Üçgende Açılara Giriş

Merhaba dostlar konumuz üçgende açı.
Üçgende açı diyorsak yine öncelikle bir üçgeni tanımamız gerekiyor.
Üçgen, doğrusal olmayan üç parçanın oluşturduğu şeklidir.
Yani ben buradaki AB'yi BC'yi ve AC'yi birleştirirsem oluşan o kapalı şekle üçgen diyeceğim dostlar.
AB'yi birleştirdim, BC'yi.
Aynı zamanda AC'yi birleştirdim, işte bu şekil bir üçgen olmakta, dostlar ABC'nin birleşerek oluşturduğu bu kapalı şekle üçgen diyoruz.
Şimdi burada AB, BC, AC dediğim kenarlar olmakta.
ABC dediklerim de köşeler olmaktadır.
Kenarların birbirleriyle yaptığı açılar eğer üçgenimizin iç tarafında ise iç açılar yani şunlardan bahsediyorum.
A, B, C açıları iç açı olmakta.
Şöyle o paketi uzattık.
Şöyle şöyle şöyle yapalım.
Eğer dış tarafındaysa d, f dediğim bu açılar işte bunlar da bu üçgenimizin dış açıları olmaktadır dostlar.
Şimdi üçgenler de bazı sınıflandırmalara sahiptir dostlar.
E peki nedir bunlar?
Kenarlarına ve açılarına göre sınıflandırma dostlar.
Şimdi ilk başta kenarlarına göre biz sınıflara ayıralım bakalım şu üçgenleri nelerdir bunlar?
Bir eşkenar üçgen.
Eşkenar üçgen dediğimiz bütün kenar uzunlukları birbirlerine eşit olan üçgendir dostlar, A-B-C üçgeni ilk başta gördüğünüz üçgen bütün kenar uzunlukları 4 santim olduğu için bir eşkenar üçgendir ve eşkenar üçgenin bütün iç açıları birbirlerine eşit ve 60 derecedir.
İkinci olarak ikizkenar üçgeni inceleyelim.
Ikizkenar üçgen dediğimiz sadece iki kenar uzunluğu birbirine eşit olan üçgendir dostlar, A-B-C üçgeninde AB eşittir.
AC 6 santim olduğu için A-B-C bir ikizkenar üçgendir ve A-B-C açısı ACB açısına eşit olmaktadır.
Taban açıları birbirlerine eşittir.
Çeşit kenar üçgen de dostlar bütün kenar uzunlukları birbirinden farklıdır.
A-b-c üçgenine baktığınız zaman beş santim yedi santim dokuz santimi görmekteyiz.
Bütün kenar uzunlukları birbirlerinden farklıysa ise bu üçgen çeşit kenar üçgendir ve bunun bütün iç açıları da birbirinden farklı olmak zorundadır dostlar.
Bu da önemli bir nokta.
Şimdi açılarına göre bir sınıflandıralım bakalım.
Bunlar da dar açılı üçgen, geniş açılı üçgen ve dik üçgen olarak adlandırılmaktadır.
Dar açılı üçgen dediğimiz dostlar, üçgen içerisinde yer alan bütün iç açılarımız 0 derece ve 90 derece arasındaki ölçü ise yani dar açılı bir ölçüye sahipse bu üçgen bir dar açılı üçgendir.
Eğer ikinci şekilde gördüğünüz gibi bir üçgen içerisinde yer alan bir iç açımız 180 derece ve 90 derece arasında ise yani bir geniş açı ise işte bu üçgen de bir geniş açılı üçgendir.
Üçgen içerisinde yer alan bir köşedeki açımız 90 dereceye eşit ise bu üçgen de dik üçgen olarak adlandırılmaktadır.
Şimdi üçgene dair bazı kurallara geçelim.
Ne kurallara sahiptir?
Üçgen kapalı bir şekil olduğu için bazı kurallarımıza sahiptir.
Nedir bunlar?
Bir üçgenin iç açılar toplamı 180 derecedir.
Şimdi A, B artı C eşittir 180 derece yazmalıyım bir üçgen için.
Peki bu nereden gelmektedir hocam derseniz, burada BC ye paralel olacak şekilde A'dan bir BC'ye paralel attım.
Tamam mı bir doğru çizdim buradan.
Şimdi ben biliyorum ki şimdi doğruda açılar konusunda anlatmıştık iç ters açılar ya da Z Kuralı olarak da hatırlayabilirsiniz.
Buradaki paralellikten dolayı A dediğim açı buraya da gelebilmektedir dostlar.
Aynı şekilde burada da bir Z kuralı görmektesiniz doğru mu?
Buradaki C dediğim açı ölçüsü bu tarafa gelebilmektedir.
C'yi buraya da yazabilirim.
Ben buraya bir doğru çizdim dostlar.
Doğru dediğim doğru açı olmalı.
Yani 180 derece olmalı.
A artı B artı C dediğim 180 derece olmalı.
Üstte bir doğru yarattım.
Çünkü ben buradan bir ispat yapmış oldum dostlar, işte üçgenin iç açılarının 180 derece olduğunun ispatını gerçekleştirmiş olduk.
Geçelim diğerine.
Bir üçgenin dış açılar toplamı ise 360 derecedir.
Bu nereden gelmekte hocam?
Bu da basit dostlar.
Şimdi burası bir doğru olduğu için 180 derece eksi A olmalı.
Aynı derece buranın iç açısı da 180 eksi derece b.
Buranın iç açısı 180 derece eksi C olmakta.
Ben biliyorum ki ABC üçgeni içersinde bir üstte anlattım.
İç açılar toplamı 180 derece etmeli ve o zaman şuraya hatta yazalım iç açılar toplamı diyelim.
Yani siz burada 180 x artı 180 eksi B, artı 180 eksi C derseniz bu üçünü toplamı 180 derece etmeli.
Ve buradan a, b, c yalnız bırakınca dostlar gelen kural sadece bu.
a artı b artı c dediğim de üçgene ait dış açı dış açılarının toplamı idi.
İşte buradan kuralımızın ispatını yapmış oluyoruz.
Devam edelim.
Aynı köşeye ait dış ve iç açıortaylar birbirlerine diktir demişim.
Şimdi ABC üçgenimi çizdim.
bc'yi uzattım biraz c köşesinden bakalım.
Diyelim ki ben dış açı ortayımı çiziyorum, iç açı ortayımı çiziyorum.
Tamam şimdi bunları çizdikten sonra gösterelim bir de şunların açıortay olduğunu hatta harfler de verelim.
A ve b bunların açı ölçüleri birbirlerine eşit.
Iç açıortay ve dış açıortay birbirlerine dik diyor.
Neden?
Çünkü ben burayı uzattıysam bir doğru açı yaratmış oldum.
Doğru mu?
180 derece.
Tamam burada bir doğru açı yaratmış oldum.
180 derece eşittir ne olmalı dostlar?
Bu gördüğünüz C köşesindeki açılarının toplamı iki tane a ve iki tane b'nin toplamı.
Sadeleştirelim 2 ile.
90 derece eşittir a artı b.
İşte zaten biz de bunu söylüyorduk.
Neyi söylüyorduk?
İç açı bir köşeye ait iç ve dış açı ortaylar birbirlerine diktir.
Neden?
Çünkü iç ve ve dış açı toplamı burada gördüğünüz gibi a artı aralarındaki açı a artı b'dir ve burada 90 derece olduğunu da ispatlamış olduk dostlar.
Geçelim diğerine.
İki tane iç açı toplamı kendilerine komşu olmayan köşenin dış açısına eşittir demişiz.
Şimdi ne demek istiyorum?
Z eşittir x artı y.
İki tane iç açı komşu olmayan dış açıya eşit.
Bu nereden gelmekte peki dostlar?
Burada da C'den AB ye paralel çizelim dostlar şurayı bir kaldırıyorum, burası Z kadardı.
C den AB'ye paralelimi çektim.
Şu paralelliği de göstermiş olalım.
Şimdi yine ters açılar yaratmadık mı dostlar?
Burada gördüğünüz x açısı buraya gelmez mi?
Şuraya x'imizi yazalım, şöyle de gösterelim.
Tamam.
Aynı şekilde dostlar AB paraleldir bu yeni çizdiğimiz yer dedik.
Yeni paralel şimdi burada yöndeş açı tanımlamaz mıyız dostlar?
Y dediğimiz bu açı aynı zamanda buraya eşit değil midir?
Yöndeşliğin tanımı buydu.
Tamam o zaman Z dediğim yer gördüğünüz gibi x artı y'ye eşitlendi bile.
Ispatını bu şekilde yapabilirsiniz.
Devam edelim Bumerang kuralıyla.
Bumerang olarak adlandırılmış şekli ona benzediğinden dolayı.
Kısaca şöyle söyleyelim.
İçeride gördüğünüz bu mor renkte olan A, B, C açılarının toplamı dışarıda gördüğünüz bu BDC açısı yani D'ye eşittir.
Şimdi bu nereden gelmektedir?
Dostlar şu B ile D'yi uzatınız isterseniz.
Böyle uzattık.
Tamam şimdi iki tane iç açının toplamı kendilerine komşu olmayan dış açıya eşit mi?
O zaman A artı B'nin ölçüsü bu gördüğünüz açıya eşit değil mi?
Şuraya da d diyelim DEC iç açısı A artı B oldu.
Aynı şekilde DGC üçgeni içerisinde de iki tane iç açısının toplamı kendilerine komşu olmayan dış açıya eşit midir?
Yani siz bu iki açıyı toplayıp buraya yazmayacak mıydınız?
Ve de eşittir A artı B artı C'yi de böyle elde etmiş olmayacak mıdır?
Siz aynı kuralı bu şekilde de elde edebilirsiniz.
Farklı bir şekilde ispatını göstermiş olduk.
Devam edelim, yıldız kuralıyla bitirelim.
Yıldız kuralı da şekli yıldıza benzediğinden dolayı böyle isimlendirilmiş.
Bu şekilde gördüğünüz köşedeki beş açının A artı B artı C artı D artı E'nin toplamı 180 derecedir diyoruz.
Neden böyle diyoruz?
Bu da basit bir nedenden oluşmakta dostlar.
Şu üçgene bakarsak şimdi iki tane iç açının toplamı yani A ve C'nin toplamı kendilerine komşu olmayan dış açıya eşit midir?
Evet.
E Buraya A artı C yazabiliriz.
Şimdi bakmamız gereken üçgeni değiştiriyorum ve kuralını tekrarlıyorum.
İki tane iç açının toplamı bir üçgende kendilerine komşu olmayan dış açıya eşit midir?
Evet, o zaman buraya da B artı E yazabilir miyim?
B artı E'yi de buraya getirdim.
Şimdi sadece şu üçgene bakıp iç açılar toplamı yazsam şunu yazmayacak mıydım?
Evet, A artı B artı C artı D artı E dediğim buranın iç açılar toplamı.
Bu da zaten benim yıldız kuralında anlattığım kuraldan ibarettir dostlar, bunun da ispatını bu şekilde gösterebiliriz.