Merhabalar Konumuz üçgende temel kavramlardan olan açı kenar ilişkisi ve başlangıç olarak sizlere kenar karşılaştırma kavramını açıklamaya çalışacağım.
Bir üçgenin nasıl oluştuğunu ve açının ne olduğunu anlattım.
Şimdi sıramız bir üçgen diye veya komşu üçgenler zincirinde kenarların açılara göre nasıl kıyaslandığı veya açıların kenarlara göre nasıl kıyaslandığını anlatmaktan başlayalım.
İki ucu çakışık çubuklar aldığımı düşünün.
AB ve AC'yi A noktasında çakıştırdığımı düşünün arkadaşlar.
Buradaki amacımız ve sorgulamamız açık olan B ve C uçları arasındaki mesafenin bu çubuklar arasındaki açıyla nasıl bir ilişkisi vardır acaba?
Bunu bulma yolundayız.
Deneme yanılma yoluyla dahi rahatça fikir yürütebiliriz arkadaşlar.
C ucunu B'den uzaklaştırıp aralarındaki açıyı arttırır isem bu iki ucu birleştirme için gereken uzunluk da artıyor.
Ne demek istiyorum?
A ucu sabit olacak şekilde ve uzunlukları da sabit olacak şekilde c noktasını yukarı doğru getirdiğimi farz edelim.
Böyle böyle böyle.
Buradaki açıyı arttırıyorum yani ilk amacım bu.
Diyorum ki bu açıyı arttırırsam ne olur?
B ve C uçları arasındaki mesafe ilk mesafem buydu.
Yani X1 desek mesela x2 burası oldu, x3 burası olduğu x4 burası oldu.
Yani diyorum ki ya da tam tersi olarak düşünseydik mesela arkadaşlar.
Yani hiç bunları yapmasaydım deseydim ki ben bunların arasındaki açıyı azaltmak istiyorum.
Yani yine A noktası sabit olacak şekilde bu sefer böyle böyle böyle getirdim yani.
Açıyı sürekli azalttım arkadaşlar.
Bu tam tersi durumda da eğer ben bu açıyı azaltırsam uçları birleştirme için gerekli uzunluk da azalmakta.
Gördüğünüz gibi en kısa bu hale geldi.
Nasıl geldi?
En dar açıda geldi.
Demek ki şunu diyebiliriz.
Açı artarsa kenar uzar.
Buradan şu çıkarımı da da bulunabiliriz.
Bir üçgende büyük açının karşısında daha uzun kenar vardır.
Peki neden bir üçgende diye belirttim?
Çünkü bu belirttiğim kuralı sadece aynı üçgende yapabiliriz.
Başka komşu üçgendeki büyük bir açı mesela şuradaki açı daha uzun bir kenar anlamına gelmeyebilir.
Bu iki farklı üçgen ortak bir kenara sahip olduğu için arkadaşlar bizler kıyaslama yapabiliriz.
Ama tüm bu şekil içindeki en büyük açı en uzun kenar olmayabilir.
Yani bir balığın hamsiden büyük olması onu balinadan büyük yapmayabilir.
Ne demek istiyorum bir bakalım şu üstte anlattığım yeri kısaca özetleyeyim dedim ki açı büyürse kenar uzar.
Yani burada diyeceğim ki bir üçgen içersinde konuşuyorsam eğer A-B-C üçgeni içerisinde.
Eğer A açısı B açısından, B açısı da C açısından büyükse A açısının gördüğü A kenarı B açısının gördüğü B kenarından da uzundur.
Aynı şekilde B açısı daha büyükse B kenarı daha uzundur diyeceğim.
C'ye göre kıyaslamamız bu kadar yapılacak arkadaşlar.
Şimdi ne demek istiyorum burada bir örneklem üzerinden aktarmaya çalışayım.
Şimdi böyle bir kıyaslama sorusu gelirse ne yapmamız gerektiği üzerine biraz konuşalım arkadaşlar.
Bu tarz sorularda önemli tavsiyem şudur arkadaşlar böyle açıların verildiği, hepsinin de verilmediği fakat kenarlarını kıyaslanmasının istendiği sorularda tavsiyelerim şunlardır.
Arkadaşlar bir her iki üçgende de bilinmeyen açıları bulun.
Birinci adımımız bu, burada x'i bilmiyorum.
Diğer ikinci üçgende yani ADC üçgeninde de Y'yi bilmiyorum.
Demek ki bunları bularak yoluma ilerlemeliyim.
İki aynı üçgende bu açıları kıyaslayın.
Büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe farketmez.
Açıları kıyaslamak lazım.
Çünkü üstte yaptığım gibi.
Ben açıları kıyaslayabiliyorsam kenar uzunlukları da kıyaslayabiliyorum arkadaşlar.
3.
Daha sonra açıların gördüğü kenarlara göre kenarları kıyaslayın.
Yani diyeceğim ki eğer 80 40'tan büyükse 80'nin gördüğü kenar kırkın gördüğü kenardan uzundur.
4.
Son olarak bunlar arasındaki ortak kenar üzerinden.
2 Eşitsizlikle yorum yaparak en uzun ya da en kısa neyi soruyorsa buluruz.
Buradaki ortak kenarımız ACdir arkadaşlar.
Ortak kenar bu.
Yani bu ortak kenar bize bu iki üçgen arasında kenar kıyaslaması yapma imkanı veriyor bize.
Eğer ortak kenarlardan bahsedemeseydik farklı değerler, farklı şeyler elde edebilirdik.
Farklı yorumlar da yapabilirdik.
Ana meselemiz bu.
Mesela şu soruyu çözerek ilerleyelim.
Daha iyi kavramamız açısından yardımcı olacaktır.
Bir X ve Y açılarını bulmamız lazım.
Ne dedik?
Bilinmeyenleri bulmalıyız.
Birinci üçgenime bakıyorum, birinci üçgen üstteki olsun.
İkinci üçgen alttaki üçgen olsun, birinci üçgende x'i bulmalıyız.
Birinci üçgende x'i nasıl bulurum?
İç açıları toplamı 180 derecedir diyeceğim ve 40 artı seksen artı X eşittir 180 eşitliği yapacağım.
Yani buraya yazmam gerekirse 80 artı 40 artı x eşittir 180'den X eşittir 60 bulacağım.
İkinci yazmam gereken şey ikinci üçgende Y'yi bulmak.
O da aynı şekilde 180 derece eşittir 55.
Artı 60 artı Y diyeceğim buradan.
Y'yi elde edelim.
Y dediğim değer de 65 derece olur arkadaşlar.
Şimdi birinci adımım tamam, bilinmeyenleri buldum.
2.
Açıları kıyasla.
Nasıl kıyasla?
Birinci üçgende açıları kıyaslayalım.
Şimdi şu bulduğum değerleri buraya yazacak olursam 60 derece.
Hatta içlerine yazalım.
60 derece ve 65 derece.
Arkadaşlar şunları temizleyelim.
Daha rahat görmemiz açısından buraları hallettik.
Şimdi gelelim 2.
Yani açıları kıyasla ne demek istiyorum?
Birinci üçgende açılara kıyasla.
Birinci üçgene bakalım.
Birinci üçgende en büyük açım 80, ikinci en büyük açım 60, üçüncü en büyük açım 40.
Gayet kolay oldu.
İkinci üçgenime bakıp kıyaslama yapıyorum.
Neyi?
Açıları.
En büyük açım 65 dir.
Ondan sonra 60.
Ondan sonra 55.
Üçüncü adıma geçelim.
Kenarları kıyaslayalım.
Nasıl bir kenar kıyaslaması?
Açının gördüğü kenar 80 derece.
Nereyi görüyor arkadaşlar?
80 derece üstten bakarsam açıyı görüyor, 60 derece.
Nereyi görüyor, 60 derece AB kenarını görüyor.
Son olarak 40 derece.
Nereyi görüyor?
40 derecede arkadaşlar BC kenarını görmekte.
Bu nereyi görüyor, bu nereyi görüyor, bu nereyi görüyor?
Yaptık arkadaşlar ikinciye geçelim.
Dedik ki ikinci üçgende kenarları kıyasla yani 65.
Nereyi görüyor, AB'yi görüyor, 60 derece.
Nereyi görüyor, AC kenarını görüyor, 55 derece.
Nereyi görüyor?
CD kenarını görüyor.
Dördüncü adımımız ne?
Ortak kenar ile kıyaslama yap.
Peki benim ortak kenarım neresiydi?
AC kenarında bakıyorum ortak kenarın bu iki üçgenin kesiştiği kenar AC kenarı.
Demek ki ben AC kenarına bakarak yorum yapabilirim.
AC kenarın burada ve burada birinci üçgene bakıyorum.
AC üçgenim kral mı?
Evet kral.
Peki ikinci üçgene geçiyorum.
AC üçgenin kral mı acaba?
Hayır.
Bu kralımdan daha büyükleri var.
Kenarım AC'den daha büyükmüş.
İşte bu ortak kenar kıyaslaması yaparak kimin nerede kral olduğunu görüyoruz.
Birinci üçgende AC kral olabilir ama ikinci üçgene geçtiğimde AC'den daha uzun kenarlarım varmış.
İlk başta 80 dereceyi görüp en uzun bu kenardır diyemeyiz arkadaşlar açının büyüklüğü farklı üçgenlerde kenarın daha uzun olduğu anlamına gelmez.
Bu kıyaslamayı yapmak gayet önemli.
Bir üçgenin nasıl oluştuğunu ve açının ne olduğunu anlattım.
Şimdi sıramız bir üçgen diye veya komşu üçgenler zincirinde kenarların açılara göre nasıl kıyaslandığı veya açıların kenarlara göre nasıl kıyaslandığını anlatmaktan başlayalım.
İki ucu çakışık çubuklar aldığımı düşünün.
AB ve AC'yi A noktasında çakıştırdığımı düşünün arkadaşlar.
Buradaki amacımız ve sorgulamamız açık olan B ve C uçları arasındaki mesafenin bu çubuklar arasındaki açıyla nasıl bir ilişkisi vardır acaba?
Bunu bulma yolundayız.
Deneme yanılma yoluyla dahi rahatça fikir yürütebiliriz arkadaşlar.
C ucunu B'den uzaklaştırıp aralarındaki açıyı arttırır isem bu iki ucu birleştirme için gereken uzunluk da artıyor.
Ne demek istiyorum?
A ucu sabit olacak şekilde ve uzunlukları da sabit olacak şekilde c noktasını yukarı doğru getirdiğimi farz edelim.
Böyle böyle böyle.
Buradaki açıyı arttırıyorum yani ilk amacım bu.
Diyorum ki bu açıyı arttırırsam ne olur?
B ve C uçları arasındaki mesafe ilk mesafem buydu.
Yani X1 desek mesela x2 burası oldu, x3 burası olduğu x4 burası oldu.
Yani diyorum ki ya da tam tersi olarak düşünseydik mesela arkadaşlar.
Yani hiç bunları yapmasaydım deseydim ki ben bunların arasındaki açıyı azaltmak istiyorum.
Yani yine A noktası sabit olacak şekilde bu sefer böyle böyle böyle getirdim yani.
Açıyı sürekli azalttım arkadaşlar.
Bu tam tersi durumda da eğer ben bu açıyı azaltırsam uçları birleştirme için gerekli uzunluk da azalmakta.
Gördüğünüz gibi en kısa bu hale geldi.
Nasıl geldi?
En dar açıda geldi.
Demek ki şunu diyebiliriz.
Açı artarsa kenar uzar.
Buradan şu çıkarımı da da bulunabiliriz.
Bir üçgende büyük açının karşısında daha uzun kenar vardır.
Peki neden bir üçgende diye belirttim?
Çünkü bu belirttiğim kuralı sadece aynı üçgende yapabiliriz.
Başka komşu üçgendeki büyük bir açı mesela şuradaki açı daha uzun bir kenar anlamına gelmeyebilir.
Bu iki farklı üçgen ortak bir kenara sahip olduğu için arkadaşlar bizler kıyaslama yapabiliriz.
Ama tüm bu şekil içindeki en büyük açı en uzun kenar olmayabilir.
Yani bir balığın hamsiden büyük olması onu balinadan büyük yapmayabilir.
Ne demek istiyorum bir bakalım şu üstte anlattığım yeri kısaca özetleyeyim dedim ki açı büyürse kenar uzar.
Yani burada diyeceğim ki bir üçgen içersinde konuşuyorsam eğer A-B-C üçgeni içerisinde.
Eğer A açısı B açısından, B açısı da C açısından büyükse A açısının gördüğü A kenarı B açısının gördüğü B kenarından da uzundur.
Aynı şekilde B açısı daha büyükse B kenarı daha uzundur diyeceğim.
C'ye göre kıyaslamamız bu kadar yapılacak arkadaşlar.
Şimdi ne demek istiyorum burada bir örneklem üzerinden aktarmaya çalışayım.
Şimdi böyle bir kıyaslama sorusu gelirse ne yapmamız gerektiği üzerine biraz konuşalım arkadaşlar.
Bu tarz sorularda önemli tavsiyem şudur arkadaşlar böyle açıların verildiği, hepsinin de verilmediği fakat kenarlarını kıyaslanmasının istendiği sorularda tavsiyelerim şunlardır.
Arkadaşlar bir her iki üçgende de bilinmeyen açıları bulun.
Birinci adımımız bu, burada x'i bilmiyorum.
Diğer ikinci üçgende yani ADC üçgeninde de Y'yi bilmiyorum.
Demek ki bunları bularak yoluma ilerlemeliyim.
İki aynı üçgende bu açıları kıyaslayın.
Büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe farketmez.
Açıları kıyaslamak lazım.
Çünkü üstte yaptığım gibi.
Ben açıları kıyaslayabiliyorsam kenar uzunlukları da kıyaslayabiliyorum arkadaşlar.
3.
Daha sonra açıların gördüğü kenarlara göre kenarları kıyaslayın.
Yani diyeceğim ki eğer 80 40'tan büyükse 80'nin gördüğü kenar kırkın gördüğü kenardan uzundur.
4.
Son olarak bunlar arasındaki ortak kenar üzerinden.
2 Eşitsizlikle yorum yaparak en uzun ya da en kısa neyi soruyorsa buluruz.
Buradaki ortak kenarımız ACdir arkadaşlar.
Ortak kenar bu.
Yani bu ortak kenar bize bu iki üçgen arasında kenar kıyaslaması yapma imkanı veriyor bize.
Eğer ortak kenarlardan bahsedemeseydik farklı değerler, farklı şeyler elde edebilirdik.
Farklı yorumlar da yapabilirdik.
Ana meselemiz bu.
Mesela şu soruyu çözerek ilerleyelim.
Daha iyi kavramamız açısından yardımcı olacaktır.
Bir X ve Y açılarını bulmamız lazım.
Ne dedik?
Bilinmeyenleri bulmalıyız.
Birinci üçgenime bakıyorum, birinci üçgen üstteki olsun.
İkinci üçgen alttaki üçgen olsun, birinci üçgende x'i bulmalıyız.
Birinci üçgende x'i nasıl bulurum?
İç açıları toplamı 180 derecedir diyeceğim ve 40 artı seksen artı X eşittir 180 eşitliği yapacağım.
Yani buraya yazmam gerekirse 80 artı 40 artı x eşittir 180'den X eşittir 60 bulacağım.
İkinci yazmam gereken şey ikinci üçgende Y'yi bulmak.
O da aynı şekilde 180 derece eşittir 55.
Artı 60 artı Y diyeceğim buradan.
Y'yi elde edelim.
Y dediğim değer de 65 derece olur arkadaşlar.
Şimdi birinci adımım tamam, bilinmeyenleri buldum.
2.
Açıları kıyasla.
Nasıl kıyasla?
Birinci üçgende açıları kıyaslayalım.
Şimdi şu bulduğum değerleri buraya yazacak olursam 60 derece.
Hatta içlerine yazalım.
60 derece ve 65 derece.
Arkadaşlar şunları temizleyelim.
Daha rahat görmemiz açısından buraları hallettik.
Şimdi gelelim 2.
Yani açıları kıyasla ne demek istiyorum?
Birinci üçgende açılara kıyasla.
Birinci üçgene bakalım.
Birinci üçgende en büyük açım 80, ikinci en büyük açım 60, üçüncü en büyük açım 40.
Gayet kolay oldu.
İkinci üçgenime bakıp kıyaslama yapıyorum.
Neyi?
Açıları.
En büyük açım 65 dir.
Ondan sonra 60.
Ondan sonra 55.
Üçüncü adıma geçelim.
Kenarları kıyaslayalım.
Nasıl bir kenar kıyaslaması?
Açının gördüğü kenar 80 derece.
Nereyi görüyor arkadaşlar?
80 derece üstten bakarsam açıyı görüyor, 60 derece.
Nereyi görüyor, 60 derece AB kenarını görüyor.
Son olarak 40 derece.
Nereyi görüyor?
40 derecede arkadaşlar BC kenarını görmekte.
Bu nereyi görüyor, bu nereyi görüyor, bu nereyi görüyor?
Yaptık arkadaşlar ikinciye geçelim.
Dedik ki ikinci üçgende kenarları kıyasla yani 65.
Nereyi görüyor, AB'yi görüyor, 60 derece.
Nereyi görüyor, AC kenarını görüyor, 55 derece.
Nereyi görüyor?
CD kenarını görüyor.
Dördüncü adımımız ne?
Ortak kenar ile kıyaslama yap.
Peki benim ortak kenarım neresiydi?
AC kenarında bakıyorum ortak kenarın bu iki üçgenin kesiştiği kenar AC kenarı.
Demek ki ben AC kenarına bakarak yorum yapabilirim.
AC kenarın burada ve burada birinci üçgene bakıyorum.
AC üçgenim kral mı?
Evet kral.
Peki ikinci üçgene geçiyorum.
AC üçgenin kral mı acaba?
Hayır.
Bu kralımdan daha büyükleri var.
Kenarım AC'den daha büyükmüş.
İşte bu ortak kenar kıyaslaması yaparak kimin nerede kral olduğunu görüyoruz.
Birinci üçgende AC kral olabilir ama ikinci üçgene geçtiğimde AC'den daha uzun kenarlarım varmış.
İlk başta 80 dereceyi görüp en uzun bu kenardır diyemeyiz arkadaşlar açının büyüklüğü farklı üçgenlerde kenarın daha uzun olduğu anlamına gelmez.
Bu kıyaslamayı yapmak gayet önemli.
Sıkça Sorulan Sorular
Üçgende açı kenar bağıntıları nedir?
Üçgenlerde büyük açı uzun kenarı, küçük açı ise kısa kenarı görür. Peki ne demektir uzun kısa kenar?
Burada bahsettiğimiz uzunluk kısalık kavramı üçgenin kenarları arasında uzunluk karşılaştırması olarak düşünülebilir.
Örneğin verilen şekildeki üçgenimizi inceleyelim.
Eğer verilen üçgende kenar uzunlukları sıralaması |c| < |b| < |a| şeklinde ise verilen açıları
z° < y° < x° şeklinde sıralayabiliriz.
