Merhabalar, sıradaki örneğimizde önemli bir soru tarzını aktarmak istiyorum.
Size bir ABC üçgeni verdim.
AC kenarına ait BD kenarortayını çizdim.
BD kenarortay uzunluğu 14, BC kenarı 16, AB kenarı x kadar uzunlukta.
x'in alabileceği kaç farklı değer vardır diye sordum.
Şimdi bu bir soru tarzıdır dostlar.
Yani bu soruya Hocam şuraya y diyeyim, buraya y diyeyim, şurada bir eşitsizlik yazayım.
Bu üçgen içerisinde bir eşitsizlik yazayım.
Sonra bir de büyüğe bakayım orada bir de eşitsizlik yazayım şeklinde ilerlemeyiniz.
Bunun kolay rahat bir yolu vardır.
Bu benzerlik ve paralellik yardımıyla oluşan bir soru tarzıdır.
Öyle çözülmesi gerekir.
Burada d noktasından BC'ye bir paralel çekilir dostlar bu paralel.
Şimdi bu d noktasını gelişigüzel söylemedim illa.
Yani D noktası dememin sebebi AC'nin orta noktası olması.
AC'nin orta noktası olunması bize başlangıç noktası olarak belirtiliyor.
O yüzden önemli.
D dememin sebebi AC'nin orta noktası olduğu, yani kenar ortayın olduğu yer.
O yüzden D noktasını seçtim.
Hocam illa bir de şu BC'ye mi paralel atacağız?
Yok illa oraya atmak zorunda değildir dostum, istersen AB'ye de paralel atabilirdik.
Yani şuradan da şu şekilde bir paralel atabilirdi.
Sıkıntı değil yani.
Nereden gidersen git şimdi buradan ilk baştaki yolla devam edelim.
D'den BC'ye paralelimi attım.
Şimdi bu paralel attıktan sonra paralellik size oran yaptırabiliyor.
Size benzerlik yaratıyor bu paralellik.
Paralel atarak benzerlik yarattınız.
Benzerlik ne ile ne arasında yarattınız?
Şuraya da E diyelim şuradaki şu değme noktasına.
IX dediğim hepsi idi bu arada.
Tamam benzerliği yarattığım yerler şu üçgen ve büyük üçgen arasında dostlar.
E burada nasıl bir benzerlik yaratıyorum?
Bire iki oranında.
Demek ki ikiye onaltı mı gelmiş?
Bire Kaç gelecek dostlar?
8 gelecek.
ED uzunluğunu buldum.
Paralellik yarattığım için benzerlik yapabildim.
Oran yapabildim.
2'ye 16 gelmiş.
O zaman bire ED uzunluğu 16'nın yarısı olmalı.
8 geldi.
Bu kadar.
ED'yi buldunuz.
Şimdi başka bir yere daha bakmanızı istiyorum.
Şurayı biraz temizleyelim.
Siz paralellik yaptıysanız buradaki uzunluklar oranı bire bir mi?
Evet, o zaman bu taraftaki oran da bire bir olmalı.
E tamamı x'ti.
O zaman birebir bölecek şekilde yarı yarıya bölelim.
x bölü iki, x bölü iki olur.
E şimdi soru bitti.
Bakınız EDB'ye.
Bu üçgen içerisinde, yani şu şeyi tekrar buraya çizersem x belli ki burası 8, burası 14 burası bitti.
Bilmediğim x bölü iki var.
Diğer iki kenar uzunluğunu da biliyorum.
Siz x'in değer aralığını yazabilir misiniz?
Artık yazarsınız.
X bölü ikiyi yani araştırmak istediğim kenara yazıyorum.
X yazmıyorum.
Bakın bu kenarın toplam uzunluğunu yazıyorum.
x bölü iki diğer iki kenarın farkından büyük.
14 eksi 8 14 artı 8'den de küçüktür.
14 eksi 8 altıdır.
14 artı 8 22 dir.
Eğer burada x bölü iki var, çarpın her tarafa ikiyle, 12 küçüktür x küçüktür, kırk dört etti.
Benden ne istendi, kaç farklı değer vardır dedi.
Buradaki terim sayısını nasıl buluyorum?
44 eksi 12 eksi bir.
32 bir daha çıkarın, 31 tane farklı değere, farklı tam sayı değerine sahiptir dostlar.
Evet, bu sorumuzda özel bir soru tarzından bahsetmek istiyorum.
ABC 3 üçgenini verdim, AD açıortayını çizdim, BD açıortayını çizdim.
2 tane iç açıortayı çizdim, D de kesişti bunlar.
AD altı dedim, BD 8 dedim.
Tamam.
AB'ye de x dedim.
x'in alabileceği tam sayı değerleri toplamını sordum.
Haydi bakalım.
Şimdi soruya hiçbir şeye bakmasam diyeceğim ki şuraya bakacağım hocam.
2 küçüktür x küçüktür 14 hocam.
6 ve 8'in farkı iki, 6 ve 8 toplarsam 14 etti.
Bunları yazdım.
Hiçbir şey bilmesem bunu yazardım şimdi.
Ama burada özel bir durum var.
Bu açıortayları size boşuna vermiş olabilir miyim?
Hayır.
Bunun özel bir durumu vardı.
Şimdi şuraya yıldızımızı atarım, ilk aklıma gelecek kural buydu.
Tamam ama işte bu özel durum bu aralığınızı değiştirecek.
Nedir o?
Bir üçgen içerisinde iki tane iç açıortayın kesişim açısı.
Yani buradan bahsediyorum.
Şuraya hadi harf verelim a diyelim.
a eşittir 90 derece artı a dediğim 2 içaçıortayın kesişim açısı eşittir 90 derece artı açıortay çizdiğimiz bu açının yarısı.
B bölü 2.
A açısı eşittir 90 derece artı B bölü 2.
E o zaman kesinlikle ve kesinlikle geniş açı 90 artı bir şey yapıyorum.
90'dan büyük buluyorum kesinlikle ve kesinlikle.
O zaman a geniş ise işlemim değişiyor.
Geniş açı olduysa size yeniden şurada bir açı kısıtlaması getirdi.
Açıdan dolayı yeniden bir kısıtlama içerisindeyim.
A'yı geniş açı düşün diyor.
Sana sadece bu kenarlar ile işlem yap demiyor.
Onla yetinme.
E burası geniş açı ise sizin nereniz değişir?
Minimum değer aralığını değişir.
Çünkü artık geniş açıdan bahsediyorum.
Bu küçük değerlere ulaşamıyorum gibi düşünün.
Tamam minimum değer aralığını değiştirecek burası.
Dar 3 olsaydı mesela diyelim burasını dar açı verseydi o zaman sizin maksimum aralığınız değişecekti.
Yani artık 14 yazmayacak o büyük değerlere ulaşamayacak gibi düşünün.
Tamam şimdi burası geniş açı.
O zaman sizin minimum değer aralığınız değişecek.
Yani artık 2 yazmayacaksınız buraya.
2 değişecek.
Nedir o yeni değer?
Kurallarda bahsetmiştik.
Konu anlatımında dostlar.
Böyle burası geniş açı olduğu durumlarda kök içerisinde kenarların kareleri toplamı yazılıyordu.
Altının karesi artı 8'in karesi kök içerisinde yeni durumda.
Geniş açı olduğu için bu duruma getiriyoruz.
Artık 2 yerine bunu buradan gelecek sonuca yazmalıyım.
x aynen duruyor.
14 de aynen duruyor, değişmiyor.
Altının karesi 8'in karesi.
Bu özel bir üçgendir.
6, 8, 10.
36, 64 daha 100 edecek.
100 şurayı yani düzenlersem 10 küçüktür x küçüktür 14 elde ediyorum.
Ben bu aralıktaki değerleri biliyorum.
Kolay.
11, 12, 13 topla diyor.
Bu 36 etti dostlar.
Güzel bir soru tarzı aklınızda kalsın.
Şimdi son örneğimizde yine güzel bir soru tarzı üzerinden gitmek istiyorum.
ABC üçgenini verdim.
B ve C köşelerinden uzattım.
Şöyle şunları bir dış açıortaylarını çizdim.
BD ve CD bunlar D'de kesişti dış açıortaylarını çizince BD 8, BC 16 olarak verilmiş.
DC eşittir x verdim.
x'in maksimum alacağı değer sorulsun.
Şimdi burada aklıma gelen ilk baştaki şey tabii ki de x dediğim şey 8 ile 16'nın farkından büyük 16 ile 8'in toplamlarından da küçüktür de.
Şimdi burada şu açılara vermem tabii ki de farklı senaryoları var.
Bu sadece ilk başta yazmam gereken şeyle bitmez.
Ne demek istiyorum?
İki tane dış açı ortayın kesişim açısı üçgende açılarda bahsetmiştik.
Buradaki açıya a derseniz buradaki de b olsun.
Yani iç açıortay çizmeliyim bu köşeye B dersem A açısını şöyle hesaplıyordum.
A dediğim iki tane dış açıortayın kesişim açısı unutmayınız.
90 derece eksi b bölü iki.
E burası kesinlikle dar mı?
Dar.
Dar bir açı yani.
A dediğim yer şurası dar açı.
Şimdi soruya bakıyorum da buranın karşılığını ben zaten biliyorum.
Niye orayla işlem yapayım ki?
Biliyorum oranın karşısını.
Yani bu soru tarzlarında x burada olsaydı bu işleme devam etseydiniz.
Evet doğru yoldasınız ama x dar açının karşısında değil ki.
O zaman bu işlemi yapmıyorum.
Buranın hepsini temizliyorum dostlar.
Burada yapmanız gereken işlemi söylüyorum.
x burada değil.
x'i gören yer neresi peki?
Şu açı siz buraya alfa deyiniz alfa dedim.
Şimdi bir bakıyorum ki doğru üzerinde ikiz açılar var.
Doğru üzerindeki ikiz açılar kesinlikle dar açılardır.
Siz bu alfa dediğim yere 90 derece diyebilir misiniz?
90 dereceden büyüğü geçtim.
90 derece diyebilir misiniz?
Diyemezsiniz.
90 deseydiniz buraya bir açı kalmayacaktı.
O yüzden burası kesinlikle dar.
İşte şimdi istediğimi elde ettim.
Çünkü x'i gören açının kesinlikle dar olduğunu biliyorum.
İşte kısıtlamamı getirebilirim.
Şimdi ilk başta diyeceğim şey 8 eksi 16 yani 8 küçüktür x küçüktür 8 artı 16 24'tü.
İlk başta yazacağım üçgen eşitliği.
Gözüm kapalı olsa üç kenarını bildiğim iki kenarlı bir üçgen de buydu.
Ama şimdi yeni bir durum var.
Açıdan dolayı kısıtlıyor beni.
Dar açı dedi.
x'i gören yer dardır dedi.
O zaman diyeceğim ki bu darlık benim maksimum değer aralığımı kısıtlar.
Artık o büyük değerlere ulaşamayacak gibi.
Düşünün açım 90'dan küçüldü.
Çünkü o zaman işte bu sekiz değerim değişmeyecek minimum değeri aralığım değişmedi x de tabii aynı.
24 yerine ne yazacağım?
Formülüm belliydi b kare artı c kare dediğim isimlendirme sebebi diğer kenar uzunlukları diye düşünün.
8'in karesi artı 16'nın karesi 8 küçüktür x küçüktür burası 8 16 8 kök 5.
8 16, 8 kök 5 üçgenidir.
Bu aslında burada şunu içeri atarsam yani köklü bir terim haline getirelim ki neler yazacağımı görebileyim.
Sekizi içeri atarsam 64 diye geçer, 64 çarpı beş de üç yüz yirmi eder.
Şimdi maksimum değerine baktığım için şurayla çok ilgilenmiyorum.
Direkt bu tarafta işlem yapıyorum.
Kök 320'den küçük bir tam sayı arıyorum dostlar.
Şimdi 18 desem 320'den büyük oluyorum.
17 desem 289 ediyor kök içerisinde.
O zaman x max eşittir on yedi On yediyi de şöyle 289 yazabiliyoruz.
O yüzden maksimum alabileceği değer budur dostlar.
Size bir ABC üçgeni verdim.
AC kenarına ait BD kenarortayını çizdim.
BD kenarortay uzunluğu 14, BC kenarı 16, AB kenarı x kadar uzunlukta.
x'in alabileceği kaç farklı değer vardır diye sordum.
Şimdi bu bir soru tarzıdır dostlar.
Yani bu soruya Hocam şuraya y diyeyim, buraya y diyeyim, şurada bir eşitsizlik yazayım.
Bu üçgen içerisinde bir eşitsizlik yazayım.
Sonra bir de büyüğe bakayım orada bir de eşitsizlik yazayım şeklinde ilerlemeyiniz.
Bunun kolay rahat bir yolu vardır.
Bu benzerlik ve paralellik yardımıyla oluşan bir soru tarzıdır.
Öyle çözülmesi gerekir.
Burada d noktasından BC'ye bir paralel çekilir dostlar bu paralel.
Şimdi bu d noktasını gelişigüzel söylemedim illa.
Yani D noktası dememin sebebi AC'nin orta noktası olması.
AC'nin orta noktası olunması bize başlangıç noktası olarak belirtiliyor.
O yüzden önemli.
D dememin sebebi AC'nin orta noktası olduğu, yani kenar ortayın olduğu yer.
O yüzden D noktasını seçtim.
Hocam illa bir de şu BC'ye mi paralel atacağız?
Yok illa oraya atmak zorunda değildir dostum, istersen AB'ye de paralel atabilirdik.
Yani şuradan da şu şekilde bir paralel atabilirdi.
Sıkıntı değil yani.
Nereden gidersen git şimdi buradan ilk baştaki yolla devam edelim.
D'den BC'ye paralelimi attım.
Şimdi bu paralel attıktan sonra paralellik size oran yaptırabiliyor.
Size benzerlik yaratıyor bu paralellik.
Paralel atarak benzerlik yarattınız.
Benzerlik ne ile ne arasında yarattınız?
Şuraya da E diyelim şuradaki şu değme noktasına.
IX dediğim hepsi idi bu arada.
Tamam benzerliği yarattığım yerler şu üçgen ve büyük üçgen arasında dostlar.
E burada nasıl bir benzerlik yaratıyorum?
Bire iki oranında.
Demek ki ikiye onaltı mı gelmiş?
Bire Kaç gelecek dostlar?
8 gelecek.
ED uzunluğunu buldum.
Paralellik yarattığım için benzerlik yapabildim.
Oran yapabildim.
2'ye 16 gelmiş.
O zaman bire ED uzunluğu 16'nın yarısı olmalı.
8 geldi.
Bu kadar.
ED'yi buldunuz.
Şimdi başka bir yere daha bakmanızı istiyorum.
Şurayı biraz temizleyelim.
Siz paralellik yaptıysanız buradaki uzunluklar oranı bire bir mi?
Evet, o zaman bu taraftaki oran da bire bir olmalı.
E tamamı x'ti.
O zaman birebir bölecek şekilde yarı yarıya bölelim.
x bölü iki, x bölü iki olur.
E şimdi soru bitti.
Bakınız EDB'ye.
Bu üçgen içerisinde, yani şu şeyi tekrar buraya çizersem x belli ki burası 8, burası 14 burası bitti.
Bilmediğim x bölü iki var.
Diğer iki kenar uzunluğunu da biliyorum.
Siz x'in değer aralığını yazabilir misiniz?
Artık yazarsınız.
X bölü ikiyi yani araştırmak istediğim kenara yazıyorum.
X yazmıyorum.
Bakın bu kenarın toplam uzunluğunu yazıyorum.
x bölü iki diğer iki kenarın farkından büyük.
14 eksi 8 14 artı 8'den de küçüktür.
14 eksi 8 altıdır.
14 artı 8 22 dir.
Eğer burada x bölü iki var, çarpın her tarafa ikiyle, 12 küçüktür x küçüktür, kırk dört etti.
Benden ne istendi, kaç farklı değer vardır dedi.
Buradaki terim sayısını nasıl buluyorum?
44 eksi 12 eksi bir.
32 bir daha çıkarın, 31 tane farklı değere, farklı tam sayı değerine sahiptir dostlar.
Evet, bu sorumuzda özel bir soru tarzından bahsetmek istiyorum.
ABC 3 üçgenini verdim, AD açıortayını çizdim, BD açıortayını çizdim.
2 tane iç açıortayı çizdim, D de kesişti bunlar.
AD altı dedim, BD 8 dedim.
Tamam.
AB'ye de x dedim.
x'in alabileceği tam sayı değerleri toplamını sordum.
Haydi bakalım.
Şimdi soruya hiçbir şeye bakmasam diyeceğim ki şuraya bakacağım hocam.
2 küçüktür x küçüktür 14 hocam.
6 ve 8'in farkı iki, 6 ve 8 toplarsam 14 etti.
Bunları yazdım.
Hiçbir şey bilmesem bunu yazardım şimdi.
Ama burada özel bir durum var.
Bu açıortayları size boşuna vermiş olabilir miyim?
Hayır.
Bunun özel bir durumu vardı.
Şimdi şuraya yıldızımızı atarım, ilk aklıma gelecek kural buydu.
Tamam ama işte bu özel durum bu aralığınızı değiştirecek.
Nedir o?
Bir üçgen içerisinde iki tane iç açıortayın kesişim açısı.
Yani buradan bahsediyorum.
Şuraya hadi harf verelim a diyelim.
a eşittir 90 derece artı a dediğim 2 içaçıortayın kesişim açısı eşittir 90 derece artı açıortay çizdiğimiz bu açının yarısı.
B bölü 2.
A açısı eşittir 90 derece artı B bölü 2.
E o zaman kesinlikle ve kesinlikle geniş açı 90 artı bir şey yapıyorum.
90'dan büyük buluyorum kesinlikle ve kesinlikle.
O zaman a geniş ise işlemim değişiyor.
Geniş açı olduysa size yeniden şurada bir açı kısıtlaması getirdi.
Açıdan dolayı yeniden bir kısıtlama içerisindeyim.
A'yı geniş açı düşün diyor.
Sana sadece bu kenarlar ile işlem yap demiyor.
Onla yetinme.
E burası geniş açı ise sizin nereniz değişir?
Minimum değer aralığını değişir.
Çünkü artık geniş açıdan bahsediyorum.
Bu küçük değerlere ulaşamıyorum gibi düşünün.
Tamam minimum değer aralığını değiştirecek burası.
Dar 3 olsaydı mesela diyelim burasını dar açı verseydi o zaman sizin maksimum aralığınız değişecekti.
Yani artık 14 yazmayacak o büyük değerlere ulaşamayacak gibi düşünün.
Tamam şimdi burası geniş açı.
O zaman sizin minimum değer aralığınız değişecek.
Yani artık 2 yazmayacaksınız buraya.
2 değişecek.
Nedir o yeni değer?
Kurallarda bahsetmiştik.
Konu anlatımında dostlar.
Böyle burası geniş açı olduğu durumlarda kök içerisinde kenarların kareleri toplamı yazılıyordu.
Altının karesi artı 8'in karesi kök içerisinde yeni durumda.
Geniş açı olduğu için bu duruma getiriyoruz.
Artık 2 yerine bunu buradan gelecek sonuca yazmalıyım.
x aynen duruyor.
14 de aynen duruyor, değişmiyor.
Altının karesi 8'in karesi.
Bu özel bir üçgendir.
6, 8, 10.
36, 64 daha 100 edecek.
100 şurayı yani düzenlersem 10 küçüktür x küçüktür 14 elde ediyorum.
Ben bu aralıktaki değerleri biliyorum.
Kolay.
11, 12, 13 topla diyor.
Bu 36 etti dostlar.
Güzel bir soru tarzı aklınızda kalsın.
Şimdi son örneğimizde yine güzel bir soru tarzı üzerinden gitmek istiyorum.
ABC üçgenini verdim.
B ve C köşelerinden uzattım.
Şöyle şunları bir dış açıortaylarını çizdim.
BD ve CD bunlar D'de kesişti dış açıortaylarını çizince BD 8, BC 16 olarak verilmiş.
DC eşittir x verdim.
x'in maksimum alacağı değer sorulsun.
Şimdi burada aklıma gelen ilk baştaki şey tabii ki de x dediğim şey 8 ile 16'nın farkından büyük 16 ile 8'in toplamlarından da küçüktür de.
Şimdi burada şu açılara vermem tabii ki de farklı senaryoları var.
Bu sadece ilk başta yazmam gereken şeyle bitmez.
Ne demek istiyorum?
İki tane dış açı ortayın kesişim açısı üçgende açılarda bahsetmiştik.
Buradaki açıya a derseniz buradaki de b olsun.
Yani iç açıortay çizmeliyim bu köşeye B dersem A açısını şöyle hesaplıyordum.
A dediğim iki tane dış açıortayın kesişim açısı unutmayınız.
90 derece eksi b bölü iki.
E burası kesinlikle dar mı?
Dar.
Dar bir açı yani.
A dediğim yer şurası dar açı.
Şimdi soruya bakıyorum da buranın karşılığını ben zaten biliyorum.
Niye orayla işlem yapayım ki?
Biliyorum oranın karşısını.
Yani bu soru tarzlarında x burada olsaydı bu işleme devam etseydiniz.
Evet doğru yoldasınız ama x dar açının karşısında değil ki.
O zaman bu işlemi yapmıyorum.
Buranın hepsini temizliyorum dostlar.
Burada yapmanız gereken işlemi söylüyorum.
x burada değil.
x'i gören yer neresi peki?
Şu açı siz buraya alfa deyiniz alfa dedim.
Şimdi bir bakıyorum ki doğru üzerinde ikiz açılar var.
Doğru üzerindeki ikiz açılar kesinlikle dar açılardır.
Siz bu alfa dediğim yere 90 derece diyebilir misiniz?
90 dereceden büyüğü geçtim.
90 derece diyebilir misiniz?
Diyemezsiniz.
90 deseydiniz buraya bir açı kalmayacaktı.
O yüzden burası kesinlikle dar.
İşte şimdi istediğimi elde ettim.
Çünkü x'i gören açının kesinlikle dar olduğunu biliyorum.
İşte kısıtlamamı getirebilirim.
Şimdi ilk başta diyeceğim şey 8 eksi 16 yani 8 küçüktür x küçüktür 8 artı 16 24'tü.
İlk başta yazacağım üçgen eşitliği.
Gözüm kapalı olsa üç kenarını bildiğim iki kenarlı bir üçgen de buydu.
Ama şimdi yeni bir durum var.
Açıdan dolayı kısıtlıyor beni.
Dar açı dedi.
x'i gören yer dardır dedi.
O zaman diyeceğim ki bu darlık benim maksimum değer aralığımı kısıtlar.
Artık o büyük değerlere ulaşamayacak gibi.
Düşünün açım 90'dan küçüldü.
Çünkü o zaman işte bu sekiz değerim değişmeyecek minimum değeri aralığım değişmedi x de tabii aynı.
24 yerine ne yazacağım?
Formülüm belliydi b kare artı c kare dediğim isimlendirme sebebi diğer kenar uzunlukları diye düşünün.
8'in karesi artı 16'nın karesi 8 küçüktür x küçüktür burası 8 16 8 kök 5.
8 16, 8 kök 5 üçgenidir.
Bu aslında burada şunu içeri atarsam yani köklü bir terim haline getirelim ki neler yazacağımı görebileyim.
Sekizi içeri atarsam 64 diye geçer, 64 çarpı beş de üç yüz yirmi eder.
Şimdi maksimum değerine baktığım için şurayla çok ilgilenmiyorum.
Direkt bu tarafta işlem yapıyorum.
Kök 320'den küçük bir tam sayı arıyorum dostlar.
Şimdi 18 desem 320'den büyük oluyorum.
17 desem 289 ediyor kök içerisinde.
O zaman x max eşittir on yedi On yediyi de şöyle 289 yazabiliyoruz.
O yüzden maksimum alabileceği değer budur dostlar.
