız olduğu için süreklidir, Eksi bire bakalım fonksiyon x eşittir birde eksi bir de tanımsız mı arkadaşlar?
Tanımsız ne demek?
O noktada değeri yoktur demek.
Ama eksi bir de bakın fonksiyonun değeri var.
Şurada bir nokta var.
Yani eksi bir 3'e eşit demektir değil mi?
Tamam, süreksizdir.
Bakın burada sağ sol limitler eşit ama fonksiyonun o noktadaki değeri limite eşit olmadığı için süreksizdir.
Ama bunun nedeninin tanımsız olduğundan dolayı olduğunu söylemiş süreksizdir doğru ama tanımsız olduğu için süreksiz değil, Sağ sol limiti ile fonksiyon o noktadaki değeri birbirine eşit olmadığı için süreksiz.
Yani bu yanlıştır arkadaşlar.
x eşittir beşte sürekli olmadığı için türevi yoktur.
x eşittir beşe bakalım.
Bakın sağ sol limit aynı değil o yüzden sürekli değildir bunlar.
Limiti yoktur zaten sürekli olmadığı için de türevi yoktur iki doğrudur.
x eşittir 2'de süreklidir.
Ama türevsizdir demişiz x eşittir 2'de bakın sağ sol limit eşit ve fonksiyon o noktadaki değeri de limite eşit.
Ama burada yine bir sivri uç var.
Ani kırılma var.
O yüzden türevi yoktur.
Bakın süreklidir ama türevi yoktur.
O yüzden üç de doğrudur.
Dörde bakalım x eşittir 1'de türevi yoktur demişiz.
x eşittir bir grafikte göstermedik ama X eşittir bir buradadır değil mi?
E Burada bir teğet attığınızda bir eğimi vardır bunun yani sonuçta süreklidir limiti vardır.
Grafikte bir kopma, sıçrama, tanımsızlık durumu yok o yüzden türevi vardır.
4 Yanlıştır arkadaşlar.
Doğru olan iki ve üçüncü öncülümüzdür.
Sıkça Sorulan Sorular
Bir fonksiyonun türevi varsa o fonksiyon sürekli midir?
Bir fonksiyonun x = a noktasında türevi varsa fonksiyon a noktasında süreklidir.
Fonksiyonda sürekli olmayan yerde türev olur mu?
Bir fonksiyon x = a noktasında sürekli değilse bu noktada türevi yoktur. Fonksiyonda sürekli olmayan yerde türev aranmaz.
Bir fonksiyonda süreklilik varsa türev var mıdır?
Bir fonksiyon x = a noktasında sürekli olduğu halde türevli olmayabilir.
Not: Fonksiyon grafiğinde kırılmanın olduğu noktada (sivri uç) türev yoktur.
