Üstel Fonksiyonların Grafikleri

Merhaba sevgili arkadaşlar, üstel fonksiyonların grafiği ile devam ediyoruz.
Fiks çeşitleri 250 x fonksiyonun grafiğini beraber çizelim.
Öncelikle hiç tanımadığımız bir fonksiyonun grafiğini çizerken ilk sene birkaç değer verip elde ettiğimiz sonuçlarla noktaları belirleyeceğiz.
O noktaları birleştirerek grafiğimiz çekeceğiz.
İlk sene burada hangi dersleri vermekte özgürsünüz?
Şöyle ilk ve iki yüz helix olarak öncelikle bir tablo mu ayıralım?
Öyle değerler verelim ki bizi çok Y olmasın.
Ix İKSV'ye, X kendilerine yakın olsunlar.
Öncelikle küçük değerlerle başlıyorum.
Negatif değerleri de kullanalım.
Eksi 2, eksi bir sıfır.
Bir iki değerlerini verelim.
2 üzeri eksi iki ters çevirdiniz, iki üzere eksi iki ne yapar?
Bir bölüğü dörde eşittir, iki yüzleri eksi bir, bir bölüğü ikiye eşittir.
İki yüzleri sıfırı sayın sıfırıncı kuvveti hep birdi.
Zaten iki üzeri bir 2'dir, iki yüzleri iki de dört dür arkadaşlar.
Evet.
Not Atalarımızı bulduk bunları.
Koordinat düzleminde yerleştirirken.
Öncelikle sıfırı koyalım, ilk sene 0 yazdığımızda zaten o nokta y 80'in üzerinde olmalıydı.
Sıfıra bir noktası yani Y eksenini bir de kesiyor muyuz arkadaşlar?
İlk si̇dney eksi 2 yazarsanız ve eksi bir yazarsanız eksi 1 yazdığımızda neydi?
Bir bölü ikiyle eşleşecek de eksi 2 yazdığınızda 1 bölü 4'le eşleşmesi gerekiyordu.
İlk sene 1 yazalım 1 yazdığımızda 2 2 yazdığımızda 4'le eşleşmesi gerekiyor.
Noktalarımız eksi 2'ye 1 bölü 4 eksi bire bir böyle iki sıfırı bir biri 2 noktamız ve.
İkiye dört noktamız bu noktaları birleştirdiğimizde.
Şöyle bir grafik elde ederiz arkadaşlar bakın noktalarımız giderek aşağı iniyor ama sonuç ağaçlarımız hiçbir zaman negatif olmuyor zaten.
Üstel fonksiyon neydi y eşittir a üzeri ix şeklindeki fonksiyonu muzda ev reel sayılardan pozitif reel sayılara tanımladı.
Yani hiç bir zaman negatif olamaz demiştik.
Zaten bir fonksiyonun hiç bir zaman negatif olmaması ne demek?
İlk 80'inin altına hiçbir zaman yenemez demek.
Arkadaşlar ilk 80'in altına indiğimizde Y değerlerimiz negatif değerler alıyor çünkü.
Ve şimdi fonksiyon omuzu inceleyelim, birkaç sonuç çıkartalım buradan.
Fonksiyon artan mı?
Azalan mı?
Önce bunu belirleyelim.
Bir fonksiyonun artan olup olmadığını nasıl anlarız?
İlk sihirle verdiğimiz değerleri büyüttüğümüz de sonuçları mız da büyüyorsa bu fonksiyon artan dır.
Zaten grafikten de yukarıya doğru çiziyoruz fonksiyonu.
Bakın iktidar arttıkça fonksiyonunu bu şekilde yukarıya doğru gidiyor.
Buradan da artan olduğunu anlıyoruz.
Fonksiyon artı Kur'an'dır.
Şimdi birebir örten niye bakalım bir fonksiyonun birebir olabilmesi için tanım kümesindeki bütün elemanların farklı görüntüleri olmalıydı, farklı sonuçları olmalıydı.
Eğer böyle ise fonksiyon birebirdir.
Bir de fonksiyonun birebir olduğunu grafik verdiğinde nasıl anlıyoruz?
Grafiği mize yatay çizgiler atıyorduk.
Neresinden atarsanız atın, istediğiniz kadar çizgi atın.
Bu çizgilerden herhangi biri eğer grafiği birden fazla noktada kesiyor ise bu fonksiyon birebir değildi.
Bakın bizim grafiğimiz de bu yatay çizgileri, fonksiyonun neresinden atarsanız atın hep bir noktada keser.
Yani fonksiyonun muz birebirdir.
Herhangi bir Hicks'in sonuçları hep farklıdır.
Seher'in değiştirdiğinizde sonuç aynı çıkmaz, burda fonksiyonu muz birebirdir örten niye bakalım?
Normalde bir fonksiyon da değer kümesinde boşta eleman kalabilir dedi mi?
Bu fonksiyon olmasını engellemez di.
Eğer değer kümesinde de boşta eleman kalmıyor sa yani tanım kümesindeki bütün elemanları zaten ekleyeceğim.
Burada da boşta eleman kalmadıysa.
Bu örten du.
Bu fonksiyon bu küme ile burayı örttüğü anlamında ismi de zaten oradan geliyor.
Değer kümesine de boşta eleman kalmıyor ise örten demekti.
Şimdi bakalım bizim fonksiyon umuzda değer büyümemiz pozitif reel sayılar.
Şunu diyebilir misiniz hocam?
Bu fonksiyon örneğin şu reel sayıyla hiçbir zaman eş seçemez.
Mesela bu fonksiyon hiçbir zaman iki olamaz, sıfır virgül bir olamaz diyebilir misiniz?
Diyemeyiz.
Boşta bir eleman kalmadığı için bu fonksiyon örten deri arkadaşlar.
Şimdi öğretmenlik bire bir öğretmenliğe neden girdim?
Bir fonksiyon birebirdir ve örten dir dediklerinde ne gelir hemen aklımıza?
O zaman deriz ki bu fonksiyonun tersi vardır değil mi?
Zaten bundan sonra logaritma konusuna geçecektik.
Logaritma üstel fonksiyonun tersidir arkadaşlar.
Üstel fonksiyonuna birebir ve örten olduğu için tersi vardır ve tersi logaritmik fonksiyondur.
Evet, altında da bir bölü 250 iksv bakalım çok benzer bir grafik olacak.
Ayıralım tablo omuzu yine ilk ve bir böyle iki üzeri ilk istedim.
İlk sene yine değerler verelim.
Birbirine yakın değerler vererek o noktaları birleştirmek daha kolay olacak.
Bir iki aynı değerleri verdim.
Yine bir Birlik'i üzere eksi iki negatif yüz ters çevirdi.
Buradan dört elde ettim.
Bir Birlik'i üzere eksi bir ikidir.
Sıfırıncı kuvveti birdir.
Birinci kuvveti kendisidir.
Zaten karesi bir bölüğü 4'tür.
Bunları yazalım sıfıra 1 olacaktı.
Yine Y eksenini bir de kesiyoruz eksi 2'ye.
4 eşler eksi 2 ile dörde eşleşti.
Eksi birle 2'yi.
0 da bir yazmıştık.
Bire bir böyle iki şûrası bir böyle iki olsun iki ile bir bölüğü dörde eşleşti.
Bu noktaları birleştirelim yine az önce olduğu gibi noktaları birleştirdiğimizde.
Bu şekilde bir grafik elde edilir.
Bakın dikkat ettiyseniz bu azalan fonksiyonun değil mi?
Ix değerlerini büyüdükçe sonuçların giderek azaldı.
Fonksiyonu muz ajandır.
Fonksiyonu muz birebir midir?
Bakın yine nereden yatay çizgi atarsanız atın hep bir noktada kesecek.
O yüzden birebirdir ve yine değer kümesinde boşta eleman yok bütün reel sayılarla eşleşti girebiliriz.
Bakın grafikte bir kesinti olmadığı sürece yani şurada grafik geldi, böyle bir boşluk olmadığı sürece orada bir elemanla eşleşti demektir.
Bütün elemanlarla eşleşmiş demektir.
O yüzden bu yine öğretmendir.
Yani tersi vardır.
Tersi de logaritmik fonksiyondur.
Şimdi buradan bir sonuç daha yazayım.
Fiks eşittir a üzere ix fonksiyonunda a 1 ile 0 arasında ise pozitif basit kesilirse, yani bir iki üzeri x gibi şimdi çizdiğim grafik gibi fonksiyon azalan dır.
Arkadaşlar bir Bölük'ün kuvvetlerini büyüdükçe kesmemiz azalır değil mi?
A 1'den büyükse a zaten 1 olamıyordu.
Birden büyükse bileşik, kesilirse bir üstteki 250 IX gibi ikinin kuvvetlerine arttırdıkça sonuç larımız büyür.
Ard tandır ve artan azalan için grafik her seferinde gerek yok.
Baktınız tabanı basit azalan, tabanı bileşik kesir artan dır arkadaşlar.