Üçgenlerde Benzerlik Teoremleri Bölüm 1

Merhabalar, benzerlik konusunda temel konu anlatımından sonra sıra bazı durumlar sonucu oluşan özel durumlar incelemekte, benzerliğin temeli ilk başta anlattığım açığa açı, kenar açı, kenar ve kenar kenar kenar benzerlikleri dir.
Şimdi ise başka koşullar yardımıyla elde ettiğimiz benzer uygulamaları inceleyeceğiz.
Nedir bunlar?
Bir paralellik sonucu ortaya çıkmış kısa benzerlik yollarından bahsedeceğiz arkadaşlar.
Şimdi başlayalım.
Bir temel benzerlik teoremi bir üçgenin, bir bir üçgenin derken üçgenin altını çiziyorum bir üçgenin bir kenarına paralel bir doğru ile kesilmesi durumundan bahsediyoruz.
Bu durumda üçgenin kesik kenarları arasında oran vardır.
Arkadaşlar burada gördüğünüz gibi A bölüğü B C bölü d'ye eşittir.
Neden?
Çünkü B, C paraleldir.
Daha doğrusu bu paralellik dolayısıyla bu kuralı söyleyebiliyoruz.
E Bu size gösterdiğim bir çıkarım dır.
Yine arkadaşlar bil bir temel kural ışığında bulunmuş bir çıkarım dır.
Hemen gösterelim neden bahsettiğimi.
Adeta üçgeni mi ele aldım, uzunlukları mı yazdım.
Şimdi açılarını vermeye başlıyorum.
Bu ortak açıya TED adıyorum.
Yani hem büyük üçgende hem de küçük üçgende ortak açı olduğu için buradaki açı alfa, buradaki açıya da beta diyelim arkadaşlar.
Şimdi size şey anlatmıştım.
Doğru mu?
Doğru da açıları konusunda gösterdiğimiz paralel doğrular da yön dış açılar özelliği vardı.
Hatırladınız mı?
Yani iki tane paralel doğru alsaydım, bunları kesen bir doğru olsaydı bu kesen doğru illa böyle olmak zorunda değil, şunların paralel liğini tekrar böyle göstermiş olayım.
Yani o dediğim doğru.
Böyle de olabilirdi.
Şöyle bir doğru da olabilirdi.
Yani yön dış açıları açıklamaya çalışıyorum.
Bu ve bundan bahsediyoruz arkadaşlar.
Bunu buraya taşımaya çalışıyorum şu an.
O yüzden bunu gösterdim.
Paralellik varsa burada yönde saçlarımız hangileri oluyor arkadaşlar?
B deki alfa açısı buradaki alfa açısı oluyor.
Cephedeki beyt açısı Ege deki beta açısı oluyor.
Çünkü burada gördüğünüz gibi paralel doğrular ve yönde açılar CD'deki ve deki beta açıları oluyor.
Şimdi 2 3 kere bakmanızı istiyorum.
Hem büyük üçgeni hem küçük üçgen.
Bakınız alfa beta, T ta alfa beta.
İkisinde de iç acılarımız aynı mı?
Evet TT alfa beta var ikisinde de.
O zaman iç açılar aynı olduğu için kesinlikle bu üçgenler benzerdir diyoruz.
O zaman oran yazabiliriz değil mi?
Arkadaşlar artık 2 3 kendime bakıyor.
Buradaki uzunlukları neydi?
A artı Bey'di.
Bu tarafta büyük üçgen de C artı deydi.
Burada aaa burada C idi, buraya da EE ve F diyelim arkadaşlar tamam mı?
Üst taraf da eksik bırakmışım, buraya da ev ve F diye ekleyelim.
Şimdi burada karşılıklı olarak oranları yazıp birbirine eşit demeyeyim çünkü büyük kentlerin benzer olduğunu gösterdim, iç açıları eşit olduğu için bunlar benzerdir.
Ve şimdi bu benzerliği mi?
Karşılıklı açılar, karşılıklı açıların gördüğü kenarlarının oranı şeklinde yazabilirim.
Neden bahsediyorum?
Alfa ların gördükleri burası da burası alfa, burası beta.
Küçük üçgende de burası aynısıydı.
Burası beta tamam.
Alfa'nın gördükleri C artı D bölü bu tarafa geliyorum.
C eşittir beta ların gördükleri A artı B bu tarafa veriyorum.
Beta A'yı görüyor Tatarların gördükleri F bölü.
Ee şimdi ben burayı ölsem açsam C artı d böylece C'yi de C'ye bölüyor.
Bölüm D'yi de C'ye böldüler, böldü.
Yani sadece şunun açılımını yaptığım gibi.
Düşünün arkadaşlar yine aynı şeyden bahsediyoruz.
Aya bölün bir B aya bölüm ve A tamam buradaki birileri sadeleşme mi gitmez mi yani?
Yani D Böylece eşittir B bölüğü.
Aaa buradan ispatlanmış oluyor arkadaşlar.
İlk başta gösterdiğim yeri tekrar ispatlamış oldum.
Yani arkadaşlar bu özel bir yani çıkarım dememin sebebi buydu.
Başta anlattığım temel benzerlik törenleriyle bunu ben zaten yapabilmeli.
Ama tabii kısa olması bakımından bunu gösteriyoruz.
Yine benzer bir özellik olarak yine de bir paralel değilki olması durumunda kelebek kuralı olarak da bilinen şu özelliği izleyelim arkadaşlar diye bir paralel değilki olması koşuluyla böyle paralel doğrular arasında kesişen doğrular da bölünen parçalar arasında bir oran vardır.
Nedir bu oran?
A bölüğü B eşittir, C bölüğü de eşittir IX Bali'ye.
Sürüye baktığınız zaman isterseniz içler dışlar, yine yapabilirsiniz.
Yani A böylece eşittir.
B bölüğü de de diyebilirsiniz arkadaşlar.
Yani ne demek istiyorum?
İlla şu gösterdiklerine yapmaya bilirsiniz.
Yani şöyle oran, şöyle orana da eşittir onu demek istiyorum.
İsterseniz böyle yapın, böyle yapın ya da böyle yapın, böyle yapın.
Bunları göstermeye çalıştım.
Yani buradaki kuralımız yine paralel doğrular arasında.
Kesişen doğrular da bölünen parçalar orantılı bölünür arkadaşlar onu göstermeye çalışıyorum.
Bu da üste gösterdiğim gibi ezber dilenmesi gereken bir şey mi?
Hayır, bu da bir çıkarım.
Ama sizler sınavda ya da denemelerde süre ile mücadele ettiğiniz için bu gibi çıkarımlar ya da kısayollar önemli tabii.
Peki neden çıkarım diyorum?
Çünkü benzerlik konusunu başında anlattığım kuralları ya da oranları yapabilmeniz zaten sizin bu soruyu, bu soru tarzını çözer bilmenizi sağlıyor.
Neydi o?
Yine doğruda açılardan yardım alarak ilerleyeceğiz.
Tabiki de paralel doğrular olmamızın sebebi açı taşıyabilme miz açı Taşçı'ya bilmemiz de benzer üçgenler yer atmamıza sebep oluyor.
Arkadaşlar bu taraftaki açım seçtim alfa dedim.
Şimdi paralel doğrular da iç ters açılar.
Burada gördüğünüz her z kuralını görmüşsünüzdür.
Aynı alfa buraya geldi yine z kuralından buraya b desem o beta buraya geldin.
Nasıl geldi şu z kuralını yine göstereyim.
Bu açım zaten ters açı.
Yani şuraya TT desem buraya da TT diyeceğim.
Şimdi iki tane üç yöne bakıyorum.
Üstte kalan üçgen ve altta kalan üç.
Gene bakınız üstteki üçgen alfa beta.
Alttaki üçgen alfa beta, iç açılar eşit.
Evet, eşit.
O zaman kesinlikle bu üçgenler benzerdir.
Diyeceğim benzerlik varsa aralarında oran var mıdır?
Kesinlikle vardır.
Nasıl yapacağım bu oranı?
Karşılıklı olarak neyin karşılıklı sı peki?
Aynı açının farklı üçgenler de, karşılarında gördüğü açı kenarlarının uzunlukları oranı.
Alfa burada nereyi görüyor?
Üst üçgen de C'yi görüyor.
Alfa aşağıda nereyi görüyor?
D'yi görüyor.
Beta üssü denediği görüyor.
Ayı görüyor.
Beta aşağıda nereyi görüyor?
Burada bakıyorum.
B'yi görüyor.
Test alan nereyi görüyor üst tarafta.
X Şöyle gösterelim alt tarafta AT&T'nin gördüğü yerde.
Y işte zaten üstte gösterdiğim kuralın ispatı gibi oldu bile arkadaşlar.
Yani Orhan bu kadar.
Yani ben ayı artırırsa bu arada beyin arttırmalıyız ki oran sabit olsun.
Yani bunun mantığını da kafamıza oturtmak lazım.
Yani ben bunu artırırsa bunu da arttırmalıyız.
Şunu azaltır, bunu da azaltmalı.
Kim ki şu gördüğünüz oran sabit bir şekilde kalabildi.
İşte anlatmaya çalıştığımız şey budur arkadaşlar.
Yani böyle sayısal olarak aklınızda kalması için böyle bir ufak iki tane de örnek ekledim.
Mesela şöyle paralel doğrular ne?
Burada gördüğünüz üst ve altta kalan doğrular birbirine paralel.
Şöyle işaretleriyle göstermeye çalıştım.
Burada aklınızda kalması gereken sözlü şey şöyle olmalı Üçe 21 geldiyse acaba 7'ye kaç gelir?
İşte böyle hızlı bir şekilde yol alabilirsiniz.
Yani şöyle de yapabilirsiniz.
3 böyle işi 3 7 eşittir 21 böyle bir şey.
Acaba bu bir şey nedir?
Bunu araştırmaya da çalışabilirsiniz.
Ama böyle sözlü olarak daha hızlı yol alabilirsiniz.
O yüzden gösteriyorum.
3'e 27, 3'e 21 ise yani 21 3'ün yedi katı mı?
Evet.
O zaman 7'nin de 7 katı 49 diyecektir.
Gelelim sağ taraftaki yine 8 bölü 5.
Demek ki burada kesişen doğrular arasında kalan parçalar arasındaki oranın 8 bölüp eştir.
Tamam o zaman ben buraya 8 kere dersem buraya 5 kere diyeceğim.
İlla böyle sayılar vermek zorunda değilim.
Buraya 40 tane a dersem buraya.
Şimdi şöyle görmenizi istiyorum.
Sekize 40'a mı gelmiş?
Evet, demek ki 5 A katı gelmiş doğru mu?
8 çarpı 5 40 ah etmiş.
Demek ki beşe de beş a katı gelmeli.
5 çarpı 5 a 25 a diyeceğim işte arkadaşlar.
Kafanızda kalmanızı, kalmasını istediğim sözlü durum budur.
Bundan ibarettir arkadaşlar.