Merhaba dostlar, alan konusundayız şimdi birkaç soru bakalım, size büyük bir ABD üçgeni verdim.
Sonra dedim ki E noktası ACD üçgeninin şurada gördüğünüz bu üçgenin dış teğet çemberinin merkezi ise burada gördüğünüz BC uzunluğu 6, CD uzunluğu 4, AC diktir BD, tamam.
Alan BEC kaçtır?
Şurada gördüğünüz üçgenin alanını size soruyorum.
Nasıl buluyorum?
Şimdi bir çemberin merkezini verdim de ne demektir bu dış diye çemberin merkezi, niye verdim bana dıştan teğet olan bir çemberin merkezinden demeyiniz.
Dış çemberinin diğer manasını bilmeliyiz.
Neydi o dostlar?
Dış teğet çemberin merkezi aynı zamanda dış açı ortayların kesişim merkeziydi.
Gördüğünüz gibi bu tarafta olduğuna göre A ve C'deki dış açıortayları çizmeli D'deki dış açıortay ile buranın teğet olma imkanı yok tabii.
Peki buradaki dış açıortayı nasıl çizelim?
AD'yi uzattırım burada gördüğünüz dış açı bu mu?
Evet, iç dış açıortay böyle yaratıldı.
Tamam, C köşesinin dış açısı zaten burada mı?
Evet ACB açısı zaten dış açı.
Bunu eşit bölen açıortay budur.
Doğru mu?
E noktası burası olduğu için buraya giden parça açıortay olmalı.
Dış açı bu.
O zaman EC dediğim dış açıortay ise ECA açısı ECB açısı böyle oldu.
Tamam üstte de aynı şeyi yaptık.
Tamam bunları yazdım.
Şimdi bunları yazdım da neleri görmem lazım?
2 tane açıortay buldum.
Ne demek istiyorum?
Bir hem dış açıortay var burada tamam mı?
ACD üçgenine ait bir dış açıortayı yakaladık.
Hem de ABC üçgenine de ait şurada şu üçgene ait bir iç açıortay var burada.
Demek ki ikisini de kullanacağım.
Başlayalım o zaman dış açıortayla başlayalım.
Çünkü iç açıortayı kullanmam için şuraya şuraya da buradan herhangi bir bilgiye daha sahip olmam lazım da hiçbiri yok.
O zaman ilk işlemim dış açıortay.
Ne yapacağım peki?
Dış açıortay teoremini yazacağım.
Şimdi dış açıortayı şu üçgene göre yazdığımız için çünkü bu üçgene ait bir dış açı ortaydan bahsediyoruz.
Kuralımız şu şekilde.
Bura ve bura yani BC bölü BD 6 bölü 6 artı 4'ten 10 eşittir şuraya a diyelim b diyelim.
A dediğim AC uzunluğu b dediğim de AD uzunluğu.
a bölü b olmalı.
E bunlar sadeleşir üç bölü beş.
A dediğime 3k dersem b dediğim 5k oluyormuş.
Şurayı temizledim şu oranı yazdım artık tamam.
E 3k bir şey, 5k.
3-4-5 üçgeni değil midir bu?
Hiç k'leri yazmama bile gerek yok, Pisagor yapsam burasını da 4k bulacağım.
4 eşittir 4k ise k eşittir 1.
O zaman k'leri yazmama gerek yok.
Tamam sadece Pisagor yaptım.
4k eşittir 4 ise k eşittir 1 buldum k yerine bir yazdım.
3 4 5 üçgeni gördüm.
Tamam şimdi artık dış açı ortayımı kullanarak güzel bilgiler elde ettim.
Evet artık iç açı ortayımı kullanabilirim.
Çünkü buraya ve buraya ait bilgilere sahibim.
O zaman açıortayın yan kollarına dair bilgilere sahipsem tabanlarına dair tabanları gidecek orana dair bilgiye de sahibim.
3'e m gelirse bakın iç açıortay teoremi yapıyorum.
ABC üçgeni içerisindeyim.
Tamam 3'e m gelirse 6'ya ne gelir?
2m gelir.
3'ün iki katı olmuş m'nin de iki katı olmalı.
Diyeceğim bitti.
İç açıortay teoremini de kullandım mı?
Şimdi geçelim alan özelliğine artık.
Soru alan.
m'ye a kadar alan gelirse 2 m'ye 2 a kadar alan gelmez mi?
Gelir.
Neden gelir?
Çünkü bu ABC üçgeni içersinde AEC ve EBC üçgenine ait yükseklikleri eşit değil aynı değil mi?
Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları oranı kenar taban uzunlukları oranına eşittir.
m'ye 2m mi?
O zaman a'ya 2a olmalı.
Çünkü bunların yükseklikleri eşit.
Şimdi siz bu ABC üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz.
Ben hesaplarım çünkü dik bir üçgen görüyorsunuz ve bir dik kenarı üç, bir dik kenarı altı.
Toplam alanım ne?
3 a.
Peki ben bu toplam alanı nasıl hesaplıyorum?
Dik kenarlar çarpımı bölü iki.
Doğru mu?
Şu 3, şu üçü götürdü, burada da sadeleşme oldu a eşittir üçü buldum.
Soru a eşittir üç değil.
Soru alan BEC idi.
Yani 2a'yı soruyordu.
Alanımız 6 santimetre kare bulunur.
Evet geçelim diğer alan sorumuza.
Büyük bir ABC üçgeni verdim.
Dedim ki DE paraleldir BC.
Alan ADG 4 santimetre kare.
Şurada gördüğünüz küçük alan 4 santimetre kare.
Alan FCEG şurada gördüğünüz alan 16 santimetre kare.
Tüm alanı soruyor.
Alan ABC.
Bir verilen bilgiyi daha söyleyelim.
Tabii burayı atladım.
BD eşittir 2 tane AD.
Yani siz AD'ye k kadar derseniz BD eşittir 2 k oluyor.
Tamam.
Şimdi nereden gitmeliyim?
Bir şu verdiği şeyi Bir göstermeliyim.
DE paraleldir BC boşuna verilmedi.
O zaman şu paralelliği gösterelim.
Çok güzel.
Şimdi paralellik var.
Şurada oran var, alan var.
Yalvarıyor bana benzerlik yap ve alanlara geçiş sağla.
Ne demek istiyorum?
Şu ABF üçgenine bakınız ABF üçgeninde dostlar paralellik var mı?
Var.
O zaman benzerlik var mı, var.
Benzerlikle alanın ilişkisi neydi?
Dostlar benzerlikleri oranının karesi eşittir alanları oranı yapıyorduk.
Aynısını burada yapacağım.
Burada benzer olan üçgenleri gözden kaçırmayın.
Benzer olan üçgenleri bir şöyle gösterelim.
Birinci üçgenim bu ADG.
Diğer benzer olan üçgenim de ABF dir.
Bunlar arasında oran yazıyorum.
Şurayı tekrar gösteririm tamam mı?
O zaman bu oranı nasıl gösteririm?
Bir kere k ADG'ye aittir.
3k de ABF'ye aittir.
O yüzden böyle yapıyoruz.
AD bölü AB, k bölü 3k'nin karesi.
Neden bunun karesini aldım?
Çünkü bu benzerliklerin oranıydı.
Benzerliklerin oranının karesini alıp alanların oranına eşitliyorum.
Neyin alanlarının oranına?
Bu benzer dediğim üçgenlerin alanının oranına.
Benzer dediğim üçgenler.
Birincinin alanı ne?
Alan ADG.
E vermiş onu.
4.
Diğerinin alanı ne?
Diğer üçgenim ne burası değil.
Bakın burası üçgen bile değil.
ABF.
Yani şuraya A dersem diğer üçgenin A artı dörde tekabül eden alan tamam.
Bir k bölü 3 k bunlar sadece 1 bölü 3.
1 bölü 3'ün karesi etti bana 1 bölü 9.
1 bölü 9 eşittir 4 bölü a artı 4.
İçler dışlar.
36 eşittir A artı 4.
A'yı buldum, eşittir 32 santimetre kare.
Artık burayı siliyorum yerine 32 güzel güzel yazıyorum.
Şimdi bu tarafa geçmeyeyim doğru mu?
Şurayı bulmalıyız.
Şimdi dostlar buradaki oranın aynısı şurada da yok mudur?
Yani buraya m buraya 2m gelmez mi?
Gelir.
Neden?
Çünkü burada paralellik var.
Buradaki oran buraya da yansımalı.
Bu benzerliği paralellik götürüyor zaten dostlar.
Tamam mı yani burası k'ye k.
Hocam ben burayı bilemem demeyin.
Tamam mı?
Buradaki oran burada da sağlanmalı dostlar.
Tamam ben o zaman burada da aynı işlemi yapacağım.
Bir bölü 3'ün karesi eşittir, şurası bölü şurasının tamamı diyeceğim falan filan.
O zaman şuraya bakıp burayı yönlendirebilirim.
Ne demek istiyorum?
Burası 4'tü 32 oldu doğru mu?
8 katına geldi.
O zaman bu tarafta aynısı olmalı.
4'tü 8 katı 32 oldu.
Neydi 8 katı?
16 olmuş.
Neyin katı neyin 8 katı 16'dır?
2'nin 8 katı 16'dır.
Aynı işlemi burada da yapsaydım ona getirmeliydim.
Şimdi burada yapsaydım ne olacak sağlamasını yapalım.
2 bölü 16 artı 2'den 2 bölü 18 eşittir 1 bölü 3'ün karesi 1 bölü 9 doğru mudur?
Tamam aynı şeyi burada da yapacaktık.
Toplam alanımı istiyor.
Toplayalım 4 16, 20 etti.
52 etti 54 eşittir toplam alan 54 santimetre kare.
Toplam alan yazalım.
Tamam.
Sonra dedim ki E noktası ACD üçgeninin şurada gördüğünüz bu üçgenin dış teğet çemberinin merkezi ise burada gördüğünüz BC uzunluğu 6, CD uzunluğu 4, AC diktir BD, tamam.
Alan BEC kaçtır?
Şurada gördüğünüz üçgenin alanını size soruyorum.
Nasıl buluyorum?
Şimdi bir çemberin merkezini verdim de ne demektir bu dış diye çemberin merkezi, niye verdim bana dıştan teğet olan bir çemberin merkezinden demeyiniz.
Dış çemberinin diğer manasını bilmeliyiz.
Neydi o dostlar?
Dış teğet çemberin merkezi aynı zamanda dış açı ortayların kesişim merkeziydi.
Gördüğünüz gibi bu tarafta olduğuna göre A ve C'deki dış açıortayları çizmeli D'deki dış açıortay ile buranın teğet olma imkanı yok tabii.
Peki buradaki dış açıortayı nasıl çizelim?
AD'yi uzattırım burada gördüğünüz dış açı bu mu?
Evet, iç dış açıortay böyle yaratıldı.
Tamam, C köşesinin dış açısı zaten burada mı?
Evet ACB açısı zaten dış açı.
Bunu eşit bölen açıortay budur.
Doğru mu?
E noktası burası olduğu için buraya giden parça açıortay olmalı.
Dış açı bu.
O zaman EC dediğim dış açıortay ise ECA açısı ECB açısı böyle oldu.
Tamam üstte de aynı şeyi yaptık.
Tamam bunları yazdım.
Şimdi bunları yazdım da neleri görmem lazım?
2 tane açıortay buldum.
Ne demek istiyorum?
Bir hem dış açıortay var burada tamam mı?
ACD üçgenine ait bir dış açıortayı yakaladık.
Hem de ABC üçgenine de ait şurada şu üçgene ait bir iç açıortay var burada.
Demek ki ikisini de kullanacağım.
Başlayalım o zaman dış açıortayla başlayalım.
Çünkü iç açıortayı kullanmam için şuraya şuraya da buradan herhangi bir bilgiye daha sahip olmam lazım da hiçbiri yok.
O zaman ilk işlemim dış açıortay.
Ne yapacağım peki?
Dış açıortay teoremini yazacağım.
Şimdi dış açıortayı şu üçgene göre yazdığımız için çünkü bu üçgene ait bir dış açı ortaydan bahsediyoruz.
Kuralımız şu şekilde.
Bura ve bura yani BC bölü BD 6 bölü 6 artı 4'ten 10 eşittir şuraya a diyelim b diyelim.
A dediğim AC uzunluğu b dediğim de AD uzunluğu.
a bölü b olmalı.
E bunlar sadeleşir üç bölü beş.
A dediğime 3k dersem b dediğim 5k oluyormuş.
Şurayı temizledim şu oranı yazdım artık tamam.
E 3k bir şey, 5k.
3-4-5 üçgeni değil midir bu?
Hiç k'leri yazmama bile gerek yok, Pisagor yapsam burasını da 4k bulacağım.
4 eşittir 4k ise k eşittir 1.
O zaman k'leri yazmama gerek yok.
Tamam sadece Pisagor yaptım.
4k eşittir 4 ise k eşittir 1 buldum k yerine bir yazdım.
3 4 5 üçgeni gördüm.
Tamam şimdi artık dış açı ortayımı kullanarak güzel bilgiler elde ettim.
Evet artık iç açı ortayımı kullanabilirim.
Çünkü buraya ve buraya ait bilgilere sahibim.
O zaman açıortayın yan kollarına dair bilgilere sahipsem tabanlarına dair tabanları gidecek orana dair bilgiye de sahibim.
3'e m gelirse bakın iç açıortay teoremi yapıyorum.
ABC üçgeni içerisindeyim.
Tamam 3'e m gelirse 6'ya ne gelir?
2m gelir.
3'ün iki katı olmuş m'nin de iki katı olmalı.
Diyeceğim bitti.
İç açıortay teoremini de kullandım mı?
Şimdi geçelim alan özelliğine artık.
Soru alan.
m'ye a kadar alan gelirse 2 m'ye 2 a kadar alan gelmez mi?
Gelir.
Neden gelir?
Çünkü bu ABC üçgeni içersinde AEC ve EBC üçgenine ait yükseklikleri eşit değil aynı değil mi?
Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları oranı kenar taban uzunlukları oranına eşittir.
m'ye 2m mi?
O zaman a'ya 2a olmalı.
Çünkü bunların yükseklikleri eşit.
Şimdi siz bu ABC üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz.
Ben hesaplarım çünkü dik bir üçgen görüyorsunuz ve bir dik kenarı üç, bir dik kenarı altı.
Toplam alanım ne?
3 a.
Peki ben bu toplam alanı nasıl hesaplıyorum?
Dik kenarlar çarpımı bölü iki.
Doğru mu?
Şu 3, şu üçü götürdü, burada da sadeleşme oldu a eşittir üçü buldum.
Soru a eşittir üç değil.
Soru alan BEC idi.
Yani 2a'yı soruyordu.
Alanımız 6 santimetre kare bulunur.
Evet geçelim diğer alan sorumuza.
Büyük bir ABC üçgeni verdim.
Dedim ki DE paraleldir BC.
Alan ADG 4 santimetre kare.
Şurada gördüğünüz küçük alan 4 santimetre kare.
Alan FCEG şurada gördüğünüz alan 16 santimetre kare.
Tüm alanı soruyor.
Alan ABC.
Bir verilen bilgiyi daha söyleyelim.
Tabii burayı atladım.
BD eşittir 2 tane AD.
Yani siz AD'ye k kadar derseniz BD eşittir 2 k oluyor.
Tamam.
Şimdi nereden gitmeliyim?
Bir şu verdiği şeyi Bir göstermeliyim.
DE paraleldir BC boşuna verilmedi.
O zaman şu paralelliği gösterelim.
Çok güzel.
Şimdi paralellik var.
Şurada oran var, alan var.
Yalvarıyor bana benzerlik yap ve alanlara geçiş sağla.
Ne demek istiyorum?
Şu ABF üçgenine bakınız ABF üçgeninde dostlar paralellik var mı?
Var.
O zaman benzerlik var mı, var.
Benzerlikle alanın ilişkisi neydi?
Dostlar benzerlikleri oranının karesi eşittir alanları oranı yapıyorduk.
Aynısını burada yapacağım.
Burada benzer olan üçgenleri gözden kaçırmayın.
Benzer olan üçgenleri bir şöyle gösterelim.
Birinci üçgenim bu ADG.
Diğer benzer olan üçgenim de ABF dir.
Bunlar arasında oran yazıyorum.
Şurayı tekrar gösteririm tamam mı?
O zaman bu oranı nasıl gösteririm?
Bir kere k ADG'ye aittir.
3k de ABF'ye aittir.
O yüzden böyle yapıyoruz.
AD bölü AB, k bölü 3k'nin karesi.
Neden bunun karesini aldım?
Çünkü bu benzerliklerin oranıydı.
Benzerliklerin oranının karesini alıp alanların oranına eşitliyorum.
Neyin alanlarının oranına?
Bu benzer dediğim üçgenlerin alanının oranına.
Benzer dediğim üçgenler.
Birincinin alanı ne?
Alan ADG.
E vermiş onu.
4.
Diğerinin alanı ne?
Diğer üçgenim ne burası değil.
Bakın burası üçgen bile değil.
ABF.
Yani şuraya A dersem diğer üçgenin A artı dörde tekabül eden alan tamam.
Bir k bölü 3 k bunlar sadece 1 bölü 3.
1 bölü 3'ün karesi etti bana 1 bölü 9.
1 bölü 9 eşittir 4 bölü a artı 4.
İçler dışlar.
36 eşittir A artı 4.
A'yı buldum, eşittir 32 santimetre kare.
Artık burayı siliyorum yerine 32 güzel güzel yazıyorum.
Şimdi bu tarafa geçmeyeyim doğru mu?
Şurayı bulmalıyız.
Şimdi dostlar buradaki oranın aynısı şurada da yok mudur?
Yani buraya m buraya 2m gelmez mi?
Gelir.
Neden?
Çünkü burada paralellik var.
Buradaki oran buraya da yansımalı.
Bu benzerliği paralellik götürüyor zaten dostlar.
Tamam mı yani burası k'ye k.
Hocam ben burayı bilemem demeyin.
Tamam mı?
Buradaki oran burada da sağlanmalı dostlar.
Tamam ben o zaman burada da aynı işlemi yapacağım.
Bir bölü 3'ün karesi eşittir, şurası bölü şurasının tamamı diyeceğim falan filan.
O zaman şuraya bakıp burayı yönlendirebilirim.
Ne demek istiyorum?
Burası 4'tü 32 oldu doğru mu?
8 katına geldi.
O zaman bu tarafta aynısı olmalı.
4'tü 8 katı 32 oldu.
Neydi 8 katı?
16 olmuş.
Neyin katı neyin 8 katı 16'dır?
2'nin 8 katı 16'dır.
Aynı işlemi burada da yapsaydım ona getirmeliydim.
Şimdi burada yapsaydım ne olacak sağlamasını yapalım.
2 bölü 16 artı 2'den 2 bölü 18 eşittir 1 bölü 3'ün karesi 1 bölü 9 doğru mudur?
Tamam aynı şeyi burada da yapacaktık.
Toplam alanımı istiyor.
Toplayalım 4 16, 20 etti.
52 etti 54 eşittir toplam alan 54 santimetre kare.
Toplam alan yazalım.
Tamam.
