Merhabalar, üçgende alan konusuna devam ediyoruz, güzel bir örnek çözümüyle devam edelim.
Şimdi burada AB çubuğunu görüyorsunuz.
AB çubuğum bu 12 birim uzunluğunda.
Bu AB çubuğunu 30 derece bu yönde döndürünce AC çubuğu oluşuyor.
60 derece.
Bu yönde döndürünce de AD çubuğu oluşuyor.
Şimdi burada yazmam gerekenler nedir?
Şimdi önce bir soruyu da anlatayım da soru neyi istiyor peki?
BCD üçgenin alanı yani köşeleri B, C ve D olan bir üçgen var.
Evet hocam.
İşte bunun alanını bul diyorum sana.
Şimdi burada şu oralara girişmeden önce şurayı bir temizleyelim.
İlk başta yazmam gereken şeyleri bir bileyim.
Şimdi ben bunu 30 derece döndürüyorsam.
Yahu burası 30 derece değil midir?
Evet ya ben bunu 60 derece döndürüyor isem bu açı 60 derece değil midir?
Evet.
Ben döndürdüğüm bir şeyin uzunluğunu değiştirir miyim?
AB çubuğunun uzunluğu değişecek mi döndü diye.
Hayır, AB çubuğunun eşit uzunluğu eşittir AC çubuğu ve aynı şekilde yine döndürdüğüm buraya yine değişmeyecek AD çubuğuna eşit boyu da eşittir.
O da 12 tamam.
Şimdi şu çizime tekrar geri dönelim.
Gelelim buraya, tamam.
Şimdi sizden istenen alan şu a artı şu b doğru mu?
A dediğim yer şurası.
B dediğim yer de şuradaki alan A artı B'yi bulursam sonra bitti.
Şimdi ben rahatlıkla A artı B'yi hesaplayabiliyor muyum?
Hayır.
Demek ki birkaç işlem yapmam lazım.
30 verdi, 60 verdi, 12 ler verdi.
Buralarda işlem yapacağız tabii rahatlıkla bulamıyoruz demek.
Şimdi burada şu alanı da bilmiyorum, şu alanı da bilmiyorum.
Peki şimdi bir hareket gösteriyorum.
Siz burada a artı c'yi hesaplayabilir misiniz?
Ben hesaplarım, a artı c dediğim sinüs alan formülüyle şu gördüğünüz AB ve AC çubuklarının uzunluğunu biliyorum.
Aralarındaki açıyı da biliyorum.
Sinüs alan formülüyle A artı C'yi bulabilirim aşağıya geçiyorum.
Burada da aynı şekilde kenar uzunlukları biliyorum.
Aralarındaki açıyı da biliyorum.
Sinüslü alan zaten bunun için var.
Ben B artı D'yi de hesapladım, o zaman B artı D'yi de bulabiliyorum.
Şimdi şu eski şeklim bir geri gelsin.
Şimdi şuraya bir bakar mısınız?
30 derece, 60 derece.
Ben bunları toplarım.
Etti bana 90 derece doğru mu?
Şimdi 12 var 12 var.
Aralarındaki uzunluk, aralarındaki açı 90 derece.
Neredeki alanı hesaplamış oluyorum?
İşte buradaki alanı da hesaplamış olmuyor muyum?
Buradaki alan ne peki dostlar?
C artı D'ye değil mi?
Yani siz sonunda C artı D'nin de alanını hesaplamış olmuyor musunuz?
Şimdi şuraya bakarsanız bu ikisini toplayıp şu ikisini çıkar, şu ikiliyi çıkarırsan artı C ve B artı D'yi topladım.
C artı D'yi çıkarıyorum.
C şu C'yi götürür.
Bu D, bu D'yi götürür.
Kaldı bana A artı b.
Yani neler yapacağım belli.
Bunları göstermeye çalıştım.
Tamam şimdi artık soruya dönelim.
Bu yazdıklarımızla başlayalım.
Bir şurayı silmiştik, şurayı göstermeyelim.
Şimdilik A artı C'nin hesabı ile başlayalım.
A artı C dediğimi nasıl hesaplayacak?
Sinüs taban formülü nedir?
Çarp kenarları 2 kenar da 12.
Aradaki açının sinüsü tamam.
Bölü iki.
Doğru mu?
Sinüs 30.
O da bir bölü iki değil miydi bir bölü ikiydi.
Şu biri yazmıyorum.
Aşağıda 2 çarpı 2 oldu, 2 çarpı iki 4'tür.
Şu 4'ten buraya 3 kaldı.
3 çarpı 12'den 36 birim kare tamam.
Aynı şekilde BD'ye gelelim.
B artı D dediğim alan nasıl hesaplanır?
12 çarpı 12 çarpı aradaki açının sinüsü 60 derecenin sinüsü bölü 2 sinüs 60 dediğim kök 3 bölü iki değil midir?
Evet bu iki ve iki dört etti, yine burada sadece üç otuz altı çarpı kök, üç otuz altı kök üç zaman devam edelim.
Ne yapmıştık şu C ve D'yi birleştirip şuradaki alan hesabını yapmıştık.
Neden?
Çünkü buradaki açım 30 60 daha 90 derece ediyordu.
Rahatlıkla hesaplayabilirim oradaki alanı.
Nasıl hesaplıyorum peki dostlar?
Geçelim buraya alan CAD'yi hesaplıyoruz, yani c artı d'nin toplamı c artı d eşittir.
Burada ne yapıyoruz şimdi dostlar?
Kenarları yine çarpıyorum.
Bölü iki yapıyorum çünkü bu bir dik üçgen kenarları çarp, ikiye bölün.
Buradan ne gelecek dostlar?
72 birim kare de buradan geldi.
Şimdi ben ne yapmıştım bu ikisini topla dedim, bunu da çıkar dedim.
Şurayı topluyorum, 36 artı 36 kök üç.
Şunu da çıkarıyorum.
72.
Bu bana neyi veriyordu?
Dostlar Bu c gidiyordu, bu d gidiyordu.
A artı b.
Yani aslında benden istenen alan CBD'yi veriyor dostlar.
Şöyle gösterelim buradan 36'dan 72'yi çıkarırım, tamam 36 kök üç eksi, otuz altı size alan CBD'yi verdi bile dostlar.
Evet dostlar, sıradaki örnekle devam edelim.
Şimdi ABC üçgeni verdim, içerisinde verdiğim BDE üçgeni eşkenar üçgen.
Şurada gördüğünüz bu üçgen eşkenar üçgen.
Ad uzunluğu iki birim, BD uzunluğu 4 birim, EC uzunluğu 6 birim ise şu gördüğünüz taralı alan nedir?
Şimdi bir soru da bana eşkenar üçgen verilmiş.
Ben eşkenar üçgenin alanını hеsaplayabilir miyim?
Hesapları nasıl hesaplarım?
Bir kenarını biliyorsam hesaplarım, bir kenarını biliyor muyum?
Biliyorum hocam 4, burası da 4, burası da 4.
Eşkenar üçgenin alanı nasıl hesaplanırdı?
Şuraya alan BDE diyelim eşittir a kare kök üç bölü dört formülü.
ADE'nin bir kenar uzunluğu idi.
O zaman dördün karesi çarpı kök üç bölü dört.
Yani buradan dört kök üç geldiğini biliyorum.
Şuradaki gördüğünüz alan dört kök üç şuraları biraz temizleyelim.
Karışık olmasın tamam.
Şimdi nasıl ilerleyeceğiz?
Bana bu ikiyi niye verdi, 6'yı niye verdi, ne yapacağım?
İsterseniz dostlar şuradaki 60 dereceyi kullanarak sinüs formülüyle tüm alanı hesaplayabilir misiniz?
Hesaplar mısınız?
Çünkü siz buradakinin de 4 olduğunu biliyorsunuz.
Buranın kenar uzunluğu on.
Buranın kenar uzunluğunun 6 olduğunu biliyor musunuz?
Evet biliyorsunuz tüm alanı hesaplar mısınız?
Alan ABC'yi bulabilir misiniz?
Bulabilirsiniz.
Hadi öyle yapalım o zaman.
Sinüs taban formülüyle alan ABC buluyorum.
6 çarpı on kenarları çarptım, çarpı aralarındaki açının sinüs yani sinüs 60 bölü 2.
60 bölü 30 sinüs 60 dediğim de kök 3 bölü 2'dir.
O zaman on beş kök üç eşittir alan ABC dostlar.
Ben alanı ABC istemiyorum ki taralı alanı istiyorum.
Taralı alanı bulmak için ne yapacağım?
Tüm alandan şu eşkenar üçgenin alanını çıkaracağım.
Yani alan ABC eksi 4 kök üç eşittir taralı alan dostlar.
Alan ABC 15 kök, üç eksi dört kök, üç eşittir on bir kök üç eder dostlar.
Şimdi burada diğer göstermek istediğim yol da dostlar AB'yi birleştirseydiniz siz şimdi burada ABE üçgeninde yüksekliği aynı olan iki tane üçgen var.
Birincisi ADE üçgeni dostlar.
İkinci üçgenim DBE üçgeni doğru mu?
Bu üçgenlerin yükseklikleri aynı.
O zaman 2'ye a gelirse dörde iki a gelir.
Ya da tam tersi dostlar dörde dört kök 3 mü geldi, 2'ye de 2 kök 3 gelir.
Alan ADE 2 kök 3 etti.
Şimdi alt tarafa geçmeliyim.
Bakmam gereken üçgenler şöyle olmalı.
Birinci üçgenim BDE, ikinci üçgenim de AEC.
Şöyle diyeceğim.
Dörde 6 kök 3 mü gelmiş doğru mu?
O zaman altıya kaç gelmeli demeliydim?
Aynı şekilde burada da işlem yapınca buradaki uzunluk buradaki alanı da hesaplayıp sonuca ulaşabilirdik dostlar.
Şimdi burada AB çubuğunu görüyorsunuz.
AB çubuğum bu 12 birim uzunluğunda.
Bu AB çubuğunu 30 derece bu yönde döndürünce AC çubuğu oluşuyor.
60 derece.
Bu yönde döndürünce de AD çubuğu oluşuyor.
Şimdi burada yazmam gerekenler nedir?
Şimdi önce bir soruyu da anlatayım da soru neyi istiyor peki?
BCD üçgenin alanı yani köşeleri B, C ve D olan bir üçgen var.
Evet hocam.
İşte bunun alanını bul diyorum sana.
Şimdi burada şu oralara girişmeden önce şurayı bir temizleyelim.
İlk başta yazmam gereken şeyleri bir bileyim.
Şimdi ben bunu 30 derece döndürüyorsam.
Yahu burası 30 derece değil midir?
Evet ya ben bunu 60 derece döndürüyor isem bu açı 60 derece değil midir?
Evet.
Ben döndürdüğüm bir şeyin uzunluğunu değiştirir miyim?
AB çubuğunun uzunluğu değişecek mi döndü diye.
Hayır, AB çubuğunun eşit uzunluğu eşittir AC çubuğu ve aynı şekilde yine döndürdüğüm buraya yine değişmeyecek AD çubuğuna eşit boyu da eşittir.
O da 12 tamam.
Şimdi şu çizime tekrar geri dönelim.
Gelelim buraya, tamam.
Şimdi sizden istenen alan şu a artı şu b doğru mu?
A dediğim yer şurası.
B dediğim yer de şuradaki alan A artı B'yi bulursam sonra bitti.
Şimdi ben rahatlıkla A artı B'yi hesaplayabiliyor muyum?
Hayır.
Demek ki birkaç işlem yapmam lazım.
30 verdi, 60 verdi, 12 ler verdi.
Buralarda işlem yapacağız tabii rahatlıkla bulamıyoruz demek.
Şimdi burada şu alanı da bilmiyorum, şu alanı da bilmiyorum.
Peki şimdi bir hareket gösteriyorum.
Siz burada a artı c'yi hesaplayabilir misiniz?
Ben hesaplarım, a artı c dediğim sinüs alan formülüyle şu gördüğünüz AB ve AC çubuklarının uzunluğunu biliyorum.
Aralarındaki açıyı da biliyorum.
Sinüs alan formülüyle A artı C'yi bulabilirim aşağıya geçiyorum.
Burada da aynı şekilde kenar uzunlukları biliyorum.
Aralarındaki açıyı da biliyorum.
Sinüslü alan zaten bunun için var.
Ben B artı D'yi de hesapladım, o zaman B artı D'yi de bulabiliyorum.
Şimdi şu eski şeklim bir geri gelsin.
Şimdi şuraya bir bakar mısınız?
30 derece, 60 derece.
Ben bunları toplarım.
Etti bana 90 derece doğru mu?
Şimdi 12 var 12 var.
Aralarındaki uzunluk, aralarındaki açı 90 derece.
Neredeki alanı hesaplamış oluyorum?
İşte buradaki alanı da hesaplamış olmuyor muyum?
Buradaki alan ne peki dostlar?
C artı D'ye değil mi?
Yani siz sonunda C artı D'nin de alanını hesaplamış olmuyor musunuz?
Şimdi şuraya bakarsanız bu ikisini toplayıp şu ikisini çıkar, şu ikiliyi çıkarırsan artı C ve B artı D'yi topladım.
C artı D'yi çıkarıyorum.
C şu C'yi götürür.
Bu D, bu D'yi götürür.
Kaldı bana A artı b.
Yani neler yapacağım belli.
Bunları göstermeye çalıştım.
Tamam şimdi artık soruya dönelim.
Bu yazdıklarımızla başlayalım.
Bir şurayı silmiştik, şurayı göstermeyelim.
Şimdilik A artı C'nin hesabı ile başlayalım.
A artı C dediğimi nasıl hesaplayacak?
Sinüs taban formülü nedir?
Çarp kenarları 2 kenar da 12.
Aradaki açının sinüsü tamam.
Bölü iki.
Doğru mu?
Sinüs 30.
O da bir bölü iki değil miydi bir bölü ikiydi.
Şu biri yazmıyorum.
Aşağıda 2 çarpı 2 oldu, 2 çarpı iki 4'tür.
Şu 4'ten buraya 3 kaldı.
3 çarpı 12'den 36 birim kare tamam.
Aynı şekilde BD'ye gelelim.
B artı D dediğim alan nasıl hesaplanır?
12 çarpı 12 çarpı aradaki açının sinüsü 60 derecenin sinüsü bölü 2 sinüs 60 dediğim kök 3 bölü iki değil midir?
Evet bu iki ve iki dört etti, yine burada sadece üç otuz altı çarpı kök, üç otuz altı kök üç zaman devam edelim.
Ne yapmıştık şu C ve D'yi birleştirip şuradaki alan hesabını yapmıştık.
Neden?
Çünkü buradaki açım 30 60 daha 90 derece ediyordu.
Rahatlıkla hesaplayabilirim oradaki alanı.
Nasıl hesaplıyorum peki dostlar?
Geçelim buraya alan CAD'yi hesaplıyoruz, yani c artı d'nin toplamı c artı d eşittir.
Burada ne yapıyoruz şimdi dostlar?
Kenarları yine çarpıyorum.
Bölü iki yapıyorum çünkü bu bir dik üçgen kenarları çarp, ikiye bölün.
Buradan ne gelecek dostlar?
72 birim kare de buradan geldi.
Şimdi ben ne yapmıştım bu ikisini topla dedim, bunu da çıkar dedim.
Şurayı topluyorum, 36 artı 36 kök üç.
Şunu da çıkarıyorum.
72.
Bu bana neyi veriyordu?
Dostlar Bu c gidiyordu, bu d gidiyordu.
A artı b.
Yani aslında benden istenen alan CBD'yi veriyor dostlar.
Şöyle gösterelim buradan 36'dan 72'yi çıkarırım, tamam 36 kök üç eksi, otuz altı size alan CBD'yi verdi bile dostlar.
Evet dostlar, sıradaki örnekle devam edelim.
Şimdi ABC üçgeni verdim, içerisinde verdiğim BDE üçgeni eşkenar üçgen.
Şurada gördüğünüz bu üçgen eşkenar üçgen.
Ad uzunluğu iki birim, BD uzunluğu 4 birim, EC uzunluğu 6 birim ise şu gördüğünüz taralı alan nedir?
Şimdi bir soru da bana eşkenar üçgen verilmiş.
Ben eşkenar üçgenin alanını hеsaplayabilir miyim?
Hesapları nasıl hesaplarım?
Bir kenarını biliyorsam hesaplarım, bir kenarını biliyor muyum?
Biliyorum hocam 4, burası da 4, burası da 4.
Eşkenar üçgenin alanı nasıl hesaplanırdı?
Şuraya alan BDE diyelim eşittir a kare kök üç bölü dört formülü.
ADE'nin bir kenar uzunluğu idi.
O zaman dördün karesi çarpı kök üç bölü dört.
Yani buradan dört kök üç geldiğini biliyorum.
Şuradaki gördüğünüz alan dört kök üç şuraları biraz temizleyelim.
Karışık olmasın tamam.
Şimdi nasıl ilerleyeceğiz?
Bana bu ikiyi niye verdi, 6'yı niye verdi, ne yapacağım?
İsterseniz dostlar şuradaki 60 dereceyi kullanarak sinüs formülüyle tüm alanı hesaplayabilir misiniz?
Hesaplar mısınız?
Çünkü siz buradakinin de 4 olduğunu biliyorsunuz.
Buranın kenar uzunluğu on.
Buranın kenar uzunluğunun 6 olduğunu biliyor musunuz?
Evet biliyorsunuz tüm alanı hesaplar mısınız?
Alan ABC'yi bulabilir misiniz?
Bulabilirsiniz.
Hadi öyle yapalım o zaman.
Sinüs taban formülüyle alan ABC buluyorum.
6 çarpı on kenarları çarptım, çarpı aralarındaki açının sinüs yani sinüs 60 bölü 2.
60 bölü 30 sinüs 60 dediğim de kök 3 bölü 2'dir.
O zaman on beş kök üç eşittir alan ABC dostlar.
Ben alanı ABC istemiyorum ki taralı alanı istiyorum.
Taralı alanı bulmak için ne yapacağım?
Tüm alandan şu eşkenar üçgenin alanını çıkaracağım.
Yani alan ABC eksi 4 kök üç eşittir taralı alan dostlar.
Alan ABC 15 kök, üç eksi dört kök, üç eşittir on bir kök üç eder dostlar.
Şimdi burada diğer göstermek istediğim yol da dostlar AB'yi birleştirseydiniz siz şimdi burada ABE üçgeninde yüksekliği aynı olan iki tane üçgen var.
Birincisi ADE üçgeni dostlar.
İkinci üçgenim DBE üçgeni doğru mu?
Bu üçgenlerin yükseklikleri aynı.
O zaman 2'ye a gelirse dörde iki a gelir.
Ya da tam tersi dostlar dörde dört kök 3 mü geldi, 2'ye de 2 kök 3 gelir.
Alan ADE 2 kök 3 etti.
Şimdi alt tarafa geçmeliyim.
Bakmam gereken üçgenler şöyle olmalı.
Birinci üçgenim BDE, ikinci üçgenim de AEC.
Şöyle diyeceğim.
Dörde 6 kök 3 mü gelmiş doğru mu?
O zaman altıya kaç gelmeli demeliydim?
Aynı şekilde burada da işlem yapınca buradaki uzunluk buradaki alanı da hesaplayıp sonuca ulaşabilirdik dostlar.
