Trigonometrik Oranlar Özel Üçgenler

Merhabalar, şimdi bazı özel durumdaki üçgenleri inceleyelim.
30 60 90 üçgeni ile başlayalım.
Eşkenar üçgen konusunda da kısaca bir bahsetmiştim.
Bu üçgende eşkenarda bir iç açısı 60 derece olduğu için ve bir kenara ait yükseklik ya da açıortay ya da kenarortayın oluşturacağı 30 dereceyle 30 60 90 üçgenlerinin eşkenar içerisinde sıklıkla kullanılabileceğini söylemiştim.
Şimdi bu üçgende trigonometrik oranlara bir bakalım.
30 mesela şurada ABC eşkenar üçgenini aldım A'dan bir yükseklik indim.
Şimdi bu indiğim yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortay oluyordu.
60 dereceyi 30 30 bölüyor.
Burada aşağıda gördüğünüz kenarı da eşit bölecek.
Şimdi bir kenar uzunluğuna 2a dersem burada gördüğünüzde eşit bölünecekse a'ya a bölündü tamam.
Şimdi bu ABD dik üçgeninde şuradaki küçük şuradaki üçgenden bahsediyorum.
Bu üçgende A'yı biliyorum 2A'yı biliyorum.
Pisagor yaparsam dik üçgende AD yüksekliğini bulabiliyorum.
O da kök 3 çarpı A çıkar.
Şimdi aynı şekilde tabii burada da yapabilirdim.
Sıkıntı yok.
Şimdi ben burada 30, 60, 90 üçgeni görüyorum.
Burada sinüs 30 değerini hesaplayabilir miyim?
Dik bir üçgen rahatlıkla hesaplarım.
Nasıl hesaplarım?
Sinüs 30 nedir?
30 derecenin karşısındaki kenar uzunluğu bölü hipotenüs uzunluğu.
Şu üçgen içerisinde 30'un karşısında ne var?
A var bölü 90'ın karşısında ne var ne var 2A var.
A bölü 2A nedir?
Bir bölü 2 hesapladım bitti.
Sin 30 değerini başka üçgenlerde de kullanabilir mi artık?
Kesinlikle bu sayı eşit olacaktır.
Cosinüs 30 değerini hesaplayamaz mıyım?
Hesaplarım.
Komşusu nedir?
Kök 3a.
Hipotenüs nedir?
2a, a'lar gitti.
Kök 3 bölü iki.
Tanjantını kotanjantını da hesaplarsınız.
Artık dik bir üçgen içerisinde 30 60 90'ı biliyorsunuz karşı böyle komşu karşı bölü hipotenüs.
Bütün değerlerini hesaplarsanız sinüs kosinüs tanjant kotanjant fark etmeyecek.
Geçiş yapabiliyoruz artık.
Bir eşkenar üçgen kullanarak başka yerlere geçiş yapabileceğim artık.
30 60 90 derece üçgeninde şunu söyleyebilirim artık.
30 derecenin gördüğü kenar uzunluğu k ise 60 derecenin gördüğü kenar uzunluğu 30 derecenin gördüğünün kök üç katıdır.
90 derecenin gördüğü kenar uzunluğu ise 30 derecenin gördüğünün iki katıdır.
Bunu söyleyebilirim artık.
Bu 30 60 90 üçgeninde kesinlikle geçerli bir kuraldır artık bizim için.
Mesela şurada bir örnek aktaralım sizlere.
Diyelim ki şurası yirmi olsun.
90 verdim, 30 verdim, bir de bir kenar uzunluğunu verdim, şimdi sadece bir kenar uzunluğunu bilerek diğer kenar uzunlukları arasında geçiş yapabiliyorum.
Ne kadar güzel bir şey bu.
30 derecenin sinüsünü bilebilmek.
O yüzden aktarıyorum size.
Şimdi 30 90.
Bu açıdan 60 derece olduğunu biliyorum.
Vermedim ama bulmak için yazdım şimdi.
Şimdi bunun 30, 60, 90 derece üçgen olduğunu gördüğümü gördüm.
O zaman ben burada sinüs 30 değeriyle bir kenar uzunluğunu hesaplayabilirim.
Sinüs otuz neydi karşı bölü bunun karşısına da A diyelim karşı bölü hipotenüs.
Peki bu neye eşit olmalıydı?
30, 60, 90 üçgeninde sinüs 30 sinüs 30 dediğim işte bir bölü iki idi.
O zaman a'nın 10 olduğunu biliyorum.
Ya da ben üstte demiştim ki 90'ın karşısı 2k ise 30'un karşısı onun yarısıdır.
Yani 20'nin yarısını alırsam zaten 30'un karşısına geçiş yapabilmeliydim.
60'ın karşısı nedir?
30'un karşısının kök 3 katı.
On kök 3.
Bitti.
Pisagora girişmedim bakın onun karşısının kök 3 katını aldım.
Bitti yani Pisagor yapmama gerek yok, uzatmama gerek yok.
Artık rahatlıkla geçiş yapabiliyorum.
Mesela burada 30, şuraya da 9 verdim.
Hadi ilerleyelim dedim.
Şimdi 30 90 buranın 60 derece olduğunu biliyorum.
60 derecenin karşısı 9 ise 30 derecenin karşısı bunun kök üçe bölünmüş halidir.
Yani dokuz bölü kök 3'ten üç kök üç bulmalıyız.
30'un karşısı.
Otuzun karşısı üç kökü ise 90'ın karşısı bunun iki katı.
Yani altı kök üç olmalı.
Sadece bir kenar uzunluğu ve iç açıları biliyordum.
Bakın ne güzel geçiş yaptım kenar uzunluklarına.
Bunlardan bahsediyorum.
Burada tanjant 30'u bulabilirsiniz, kotanjant 30'u bulabilirsiniz.
Size kalmış.
Şimdi 45 45, 90 üçgenine bakalım hızlıca.
Ama bu üçgene aynı zamanda ikizkenar dik üçgen denmekte aklımızda bulunsun.
Bu üçgende dik kenarlar birbirine eşit.
Hipotenüs uzunluğu herhangi bir dik kenar uzunluğunun kök iki katına eşittir.
Bir ikizkenar dik üçgen ya da 45 45 90 üçgeni aldığınızda dik kenarlara A derseniz hipotenüs uzunluğu yani b,a yani dik kenar uzunluğunun kök iki katıdır.
A çarpı kök ikidir.
Bu kadar.
Ya da hipotenüsü biliyorsanız kök ikiye bölüp dik kenarlara geçiş yapabilirsiniz.
Birkaç örnek alalım mesela.
90 45 ve 90 45 ise buranın da 45 derece olduğunu biliyorum.
Onu da ben yazıyorum.
Dedim ki burada 2 kök 2'yi verdim x ve y'yi buluruz.
İşte burada 90, 45, 45 özel üçgeninden bunlar arasında geçiş yapabiliyorum.
Nasıl geçiş yapabiliyorum?
Şimdi burada 2 kök 2 ve y'nin eşit olduğunu biliyorum.
Çünkü açılar eşit ise bu ikizkenar dik bir üçgendir bu kenar eşittir bu kenar diyebilirim.
O zaman y yerine direkt 2 kök 2'yi yazdım.
İkizkenar dik üçgende diyeceğim ki hipotenüs uzunluğu dik kenarın kök iki katıdır.
Yani iki kök iki kök iki ile çarparsam x'i bulurum.
Buradan x'in elde edeceğim değeri 4'tür.
Gelelim şuna mesela.
Yine bir dik üçgen verdim bu açıları eşit.
Bu bu açılar eşit ise buraya 45, buraya 45 geleceğini biliyorum, İkizkenar dik üçgen zaten bunun buna eşit olduğunu biliyorum.
Yani A'nın B'ye eşit olduğunu biliyorum.
Bu sefer hipotenüsü verdim.
Nasıl geçerim dik kenarlara?
Kök ikiye bölerek.
Yani 8 bölü kök ikiden dört kök iki sana, dört kök iki de sana gelecektir.
Şimdi burada şimdi onları yazdık da bir de şu sinüs kosinüse geçiş yapalım.
Bakalım nasıl ilerleyeceğiz acaba?
90 45 45 üçgenini verdiğim zaman sinüs 45 değeri neydi?
Karşı kenar uzunluğu bölü hipotenüs.
45'in karşısına a hipotenüsüne a kök 2.
a'lar sadeleşti, bir bölü kök iki.
Kök iki ile genişletirsem paydayı kök iki bölü iki, sinüs 45 değerim artık budur.
Her yerde budur.
Değişmeyecek.
Kosinüs 45 nedir?
Bunlar zaten tümler olduğu için eşit olduğunu görüyorum.
Ne yapacaktım?
Komşu kenar bölü hipotenüs diyecektim ama öyle açık ki yine aynı şeyden gelecekti.
Kök iki bölü iki.
Tanjant 45 nedir?
Karşı bölü komşu.
a bölü a.
A'lar gitti bir kaldı ve kotanjant 45 nedir?
1 in tam tersi.
Yani bir bölü birdir.
Yine bir çıkacaktır ya da zaten bunlar tümler olduğu için birbirlerine eşit çıkacaktı.
Şimdi 15, 75, 90 üçgeninden hızlıca bir bahsedelim.
Buradan hipotenüse inen yükseklik hipotenüsün dörtte biridir.
Ya da hipotenüs hipotenüse inen yüksekliğin 4 katıdır.
Aklımızda bulunsun.
Şimdi burada bu nereden geliyor?
h'ye 4h yazdın da hocam nereden geliyor bu?
Nasıl aklımızda kalacak bu?
Şimdi burada 15, 75, 90 üçgeninde işe yarar bazı açılar elde etmemiz lazım.
Bu 15 dereceyi güzel bir açı haline getirebilirim.
Üstte ne anlattım, 30, 60, 90 anlattım.
15 dereceden 30 dereceye geçiş yapabilir miyim?
Yaparım.
2 tane 15 lazım bana 2 tane 15 toplarsa 30 eder.
İşte burada bunu elde etmenin yolu şöyle güzel bir ikizkenarlık yaratmakta.
Burayı 15 derece olacak.
Buradan 15 derece olacak şekilde bir parça ayırıyorum.
15, 15, 30 derecede burası 150 eder.
Buraya kalan açı 30 derecedir.
Şu 150 göstermese de olur.
İki iç açının toplamı komşu olmayan dış açıya eşit.
Tamam şimdi 30 var, 90 var.
Şu açının da 60 derece olduğunu görüyorum.
Çok güzel.
Şimdi burada peki birkaç harf verin de ilerleyelim.
30'un karşısına a dersem 90 ın karşısı onun iki katı oldu 2k.
Şimdi 15 15 ise bunlar birbirine eşit midir?
Evet, burada gördüğünüz eşitlik 2a'yı da buraya taşıdı.
30 60 90 üçgeninde 30'un karşısı a, 60'ın karşısı kök 3a değil midir?
Şimdi bir yere daha bakmanızı istiyorum.
90 derece, 75 derece.
O zaman buraya kaldı 15 derece.
Şimdi bakmanızı istediğim üçgen şu üçgen arkadaşlar.
Burası da 75.
Burası da 75.
Çok güzel bir ikizkenarlık da burada yakaladık.
Peki onu nasıl yazarım?
Burası 2a'ysa nereden bahsediyorum şurası?
O zaman burası da 2a'dır.
Çünkü bu açı bu açıya eşit.
O yüzden öyle yazabiliyorum.
Yani burası 2a oldu.
Şimdi ne demiştik?
Hipotenüse inen yükseklik k ise hipotenüs 4k oluyordu.
İşte benim hipotenüse inen yüksekliğim neresi?
Şurası.
Ne buldum a.
Hipotenüsü ne buldum?
2a burası 2a burası.
Onu da 4a buldum.
İşte böyle ispatını da yapmış olduk arkadaşlar.
Yani önemli bir şeydir.
Örnek vererek açıklamak istedim sizlere.
Şimdi burada bir kısa bir örnek bakalım arkadaşlar.
Şimdi bir ABC üçgeni verdim size.
Bir dikme indim köşesinden.
Bu köşede alfa, bu köşede teta açıları var.
Sinüs alfayı üç bölü beş olarak verdim.
Tanjanta geç dedim.
Şimdi burada geçiş yapabilmesi için bazı değerleri, bazı kenar uzunlukları bilebilmem lazım.
İşte bu trigonometrik oranlar bize bunları bulmamızı sağlıyor.
Arkadaşlar sinüs alfa dediğim 3 bölü 5miş.
Şimdi sinüs alfayı nasıl hesaplıyordum?
Karşı bölü hipotenüs.
Şimdi burada karşıyı da bilmiyorum.
Hipotenüsünü de bilmiyorum ama ben burada şöyle bir orantı ile geçiş yapabilirim.
3 bölü 5'i 3k bölü 5k deyip karşıya 3k, hipotenüse ise 5k yazabilir.
Tamam.
Şimdi 3 bir şey 5 üçgeni, 3 4 5.
Ama 4 hepsinde k olmalı tabii ki de.
Oranlarımızı eksik yapmamalıyız.
4k eşittir 1.6 verilmiş.
O zaman k dediğim değer nedir peki?
1.6 bölü 4 o zaman 0.4 dür.
Çok güzel oranını buldum.
O zaman 3k yerine 3 çarpı 0.4 yani 1.2 yazabilirim.
5K yerine de 5 çarpı 0.4 5 çarpı 0.4.
2.
Yazabilirim şimdi şu üçgene bakıyorum, artık bu karşısındaki uzunluğu buldum.
Tanjant tetayı hesaplama için tanjant eşittir karşı dik kenar uzunluğu.
Yani bir bölü bir nokta iki bölü komşu dik kenar uzunluğu.
Bir nokta iki eşittir bir nevi tanjant birdi 45 derece.
Buradan tetaya da geçiş yaptık.
Bakın teta açısını hesaplamış olduk arkadaşlar.