Herkese merhabalar, üçgende kendi altındayız.
Üçgenin alanı çoğu yerde karşımıza çıkmakta ve fazlaca alan bulma yolumuz vardır.
Hemen başlayalım.
Şimdi üçgen de alan bulma yolları şöyle anlatılabilir.
Başlangıç olarak girelim.
Bir kenar uzunluğu ve o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısı size üçgenin alanını verecektir.
A-b-c üçgenin de A kenarına ait yüksekliği yani H ait çizdikten sonra a çarpı h a bölü 2 size O üçgenin alanını verecektir.
B ait yükseklik içerseniz b çarpı heye b iki C'ye ait yükseklik isterseniz c çarpı c 2 size o üçgenin alanını verecektir.
Şimdi Dikdik merkezinde de bahsettim.
Bizim üçgenin mizin çeşidine göre bir kenara ait yüksekliğin konumu farklı pozisyonlarda olabilir.
Ne demek istiyorum?
Dar açılı ya da dik üçgende ya da geniş açılı bir üçgen de dikdik merkezi değişir.
O zaman yükseklikleri min konumları da değişmektedir.
Şimdi başlayalım Darıca'da üçgenini.
Darıca'da bir üçgen di dikdik merkezi üçgeni mizin iç bölgesindedir.
Yani siz herhangi bir kenara dikin derseniz üçgenin içerisinde olacaktır bu dik ondan bahsediyorum.
A'ya indiğiniz dik üçgen içerisinde veya alanı hesaplarsak mağ çarpı h a iki aynı şekilde b isterseniz b çarpı h ve bir iki c.y isterseniz c çarpı hece birliği ki size alanı verecektir.
Peki dik bir üçgende ne yapacağım?
Dik bir üç kendi alan hesaplama iki şekile indirgenebilir.
Şimdi dik bir üçgen de dik dik merkezi 90 derecenin olduğu köşe dir.
Yani burada B.
A'ya ait yükseklik, A.C, ACEA ait yükseklik, B.A.
Ve belgeye ait yükseklik de HC olduğu için bu üçünün kesişimi.
Burada gördüğünüz gibi dik köşe olan A köşesi dir.
Yani 3 kendimizin üzerindedir.
Darıca'da üçgende üçgeni mizin içindeydi.
Dik üçgen de üç gemimizin üzerindedir.
Şimdi burada alan hesabı bir şöyle.
Yani dik kenarlarının çarpımı belli ki bir de şöyle hesaplanır.
Ipod Venüs çarptı.
Hipotezin üsse inen yükseklik bölü 2.
Tane hesaplama yolumuz vardır.
Peki geniş açılı üçgende ne yapıyoruz?
Geniş açılı üçgen de iki kenar A2 yüksekliği miz gördüğünüz gibi üçgenin dışında kalıyor.
Zaten geniş açılı bir üçgen de dik dik merkezi üç gemimizin dışındaydı.
Kenarlara ait yükseklikleri çizdim.
Bunları uzatıp bir yerde kesip ettirirse meğer dikdik merkezi gördüğünüz gibi üçgenin dışarısında bir yerde kalmaktadır.
İşte burada mesele A kenarın ait yükseklik burada gördüğünüz an A'nın uzantısını çizdiğim dikme yani H ağıdır.
A Çarpmaya, Birlik'i size alanı verecektir.
İşte ama burada geniş açılı bir üçgen olduğu için yüksekliğin dışarıda olmasını olması gerektiğini bilmemiz lazım.
Ya da B kenarına ait yükseklik B kenarını uzatıyorum.
Diğer köşeden ona bir dikme indiriyoruz.
Onun uzantısına b çarpı heybe birlike size yine aynı üçgenin alanını verecektir ve geniş açılı köşeden çıktığım dikme üçgenin iç bölgesinde kalmaktadır.
Bu da C çarpı H cebeli 2 ile bize aynı alanı vermektedir.
Şimdi şuraya bir de sinüs to alan formülünü eklemek istiyorum.
Sinüs tavan formülü der ki bir üçgen de iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa alan hesap diyebilirsin.
Mesela siz alfa açısını biliyorsanız alanınızı şu üçüyle hesaplayabilirsiniz.
Ne demek istiyorum?
B çarpı, C çarpı yani ne yaptım bu açının yanındaki kenarları çıkarttığım, daha sonra bu açı aralarındaki açanın sinüs çarpı bölü 2 yapıyoruz.
Çarpı derken yanlış söyledim bölü 2 yapıyoruz.
Aynı şekilde mesela şu üçün biliyoruz diyelim ne yapıyoruz?
Kenarlar çarpımı yani açının yanındaki A-B-C kenarları çarpımı çarpı sinüs aralarındaki açı sinüs.
Bu A ve C uzunlukları aralarındaki açı beto olduğu için sinüs beta bölü iki ya da şöyle yapıyorsak yani bu üçünü biliyorsak a çarpı b çarpı sinüs zeta bölü 2 bize üçgenin alanına farklı şekillerde verecektir.
Burada tabii ki üçgende de bunu yapıyoruz, bunu da göstermiş olalım, dik üçgende hesaplama yolumuz ne dedik.
Kenarlar çarpımı böyle ilkiydi ama bunu şöyle de yazabiliriz sinüs alanına kenarlar çarpımı, çarpı aralarındaki açının s'in üssü bölü iki ya aralarındaki açı 90 derece yani sinüs 90 yazacağım.
Sinüs 90 derecede birdir ve buraya bir yazmama gerek kalmıyor artık.
A çarpı b iki sinüs tabanla da elde edilebilen bir kuraldır.
Bunu da göstermiş olalım.
Şimdi buraya bir not ekleyelim.
Bu noktada şunu aktaralım.
Yüksekliğe eşit olan üç genlerin alanları oranı taban uzunlukları oranına eşittir.
Yani burada A-B-C üçgeni ve Ar-Ge'de üçgeni baktığınız zaman.
Bu yükseklik ikisinde de ortaktır.
İşte kuralımız diyor ki yükseklikleri eşit olan bu üç genlerin alanları oranı taban uzunlukları oranına eşittir.
Yani bu yüksekliği hem IX.
Kenan'a A-B-C üçgeni için iç IX kenarına çizecek.
Dim aynı zamanda arcade üçgeni de İyiye kenarını çizecek.
Bu yüksekliği Ebu yüksekteki ikisi için ortak İsa A bir bölüm A 2 eşittir IX Bali'ye yazabilirim diyor.
Kural size ya da bunu şöyle de aktarabilir.
İlk sabir geliyorsa Y ye da A-2 gelmelidir.
Yani şöyle de mesela bir örnek üzerinden İnel diyebiliriz.
8, 7.
5.
Şimdi 3 tane üçgenin var.
Bir, iki, üç böyle numaralı numaralı numaralandırma aldım sekize 8 a gelir dersek 7'ye 7 a 5'e 5 a gelmeli demeliyiz.
Çünkü bu üç üçgen de de aynı yükseklik ortaktır.
Burada gördüğünüz yükseklik sekize de 8 Ahit'te yükseklik 7'ye de ait yükseklik, 5'e de ait yükseklik ve bu yükseklik ortak ZSA taban uzunluğu okullarına oranla alan dağıtılır.
Sekize A kata kadar gelirse 7 daha katı kadar gelir, beşe de A katı kadar gelir demeliyim.
Bir not daha aktaralım.
Bu sefer yükseklikleri aynı olan değil de indikleri tabana eşit ise burada gördüğünüz gibi 3 genlerin alanlarının oranı gördüğünüz gibi alan A-B-C bir alan RBC.
Yani a, b, c bölü de BBC'ye yapıyorum.
Burada ne ortak indikleri taban ortak yani.
Böylece kenar ortak ise burada üç genlerin alanları oranı eşittir yükseklik itlerin oranı.
Abc'nin alanını, NBC'nin oranı biliyorsam ABD'deki yükseklik bölü de ABD'deki yükseklik yapmalıyım.
Sıralamayı karıştırmayın.
Bu kuralımız da böyledir.
Şimdi burada hatta bir not daha ekleyelim buraya tabikide şunu da gösterelim.
Tabanı zorluklarıyla o taban ay yükseklikleri eşit olan üç genlerin alanları eşittir.
Şimdi o zaman bu şekilde de efenin alanı şurada gösterelim.
Mesele de efenin alanı aynı zamanda.
F DF üssü Eğin'in alanına, aynı zamanda DF iki üssü ve Eğin'in alanına da eşittir.
Neden eşittir?
Çünkü bir hem taban uzunlukları aynı 3 3 üçgende de değil, kenar ortak ve 3.
Üçgende de yüksekliği aynı.
Yani D.
E'ye ait çizeceğim yükseklik.
Üçünde de bu olacaktı.
O yüzden bunlar da alan eşitliği sağlanabiliyor.
Çünkü alanda yapacağım bütün işlemleri üçünde de aynı yapacağım.
Aynı yükseklik, aynı kenar uzunluğunu çarpıp ikiye bölecek.
Ve bunu yaparsam demek ki böyle bir eşitlik sağlayabilir.
O zaman şunu da diyebiliriz.
Dev bir parelel D2 ise üçgenin F köşesini ne kadar oynarsa oynasın alan değişmez.
Çünkü tabanları ve o taban ait yükseklik hep aynı.
Yani siz burada gördüğünüz bu yalnız kurt olan fareyi nereye götürür iseniz götürün alan değişmeyecek.
Ne demek istiyorum?
Bir tane daha nokta aldım.
Yine bu doğru üzerinde Şura yı seçtim.
Burayı yeni Eye köşesiyle de birleştirdim.
Burada gördüğünüz şu üçgenin alanı da diğer üçüyle eşit olacaktır.
Çünkü burada da aynı şekilde ortak olan eye ineceğim yükseklik yine bu iki paralel doğru arasındaki şu yüksekliğe eşit olacaktı.
Yapacağım işlemler aynı olunca alan da aynı çıkacaktır tabi ki de.
Üçgenin alanı çoğu yerde karşımıza çıkmakta ve fazlaca alan bulma yolumuz vardır.
Hemen başlayalım.
Şimdi üçgen de alan bulma yolları şöyle anlatılabilir.
Başlangıç olarak girelim.
Bir kenar uzunluğu ve o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısı size üçgenin alanını verecektir.
A-b-c üçgenin de A kenarına ait yüksekliği yani H ait çizdikten sonra a çarpı h a bölü 2 size O üçgenin alanını verecektir.
B ait yükseklik içerseniz b çarpı heye b iki C'ye ait yükseklik isterseniz c çarpı c 2 size o üçgenin alanını verecektir.
Şimdi Dikdik merkezinde de bahsettim.
Bizim üçgenin mizin çeşidine göre bir kenara ait yüksekliğin konumu farklı pozisyonlarda olabilir.
Ne demek istiyorum?
Dar açılı ya da dik üçgende ya da geniş açılı bir üçgen de dikdik merkezi değişir.
O zaman yükseklikleri min konumları da değişmektedir.
Şimdi başlayalım Darıca'da üçgenini.
Darıca'da bir üçgen di dikdik merkezi üçgeni mizin iç bölgesindedir.
Yani siz herhangi bir kenara dikin derseniz üçgenin içerisinde olacaktır bu dik ondan bahsediyorum.
A'ya indiğiniz dik üçgen içerisinde veya alanı hesaplarsak mağ çarpı h a iki aynı şekilde b isterseniz b çarpı h ve bir iki c.y isterseniz c çarpı hece birliği ki size alanı verecektir.
Peki dik bir üçgende ne yapacağım?
Dik bir üç kendi alan hesaplama iki şekile indirgenebilir.
Şimdi dik bir üçgen de dik dik merkezi 90 derecenin olduğu köşe dir.
Yani burada B.
A'ya ait yükseklik, A.C, ACEA ait yükseklik, B.A.
Ve belgeye ait yükseklik de HC olduğu için bu üçünün kesişimi.
Burada gördüğünüz gibi dik köşe olan A köşesi dir.
Yani 3 kendimizin üzerindedir.
Darıca'da üçgende üçgeni mizin içindeydi.
Dik üçgen de üç gemimizin üzerindedir.
Şimdi burada alan hesabı bir şöyle.
Yani dik kenarlarının çarpımı belli ki bir de şöyle hesaplanır.
Ipod Venüs çarptı.
Hipotezin üsse inen yükseklik bölü 2.
Tane hesaplama yolumuz vardır.
Peki geniş açılı üçgende ne yapıyoruz?
Geniş açılı üçgen de iki kenar A2 yüksekliği miz gördüğünüz gibi üçgenin dışında kalıyor.
Zaten geniş açılı bir üçgen de dik dik merkezi üç gemimizin dışındaydı.
Kenarlara ait yükseklikleri çizdim.
Bunları uzatıp bir yerde kesip ettirirse meğer dikdik merkezi gördüğünüz gibi üçgenin dışarısında bir yerde kalmaktadır.
İşte burada mesele A kenarın ait yükseklik burada gördüğünüz an A'nın uzantısını çizdiğim dikme yani H ağıdır.
A Çarpmaya, Birlik'i size alanı verecektir.
İşte ama burada geniş açılı bir üçgen olduğu için yüksekliğin dışarıda olmasını olması gerektiğini bilmemiz lazım.
Ya da B kenarına ait yükseklik B kenarını uzatıyorum.
Diğer köşeden ona bir dikme indiriyoruz.
Onun uzantısına b çarpı heybe birlike size yine aynı üçgenin alanını verecektir ve geniş açılı köşeden çıktığım dikme üçgenin iç bölgesinde kalmaktadır.
Bu da C çarpı H cebeli 2 ile bize aynı alanı vermektedir.
Şimdi şuraya bir de sinüs to alan formülünü eklemek istiyorum.
Sinüs tavan formülü der ki bir üçgen de iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa alan hesap diyebilirsin.
Mesela siz alfa açısını biliyorsanız alanınızı şu üçüyle hesaplayabilirsiniz.
Ne demek istiyorum?
B çarpı, C çarpı yani ne yaptım bu açının yanındaki kenarları çıkarttığım, daha sonra bu açı aralarındaki açanın sinüs çarpı bölü 2 yapıyoruz.
Çarpı derken yanlış söyledim bölü 2 yapıyoruz.
Aynı şekilde mesela şu üçün biliyoruz diyelim ne yapıyoruz?
Kenarlar çarpımı yani açının yanındaki A-B-C kenarları çarpımı çarpı sinüs aralarındaki açı sinüs.
Bu A ve C uzunlukları aralarındaki açı beto olduğu için sinüs beta bölü iki ya da şöyle yapıyorsak yani bu üçünü biliyorsak a çarpı b çarpı sinüs zeta bölü 2 bize üçgenin alanına farklı şekillerde verecektir.
Burada tabii ki üçgende de bunu yapıyoruz, bunu da göstermiş olalım, dik üçgende hesaplama yolumuz ne dedik.
Kenarlar çarpımı böyle ilkiydi ama bunu şöyle de yazabiliriz sinüs alanına kenarlar çarpımı, çarpı aralarındaki açının s'in üssü bölü iki ya aralarındaki açı 90 derece yani sinüs 90 yazacağım.
Sinüs 90 derecede birdir ve buraya bir yazmama gerek kalmıyor artık.
A çarpı b iki sinüs tabanla da elde edilebilen bir kuraldır.
Bunu da göstermiş olalım.
Şimdi buraya bir not ekleyelim.
Bu noktada şunu aktaralım.
Yüksekliğe eşit olan üç genlerin alanları oranı taban uzunlukları oranına eşittir.
Yani burada A-B-C üçgeni ve Ar-Ge'de üçgeni baktığınız zaman.
Bu yükseklik ikisinde de ortaktır.
İşte kuralımız diyor ki yükseklikleri eşit olan bu üç genlerin alanları oranı taban uzunlukları oranına eşittir.
Yani bu yüksekliği hem IX.
Kenan'a A-B-C üçgeni için iç IX kenarına çizecek.
Dim aynı zamanda arcade üçgeni de İyiye kenarını çizecek.
Bu yüksekliği Ebu yüksekteki ikisi için ortak İsa A bir bölüm A 2 eşittir IX Bali'ye yazabilirim diyor.
Kural size ya da bunu şöyle de aktarabilir.
İlk sabir geliyorsa Y ye da A-2 gelmelidir.
Yani şöyle de mesela bir örnek üzerinden İnel diyebiliriz.
8, 7.
5.
Şimdi 3 tane üçgenin var.
Bir, iki, üç böyle numaralı numaralı numaralandırma aldım sekize 8 a gelir dersek 7'ye 7 a 5'e 5 a gelmeli demeliyiz.
Çünkü bu üç üçgen de de aynı yükseklik ortaktır.
Burada gördüğünüz yükseklik sekize de 8 Ahit'te yükseklik 7'ye de ait yükseklik, 5'e de ait yükseklik ve bu yükseklik ortak ZSA taban uzunluğu okullarına oranla alan dağıtılır.
Sekize A kata kadar gelirse 7 daha katı kadar gelir, beşe de A katı kadar gelir demeliyim.
Bir not daha aktaralım.
Bu sefer yükseklikleri aynı olan değil de indikleri tabana eşit ise burada gördüğünüz gibi 3 genlerin alanlarının oranı gördüğünüz gibi alan A-B-C bir alan RBC.
Yani a, b, c bölü de BBC'ye yapıyorum.
Burada ne ortak indikleri taban ortak yani.
Böylece kenar ortak ise burada üç genlerin alanları oranı eşittir yükseklik itlerin oranı.
Abc'nin alanını, NBC'nin oranı biliyorsam ABD'deki yükseklik bölü de ABD'deki yükseklik yapmalıyım.
Sıralamayı karıştırmayın.
Bu kuralımız da böyledir.
Şimdi burada hatta bir not daha ekleyelim buraya tabikide şunu da gösterelim.
Tabanı zorluklarıyla o taban ay yükseklikleri eşit olan üç genlerin alanları eşittir.
Şimdi o zaman bu şekilde de efenin alanı şurada gösterelim.
Mesele de efenin alanı aynı zamanda.
F DF üssü Eğin'in alanına, aynı zamanda DF iki üssü ve Eğin'in alanına da eşittir.
Neden eşittir?
Çünkü bir hem taban uzunlukları aynı 3 3 üçgende de değil, kenar ortak ve 3.
Üçgende de yüksekliği aynı.
Yani D.
E'ye ait çizeceğim yükseklik.
Üçünde de bu olacaktı.
O yüzden bunlar da alan eşitliği sağlanabiliyor.
Çünkü alanda yapacağım bütün işlemleri üçünde de aynı yapacağım.
Aynı yükseklik, aynı kenar uzunluğunu çarpıp ikiye bölecek.
Ve bunu yaparsam demek ki böyle bir eşitlik sağlayabilir.
O zaman şunu da diyebiliriz.
Dev bir parelel D2 ise üçgenin F köşesini ne kadar oynarsa oynasın alan değişmez.
Çünkü tabanları ve o taban ait yükseklik hep aynı.
Yani siz burada gördüğünüz bu yalnız kurt olan fareyi nereye götürür iseniz götürün alan değişmeyecek.
Ne demek istiyorum?
Bir tane daha nokta aldım.
Yine bu doğru üzerinde Şura yı seçtim.
Burayı yeni Eye köşesiyle de birleştirdim.
Burada gördüğünüz şu üçgenin alanı da diğer üçüyle eşit olacaktır.
Çünkü burada da aynı şekilde ortak olan eye ineceğim yükseklik yine bu iki paralel doğru arasındaki şu yüksekliğe eşit olacaktı.
Yapacağım işlemler aynı olunca alan da aynı çıkacaktır tabi ki de.
