Merhaba sevgili arkadaşlar üstel fonksiyonların son videosu ile devam ediyoruz, bu videoda üstel fonksiyonlar ile ilgili birkaç örnek daha çözeriz.
Öncelikle örneğimizde bu soruyu çok güçsüz arkadaşlar, üstel fonksiyonların gerçek hayat problemleri tarzındaki sorularda bu tarz sorular çok çıkar.
Demişiz ki yarılanma ömrü kaç yıl olan EM gramlık bir maddenin ağırlığı t yıl sonra en gram olmaktadır.
Altında EM en ve k ile ilgili bir bağıntı vermiş bir eşitlik vermiş olduğuna göre yarılanma ömrü 4 yıl olan 90 gram madde kaç yıl sonra on gram olur?
Çok kafanız karışmasın aslında her şeyi vermiş.
Soru Emine'nin kanın ne olduğunu söylemiş, alttaki sayıları da vermiş.
Sadece verilen eşitlikte bu verilen sayıları yerine yazıyoruz.
Şimdi en neydi en ağırlığımızı?
T yıl sonraki ağırlığımız.
Şimdi diyor ki kaç yıl sonra ağırlığımız ın on gram olmasını istiyor.
O zaman bizim elimiz 10'dur.
En yerine on yazdım.
En neydi?
En gramlık bir madde?
Maddenin şimdiki ağırlığı.
O halde bunu da 90 verdi bize.
90 gramlık madde en bir ne de 90'ı yazdım.
Çarpı bir bölü 3 üzeri.
Neyi sormuştu bize kaç yıl sonra zaten bize T'yi soruyor arkadaşlar.
Kaç yıl sonra artı bir bölü kafamız da yarılanma ömrü kanını dört olduğunu verdi.
Soru zaten.
Yine de 4 yazdım.
Şimdi her iki tarafı 1.
Öncelikle doksana bölelim, şurada sadece üstel fonksiyon rumuz kalsın doksana.
Böldüğünü de şu 90'ları götürdüm.
Şimdi burada bir bölü 9 kal.
10 59'u sade eleştirdim bir bölüğü 9 eşittir.
Sağ tarafta da sadece bir bölü 3 üzeri T artı bir bölü 4 kaldı.
Bir bölüğü dokuz, bir bölüğü üçün necidir kalesidir arkadaşlar.
Yani burası iki olmalıdır.
T artı bir bölüğü dördü iki eşit dilersen paydamız bir.
İçler ilaçlarınızı yaptığımızda t artı bir eşittir dört çarpı iki yani t buradan yedi elde edilir.
Yedi yıl sonra maddemiz on gram olacakmış.
Et yine bir grafik uygulaması fonksiyonu verdik açar ve yüzleri ilk bir yanda verilen fiks fonksiyonuna göre ev iki ve eksi bir toplamı kaçtır?
Öncelikle ev iki veya eksi bir bulmak için zaten iki ve x biri fonksiyonu yerine yazıyoruz.
Orası tamam ama fonksiyonunda bir şey eksik.
Bakın ayı bilmiyoruz değil mi?
Öncelikle ayı bulmamız gerekiyor.
O halde üzerinde bir nokta vermiş mi diye bakıyorum.
Biri ev üzeri, dört noktası bu grevin üzerinde.
O zaman fonksiyonunda ilk yazdığımızda cevabımız ev üzeri dört olmalı.
Fonksiyonuna bir yazdığımızda özürleri mikserine bir yazdığımızda sonucu omuz ev üzeri dört olmalı.
Yazalım ilk seyrine bir yazıyorum.
A çarpı ee üzere ilk sene bir yazdığınızda bir artı birden eyyyy üzere iki eşit miş ev üzeri dörde her iki tarafı ev kareye bölüm ilk kareleri sade eleştirdiğin de A eşittir.
Eş yüzleri dört bölgeyi üzere iki üstü sayılarda bölme yaparken üstleri çıkartıyordu.
O yüzden burası ev üzeri ikidir alanı ne olduğunu buldum.
Artık fonksiyonun belli arkadaşlar a çarpı ee üzeri a'yı bulmuştum.
A ee üzeri 2 idi çarpı ee üzeri ilk saati bir.
Şimdi bize ev iki soruluyor.
İlk sene 2 yazalım.
Ey 150 2 çarpı ilk seneki yazdığınızda ev üzeri 3.
Oldu.
Yüzler toplanır çarpma yaparken burada cevabımız ev üzeri 5 ev eksi bire bakalım ev üzeri iki çarpı ilk sene eksi bir yazdığınızda ne olur?
Ee üzeri sıfır elde ederim çarparken üsler toplanır buradan da ek hale geldi.
Toplamamız kaçmış ev 2 ile ef eksi birin toplamı kaçmış ev üzeri 5 artı ev üzeri 2 imiş arkadaşlar.
Cevabımız budur.
Devam edelim.
Reel sayılar ile tanımlar, fiks fonksiyonun tersi olduğuna göre ters olduğuna göre ne demek arkadaşlar burada size şunu söylüyor.
Birebir ve örten olduğuna göre diyor.
Bu fonksiyonun görüntü kümesini bulunuz.
Şimdi bu fonksiyonun birebir olduğunu şöyle görürüz.
Ilk sene farklı değerler verdiğimizde hep farklı sonuçlar bulur muyuz?
Evet, bu fonksiyon birebirdir.
Şimdi buradaki sorun zaten örten likte fonksiyonun görüntü kümesi mesela bunun görüntü kümesi tüm reel sayılar dır desem olur mu?
Tüm reel sayılardır desem desen görüntü köşemizde bakın şöyle reel sayılar burada da reel sayılar olsun.
Burada negatif sayılar da var.
Mesela eksi 3 var.
Siz şimdi burada X yerine bir değer yazarak X 3 elde edebilir misiniz?
Edemezsiniz, negatif bulamazsınız.
Burada 3 Ünel kuvveti pozitiftir.
O yüzden buradan negatif sayı bulamayacağı için buradaki mesela eksi iki boşta kalıyor.
Şu kümedeki eksi iki boşta kalıyor.
Boşta olunca da örten lik bozuluyordu ve örten lik bozulursa da fonksiyonun tersi olmaz.
Evet birebirdir dedik.
Şimdi öğretmenlik için bu fonksiyonun alabileceği değerleri bulmam gerekiyor benim aslında.
Şimdi biz 3 üzeri ilk artı 2'nin kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu biliyoruz.
3'ün her kuvveti pozitiftir, negatif elde edemezsiniz.
Bunu ikiyle çarpmanın her iki tarafı ikiyle çarp.
Varsanız iki çarpı üç üzere ilk saatte iki sıfır iki ile çarptım yine sıfır.
Evet, bu da yine sıfırdan büyüktür.
Şimdi ne var?
Fonksiyonu başka artı 7 var.
Her yere iki tarafa da 7 ekliyorum.
İki çarpı üç üzeri ilk saat iki sağ tarafa da yedi ekledim 0 artı 7'den 7.
Ne oldu?
Bakın şu ifade yani fonksiyonu muz 7'den büyük çıktı.
O halde görüntü kümе muz arkadaşlar.
7 Sonsuz yaralıdır.
Ben reel sayılardan.
Şöyle diyelim, yedi sonsuz aralığına şu kümede sadece 7den sonsuza kadar sayılar olduğunu düşünün yeniden sonsuza kadar.
Bakın burada hiçbir eleman boşta kalmaz, hepsiyle eşleştiler.
Artık öğretmenlikte sağlanmış olur.
O yüzden tersi de vardır arkadaşlar.
Görüntü büyümemiz yedi, sonsuz aradadır.
Öncelikle örneğimizde bu soruyu çok güçsüz arkadaşlar, üstel fonksiyonların gerçek hayat problemleri tarzındaki sorularda bu tarz sorular çok çıkar.
Demişiz ki yarılanma ömrü kaç yıl olan EM gramlık bir maddenin ağırlığı t yıl sonra en gram olmaktadır.
Altında EM en ve k ile ilgili bir bağıntı vermiş bir eşitlik vermiş olduğuna göre yarılanma ömrü 4 yıl olan 90 gram madde kaç yıl sonra on gram olur?
Çok kafanız karışmasın aslında her şeyi vermiş.
Soru Emine'nin kanın ne olduğunu söylemiş, alttaki sayıları da vermiş.
Sadece verilen eşitlikte bu verilen sayıları yerine yazıyoruz.
Şimdi en neydi en ağırlığımızı?
T yıl sonraki ağırlığımız.
Şimdi diyor ki kaç yıl sonra ağırlığımız ın on gram olmasını istiyor.
O zaman bizim elimiz 10'dur.
En yerine on yazdım.
En neydi?
En gramlık bir madde?
Maddenin şimdiki ağırlığı.
O halde bunu da 90 verdi bize.
90 gramlık madde en bir ne de 90'ı yazdım.
Çarpı bir bölü 3 üzeri.
Neyi sormuştu bize kaç yıl sonra zaten bize T'yi soruyor arkadaşlar.
Kaç yıl sonra artı bir bölü kafamız da yarılanma ömrü kanını dört olduğunu verdi.
Soru zaten.
Yine de 4 yazdım.
Şimdi her iki tarafı 1.
Öncelikle doksana bölelim, şurada sadece üstel fonksiyon rumuz kalsın doksana.
Böldüğünü de şu 90'ları götürdüm.
Şimdi burada bir bölü 9 kal.
10 59'u sade eleştirdim bir bölüğü 9 eşittir.
Sağ tarafta da sadece bir bölü 3 üzeri T artı bir bölü 4 kaldı.
Bir bölüğü dokuz, bir bölüğü üçün necidir kalesidir arkadaşlar.
Yani burası iki olmalıdır.
T artı bir bölüğü dördü iki eşit dilersen paydamız bir.
İçler ilaçlarınızı yaptığımızda t artı bir eşittir dört çarpı iki yani t buradan yedi elde edilir.
Yedi yıl sonra maddemiz on gram olacakmış.
Et yine bir grafik uygulaması fonksiyonu verdik açar ve yüzleri ilk bir yanda verilen fiks fonksiyonuna göre ev iki ve eksi bir toplamı kaçtır?
Öncelikle ev iki veya eksi bir bulmak için zaten iki ve x biri fonksiyonu yerine yazıyoruz.
Orası tamam ama fonksiyonunda bir şey eksik.
Bakın ayı bilmiyoruz değil mi?
Öncelikle ayı bulmamız gerekiyor.
O halde üzerinde bir nokta vermiş mi diye bakıyorum.
Biri ev üzeri, dört noktası bu grevin üzerinde.
O zaman fonksiyonunda ilk yazdığımızda cevabımız ev üzeri dört olmalı.
Fonksiyonuna bir yazdığımızda özürleri mikserine bir yazdığımızda sonucu omuz ev üzeri dört olmalı.
Yazalım ilk seyrine bir yazıyorum.
A çarpı ee üzere ilk sene bir yazdığınızda bir artı birden eyyyy üzere iki eşit miş ev üzeri dörde her iki tarafı ev kareye bölüm ilk kareleri sade eleştirdiğin de A eşittir.
Eş yüzleri dört bölgeyi üzere iki üstü sayılarda bölme yaparken üstleri çıkartıyordu.
O yüzden burası ev üzeri ikidir alanı ne olduğunu buldum.
Artık fonksiyonun belli arkadaşlar a çarpı ee üzeri a'yı bulmuştum.
A ee üzeri 2 idi çarpı ee üzeri ilk saati bir.
Şimdi bize ev iki soruluyor.
İlk sene 2 yazalım.
Ey 150 2 çarpı ilk seneki yazdığınızda ev üzeri 3.
Oldu.
Yüzler toplanır çarpma yaparken burada cevabımız ev üzeri 5 ev eksi bire bakalım ev üzeri iki çarpı ilk sene eksi bir yazdığınızda ne olur?
Ee üzeri sıfır elde ederim çarparken üsler toplanır buradan da ek hale geldi.
Toplamamız kaçmış ev 2 ile ef eksi birin toplamı kaçmış ev üzeri 5 artı ev üzeri 2 imiş arkadaşlar.
Cevabımız budur.
Devam edelim.
Reel sayılar ile tanımlar, fiks fonksiyonun tersi olduğuna göre ters olduğuna göre ne demek arkadaşlar burada size şunu söylüyor.
Birebir ve örten olduğuna göre diyor.
Bu fonksiyonun görüntü kümesini bulunuz.
Şimdi bu fonksiyonun birebir olduğunu şöyle görürüz.
Ilk sene farklı değerler verdiğimizde hep farklı sonuçlar bulur muyuz?
Evet, bu fonksiyon birebirdir.
Şimdi buradaki sorun zaten örten likte fonksiyonun görüntü kümesi mesela bunun görüntü kümesi tüm reel sayılar dır desem olur mu?
Tüm reel sayılardır desem desen görüntü köşemizde bakın şöyle reel sayılar burada da reel sayılar olsun.
Burada negatif sayılar da var.
Mesela eksi 3 var.
Siz şimdi burada X yerine bir değer yazarak X 3 elde edebilir misiniz?
Edemezsiniz, negatif bulamazsınız.
Burada 3 Ünel kuvveti pozitiftir.
O yüzden buradan negatif sayı bulamayacağı için buradaki mesela eksi iki boşta kalıyor.
Şu kümedeki eksi iki boşta kalıyor.
Boşta olunca da örten lik bozuluyordu ve örten lik bozulursa da fonksiyonun tersi olmaz.
Evet birebirdir dedik.
Şimdi öğretmenlik için bu fonksiyonun alabileceği değerleri bulmam gerekiyor benim aslında.
Şimdi biz 3 üzeri ilk artı 2'nin kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu biliyoruz.
3'ün her kuvveti pozitiftir, negatif elde edemezsiniz.
Bunu ikiyle çarpmanın her iki tarafı ikiyle çarp.
Varsanız iki çarpı üç üzere ilk saatte iki sıfır iki ile çarptım yine sıfır.
Evet, bu da yine sıfırdan büyüktür.
Şimdi ne var?
Fonksiyonu başka artı 7 var.
Her yere iki tarafa da 7 ekliyorum.
İki çarpı üç üzeri ilk saat iki sağ tarafa da yedi ekledim 0 artı 7'den 7.
Ne oldu?
Bakın şu ifade yani fonksiyonu muz 7'den büyük çıktı.
O halde görüntü kümе muz arkadaşlar.
7 Sonsuz yaralıdır.
Ben reel sayılardan.
Şöyle diyelim, yedi sonsuz aralığına şu kümede sadece 7den sonsuza kadar sayılar olduğunu düşünün yeniden sonsuza kadar.
Bakın burada hiçbir eleman boşta kalmaz, hepsiyle eşleştiler.
Artık öğretmenlikte sağlanmış olur.
O yüzden tersi de vardır arkadaşlar.
Görüntü büyümemiz yedi, sonsuz aradadır.
