Doğal Logaritma Grafikleri

Merhaba Sevgili gençler, bu videomuzda doğal logaritma fonksiyonu ile ilgili birkaç örnek daha çözeceğiz.
Öncelikle f x eşittir lnx fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Grafik çizerken öncelikle artan ve azalana bakalım.
Fonksiyonumuzun tabanı lnx'in tabanı zaten e idi taban bileşik kesir olduğunda da fonksiyon artandı.
E nedir iki virgül 718 yani birden büyüktür bir birleşik kesirdir.
O halde fonksiyonumuz artandır.
Arkadaşlar artan bir eğri çizeceğiz.
Şimdi x ve y eksenlerini kestiği noktalara bakalım.
x eksenini ve y eksenini y eşittir lnx dediğimde x'e 0 vererek y'yi kestiği noktayı bulacağım ama x'e 0 veremeyiz.
Logaritmanın içine 0 yazamıyoruz.
O yüzden Y eksenini kesmeyiz.
Y'ye 0 verelim.
0 eşittir lnx dediğimizde e üzeri 0 eşittir x olacaktı.
E üzeri 0 eşittir x ise bir eşittir x'tir arkadaşlar.
Yani grafiğimiz x ekseninin apsisi bir olan noktada kesmelidir.
Y eksenini kesmediğini söyledik x'e 0 verdiğimizde y'yi kesen noktayı bulacağız.
x'e 0 veremiyoruz demek ki.
Y eksenini kesemiyoruz arkadaşlar ve grafiğimiz Y ekseninin sağında olmalıdır çünkü x'ler hep pozitif olacaktı.
Evet buradan sonra da fonksiyonumuz Y ekseni sağında apsisi bir olan noktada kesecek.
Şöyle bir eğri çizeriz arkadaşlar.
Geçtiği bir noktayı da mesela yazalım x'e e yazdığımda ne olur?
Y eşittir lne olur değil mi?
lne nedir?
E üzeri Y eşittir e ise e'nin hangi kuvvetine eşittir birinci kuvveti.
O yüzden Y birdir.
Mesela grafik şu noktadan da geçiyor E y 1 noktasından da geçiyor arkadaşlar.
Evet, buna benzer bir şekilde f x eşittir ln x artı 3'ün grafiğini çizelim.
Öncelikle logaritma fonksiyonunun içi sıfırdan büyük olacağı için x artı üç büyüktür sıfır diyelim.
x büyüktür eksi üçtür.
Üçü sağ tarafa attım.
Burada hemen şunu yapın.
x eşittir eksi üç doğrusunu çizdim.
X eşittir eksi üç doğrusunun sağında olmalıdır grafiğimiz.
Çünkü xlerimiz eksi 3'ten büyük.
Burası tamam.
Şimdi eksenleri kestiği noktalara geldim.
Y eşittir ln x artı 3 dediğinizde x'e biz 0 verelim.
Şimdi burada Y eşittir x'e 0 verdiğinizde ln 3 oldu.
Peki ln3 nasıl bir sayı?
Hangi aralıkta?
Yanında beşinci yanında değil mi?
Biz lne'nin ne olduğunu bulabiliriz.
Şimdi tabanımız e idi.
Şöyle olsun Y eşittir ln dedim.
Tabanımız neydi?
e üzeri Y eşittir e yapacaksa Y buradan birdir yani ln e'nin 1 olduğunu biliyoruz.
Nedir iki küsür değil mi?
O halde ln e , ln 3'ten daha küçüktür değil mi?
e üçten küçük çünkü.
Demek ki ln3 1'den daha büyüktür.
Bir şuradaysa ln3 burada bir yerde olmalıdır.
ln 3.
Evet şimdi y'ye 0 verelim, y'ye 0 verdiğimizde 0 eşittir lnx artı 3 dedim e üzeri 0 1 olmalıdır.
x artı 3 1 olacaksa x buradan üçü sağ tarafa attınız eksi 3 olarak, x'imiz eksi 2'dir.
x ekseninde eksi iki noktasında keseceğim.
Eğrimizin şu şekilde olduğunu biliyoruz.
x eşittir eksi 3 doğrusunun sağ tarafında apsisi eksi iki olan noktada ordinatı ln3 olan noktada da eksenleri kesen bir eğridir arkadaşlar.
Burada aklıma gelmişken şunu belirteyim.
ln x artı üç ile ln x artı üç aynı şey değildir arkadaşlar.
Birinde ln'in içinde x artı 3 var burada ln'in içine yazılan şey ne?
x yazılmış ln'in içine, üç bunun dışında.
Daha ayrıntılı zaten ilerideki sorularda görürüz.
Devam edelim.
lne üzeri dört.
Evet normal logaritmayı üstlere çevirirken yaptığımız işi yapalım.
x eşittir ln e üzeri dört demiş.
Tabanımız e idi o halde.
e üzeri x eşittir E üzeri dört.
E üzeri X eşittir e üzeri 4.
Buradan tabanları aynı ise üsler de aynı olmalıdır.
Yani x'imiz 4'tür.
Y eşittir ln e üzeri 3'ün beşinci dereceden kökü çevirmemizi yapalım.
Tabanımız e üzeri e eşittir beşinci dereceden kök e kübe eşit.
E üzeri y eşittir beşinci dereceden e üzeri üç.
Evet şimdi köklü sayılarda şöyle bir hatırlatma yapalım.
A ikinci kuvveti derecemiz de y olsun.
Köklü sayıları şu şekilde üslü sayılara çevirebiliyorduk arkadaşlar.
Içerisi bölü dışarısı içeride x var, Kökün derecesi de Y.
O halde ben bunu e üzeri y'yi şöyle yazabilirim.
E üzeri üç bölü beş e ne oldu buradan?
Yine tabanları aynı.
Demek ki y eşittir üç bölü beştir arkadaşlar y de tamam z'ye geldik.
Son olarak z eşittir ln bir bölü küp kök e.
Çevirdiğinizde e üzeri z de içeriye eşit olacak ve üzeri z eşittir Bir bölü küp kök e.
Şimdi şurası nedir?
Az önce üslere çevirdiğim gibi e üzeri bir bölü üçtür.
Bir bölü üzeri bir bölü 3 denmiş.
O zaman ben bunu e üzeri eksi bir bölü yazabilirim de mesela bir bölü a'yı biz ne deriz?
A üzeri eksi bir deriz.
O yüzden şu şekilde e üzeri z miz bir bölü e üzeri bir bölü üçmüş.
Demek ki e üzeri eksi bir bölü üçmüş.
Tabanları aynı ise üsler de aynıdır.
Z de eksi bir bölü üçtür.
Bizden ne istedi?
Bunların toplamını istiyordu.
x'imiz 4 şöyle yazalım eksi 4 y üç bölü 5.
Z de eksi bir bölü 3.
Evet, paydaları 15'te eşitleyelim.
Paydaları 15 ile eşitlediğinde 60 artı dokuz eksi 5, bölü 15, buradan da 64 bölü 15 sorumuzun cevabıdır arkadaşlar.