Merhaba arkadaşlar, şimdi de iç teğet çember yardımıyla alan bulma formülünü biraz açıklayalım.
Şimdi burada iç teğet çemberin yarıçapı bizim alanı bulmamızı sağlıyor.
Nedir peki formülümüz?
Şimdi burada formülümüze girişmeden önce bir alanı nasıl hesaplayacağımızı bilmemiz lazım.
ABC üçgenini verdim.
İç teğet çemberini de verdim.
Çemberim nedir?
İçeriden bütün kenarlara teğet olan ve merkezi iç açı ortayların kesişim merkezinde olan çemberdir.
Şimdi burada yarıçap dediğimiz tabii ki de buralar teğet noktaları olduğu için merkezden teğet değme noktalarının birleştiği yerler benim yarıçaplarım olacaktır ve bunların dik olduğunu teğet olduğundan dolayı biliyorum.
Tamam burada mesela B ve C alanını hesaplasaydım şurada B ve C üçgeninden bahsediyorum.
Şu üçgenden bahsediyorum.
Bunun alanı hesaplasaydım ne yapacaktım?
A kenarı çarpı ona ait yükseklik bölü 2 a çarpı r bölü iki.
Alan AIC'yi hesaplasaydım oradaki şu üçgenden bahsediyoruz.
Bu üçgende ne yapacaktım?
B kenarı çarpı B'ye ait yükseklik bölü iken b çarpı r bölü iki.
Son olan üçgende şurada ne yapacaktım peki?
C Kenarı çarpı C ye ait yükseklik veriyor ki hepsinde yükseklik bu üçgenler ait yükseklik r'ye kadar.
Burada da bulacağım formül tabii C'ye çarpı r bölü 2'ydi.
Tamam şimdi tüm alanı hesaplasaydım yani alan ABC hesaplasaydım ne yapacaktım?
Bu üçünü toplayacaktım.
Tüm alan ne oldu o zaman?
a çarpı 2 artı, b çarpı iki artı, c çarpı r bölü iki.
E burada bazı ortak şeyler var.
R ve bölü 2'ler ortak.
O zaman bunu şöyle de yazabilirim.
A artı b artı c 2 çarpı r dediğim şey bu üçünün toplamı zaten tamam.
Peki bu a artı B artı C bölü iki neydi?
Çevrenin yarısı.
Çevrenin yarısı U demekti.
U dediğim çevre bölü ikiydi.
r'yi de aynen aldım.
İşte U'yu kullanarak, yani iç teğet çemberin yardımını alarak alan hesaplama bu şekilde yapılıyor.
R dediğim işte çemberin yarıçapı, yarıçapı, uzunluğu, u dediğim de çevre bölü 2'dir.
Bu ikisini bilerek ve çarparak alan ABC hesaplayabiliyoruz.
Şimdi burada biraz ilerleyelim tabii ki de şimdi bu eşitliği bir inceleyelim.
Bu üç denklemde de R bölü 2 hep vardı.
R bölü 2'yi yalnız bırakıp eşitleyelim.
Üstteki anlattığım şeyler de şu üçgenlerin alanlarında R bölü ikiyi yalnız bırakıyorum.
Alan BIC, alan B ve C bölü 2 r bölü 2 olur.
Bu a buradaydı.
r bölü 2'yi yalnız bırakarak bunun altına attım.
BIC bölü a da r bölü ikidir.
Alan AIB bölü c de r bölü 2'dir.
Alan AIB bölü c de r bölü 2'dir.
Tamam.
Şimdi burada r 2 dediğim şey bir sabit bir sayıya eşit olacak sonuçta.
O zaman alan BIC bölü a eşittir alan AIC bölü b alan A eşittir.
Alan AIB bölü c.
Madem bunlar birbirine göre eşit o zaman A'ya gelen alan oranı, B'ye gelen.
Alan oranı ve C'ye gelen alan oranı birbirleriyle orantılı olacaktır.
Arkadaşlar burası çok önemlidir.
Mesela şunu çıkarabilirim.
Yani çemberin merkezi verilen böyle bir üçgende bu üç üçgenin alanı kenar uzunluğu ile orantılıdır.
Yani burada mesela hemen şöyle bir örnekle üstünden geçelim ki rahatça aklımızda kalsın.
Burada gördüğünüz gibi tabii burada bahsettiğimiz mesele iç teğet çemberin merkezi verilmesi ya da iç açı ortayların kesişiminin merkezi bir kesiminin verilmesi durumlarında geçerlidir.
İşte burada diyeceğim ki A'ya a.k geliyorsa B'ye b.k gelir, C'ye c.k kadar alan gelir.
Bu üstte r bölü 2 yalnız bırakmasından dolayı geçen bir alan dağıtım kuralıdır.
Arkadaşlar şimdi burada mesela 8 4,11 diye bir üçgen var.
Yine I'yı iç teğet bir merkez olarak düşünelim.
İşte burada diyebilirim ki 8'e 8a kadar alan gelirse dörde de sekize 8'in a katı kadar gelmiş.
O zaman dördün de A katı kadar 4a gelir.
On bire de on bir a gelir yani sekize.
Mesela on altı mı geldi?
Yani iki katı geldi, 4'ün de iki katı gelir, 11'in de iki katı gelir.
Böyle düşünebiliriz.
Şimdi burada U'yu anlattık.
Tamam bir de sadece U ile elde edebileceğimiz formülü aktarayım belki bir soruda rahatça işlem yapabilmenizi sağlar.
Yani yalnızca çevrenin verildiği sorularda alanı hesaplama 3-4-5 üçgeni diyecek.
Hadi alanı hesapla diyecek ama dik olduğunu falan mesela bilmiyorum.
Ne yapacağım o durumda?
İşte çevreyi bilerek alan hesap diyebiliyoruz.
Çevre dediğimiz x artı y artı z bu üçgen için.
Tamam u'yu hesapladım.
İşte formülüm şundan ibarettir.
Alan dediğim kök içerisinde u çarpı u'dan birinci kenarı çıkarın çarpı u dan, ikinci kenarı çıkarın çarpı u dan, üçüncü kenarı çıkarın çarpın işte bu size alanı verecektir.
Bunun karekökün içinde olduğunu unutmamak lazım.
Şimdi mesela bir örnekle ilerleyelim ne olsun?
3 kenarı bildiğimiz bir üçgen olsun.
6 8 10 üçgeninden bahsedelim.
Şimdi burada ben 6 8 10 üçgeninde çevreyi hesaplayabiliyor muyum?
Evet, bu nedir?
6 artı 8 artı 10 iki 2 12 mi etti?
Tamam bunun alanı hesaplanabilir miyim?
Rahatça hesaplayabiliyorum.
Formülüm yukarıda önce U'yu yazıyorum, sonra oradan çıkar birinciyi.
12 eksi 6, 12 eksi 8, 12 eksi 10 bitti.
6 2 12 12.
Burası 12'de çıktı, bir de o çıktı, alan eşittir yirmi dört.
Bu kadar.
Şimdi bu aynı 6 8, 10 üçgeni özel bir üçgendir.
Zaten ben bunu biliyorum.
Yani bu bir de üçgendir.
Burada en uzun kenarın karşısındaki açım 90 dereceydi.
Zaten özel üçgen olduğunu bildiğim için buraya 90 dereceyi rahatlıkla koydum.
Bakın diktiği vermişse de ben onun özel üçgen olduğunu bildiğim için kesin dik üçgendir diyebilirim.
Peki nedir bu dik üçgenin alanı?
Dik kenarların çarpımı bölü ikiydi.
Yani 24 aynı zamanda nasıl bulabilirdi?
6 çarpı 8 bölü 2 eşittir 24 olarak da zaten ispatlamış olduk.
Böyle u'lu alan formülünü böylece göstermiş olduk.
Mesela bir de eşkenar üçgene bakalım.
Buradan şurayı ayıralım, karışmasın.
Eşkenar üçgene bu sefer sayı vermeyelim, harf verelim.
A kenarlarına sahip bir üçgen olsun.
Yine u'lu alanı hesaplayalım.
U dediğim çevre bölü 2 mi?
Çevresi 3a.
O zaman çevre bölü 2'den 3a bölü 2.
u dediğim değere eşit oldu.
Alanı nasıl hesaplayacağım peki?
U'yu yazıyorum.
3 A bölü 2.
Sonra kenarları teker teker çıkarıyorum U'dan.
3a bölü 2 eksi a Yine u yazıyorum.
Diğer kenarı çıkarıyorum, o da a.
Üçüncüyü yazıyorum 3a bölü 2 eksi, o da a.
O zaman şunları yazmayıp şuraya bunun küpü diye yazabilirim.
Şuraya da şöyle biraz kısaltalım düzgün gözüksün, tamam.
Şimdi burada 3a bölü 2 eksi a dediğim değer nedir?
Buranın içerisi a bölü 2'dir.
Yani burasını şöyle de yazabilirim.
Yine kökü içi alalım tabii.
3a bölü 2 çarpı a bölü 2'nin küpü.
İçeride elde edeceğimiz değer ne oldu peki?
Şöyle yazalım.
Üç bölü iki çarpı küp bölü 8.
Burayı da atarsam şöyle yine sadeleştirecek şekilde üç bölü on altı çarpı üzeri dört A üzeri dördü dışarı a kare diye atabilirim böyle 16'yı dışarı bölü 4 diye atabilirim.
Üçü dışarı kökün içerisinden çıkmayacak şekilde tabii ki de kök 3 olarak atabilirim.
İşte eşkenar üçgenin alanının formülünün hesabını bulduk.
A kare kökü üç bölü dört bir eşkenar üçgenin alanını u'lu olacak şekilde böylelikle rahatlıkla bulabiliyoruz.
Şimdi burada bir de ağırlık merkeziyle alan hesaplama.
Alan ayarlama işine girelim.
Oransal dağılma şeklinde.
Burada tabii ağırlık merkezi ve alanın ilişkisi gayet önemlidir bağ soru tarzlarında.
Şimdi ben yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanı taban uzunluklarına göre oransal dağılacağını söylemiştim.
Kenar orta kenarı ortalıyorsa alanı da ortalar.
Ayrıca kenar orta konusunda da mesela ağırlık merkezi alanı belirli oranlarda bölüyor demiştik.
Şimdi burada onları inceleyelim biraz.
Mesela ben ağırlık merkezi verilen bir soruda kenara bir köşeye iki birim oranında bir dağılma olduğunu biliyorum kenarlar arasında.
İşte böylelikle alanı da dağıtabiliyorum.
Yani k'ye a kadar a gelirse iki kere 2a alan geleceğini biliyorum.
Aynı şekilde yine bu sefer B üzerinde bakarsam şuraya m dersem e'ye bg'ye 2m demem gerektiğini biliyorum.
Kenar uzunlukları olarak şimdi alana tekrar geri dönersem 2m'ye 2 a mı gelmiş?
Evet, çok sildik.
2m'ye 2a geldiyse m'ye a gelir diyebilirim.
Aynı şekilde buradan birleştirseydim ne yapacaktım peki?
Bu şöyle bakabilirim mesela şu kenarlara teğet deseydim A ve EC'ye teğet dedim.
T'ye A geldiyse T'ye yine A gelir.
Burayı da yazmış olalım.
Alt tarafa bakıyorum, BD eşittir DC ise şu üçgen içerisinde alanlar eşit dağılmıştır.
Yani buraya ne geliyorsa buraya da aynı şekilde o gelecek.
Buraya ağır geldiyse bu tarafa daha gelecek.
Yani ben bir kenarortay incelemesi yaparsam ve ağırlık merkezini köşeler ile birleştirirsek oluşacak şekilde alanlar eşit paylaşılacaktır.
Ağırlık merkezinin mantığı zaten tam da budur işte.
Ağırlık merkezi ve köşeler birleştirilince bir denge oluşması gerekmektedir.
Yani siz burayı uzatınca sol tarafta kalanların dengesi, sağ tarafta kalanların dengesine eşit olmak zorundadır.
Ya da tam tersi yani BE'yi yaptığınız zaman şurada kalanların, alanların oranı burada buradakilerin alanıyla eşit olmalıdır.
Böyle bir denge sağlamak zorundayız.
Ağırlık merkezinin güzelliği buradadır.
Bazı sorularda dikkat etmemiz önemlidir.
Tabii ki de ağırlık merkezi önemlidir.
Şimdi burada iç teğet çemberin yarıçapı bizim alanı bulmamızı sağlıyor.
Nedir peki formülümüz?
Şimdi burada formülümüze girişmeden önce bir alanı nasıl hesaplayacağımızı bilmemiz lazım.
ABC üçgenini verdim.
İç teğet çemberini de verdim.
Çemberim nedir?
İçeriden bütün kenarlara teğet olan ve merkezi iç açı ortayların kesişim merkezinde olan çemberdir.
Şimdi burada yarıçap dediğimiz tabii ki de buralar teğet noktaları olduğu için merkezden teğet değme noktalarının birleştiği yerler benim yarıçaplarım olacaktır ve bunların dik olduğunu teğet olduğundan dolayı biliyorum.
Tamam burada mesela B ve C alanını hesaplasaydım şurada B ve C üçgeninden bahsediyorum.
Şu üçgenden bahsediyorum.
Bunun alanı hesaplasaydım ne yapacaktım?
A kenarı çarpı ona ait yükseklik bölü 2 a çarpı r bölü iki.
Alan AIC'yi hesaplasaydım oradaki şu üçgenden bahsediyoruz.
Bu üçgende ne yapacaktım?
B kenarı çarpı B'ye ait yükseklik bölü iken b çarpı r bölü iki.
Son olan üçgende şurada ne yapacaktım peki?
C Kenarı çarpı C ye ait yükseklik veriyor ki hepsinde yükseklik bu üçgenler ait yükseklik r'ye kadar.
Burada da bulacağım formül tabii C'ye çarpı r bölü 2'ydi.
Tamam şimdi tüm alanı hesaplasaydım yani alan ABC hesaplasaydım ne yapacaktım?
Bu üçünü toplayacaktım.
Tüm alan ne oldu o zaman?
a çarpı 2 artı, b çarpı iki artı, c çarpı r bölü iki.
E burada bazı ortak şeyler var.
R ve bölü 2'ler ortak.
O zaman bunu şöyle de yazabilirim.
A artı b artı c 2 çarpı r dediğim şey bu üçünün toplamı zaten tamam.
Peki bu a artı B artı C bölü iki neydi?
Çevrenin yarısı.
Çevrenin yarısı U demekti.
U dediğim çevre bölü ikiydi.
r'yi de aynen aldım.
İşte U'yu kullanarak, yani iç teğet çemberin yardımını alarak alan hesaplama bu şekilde yapılıyor.
R dediğim işte çemberin yarıçapı, yarıçapı, uzunluğu, u dediğim de çevre bölü 2'dir.
Bu ikisini bilerek ve çarparak alan ABC hesaplayabiliyoruz.
Şimdi burada biraz ilerleyelim tabii ki de şimdi bu eşitliği bir inceleyelim.
Bu üç denklemde de R bölü 2 hep vardı.
R bölü 2'yi yalnız bırakıp eşitleyelim.
Üstteki anlattığım şeyler de şu üçgenlerin alanlarında R bölü ikiyi yalnız bırakıyorum.
Alan BIC, alan B ve C bölü 2 r bölü 2 olur.
Bu a buradaydı.
r bölü 2'yi yalnız bırakarak bunun altına attım.
BIC bölü a da r bölü ikidir.
Alan AIB bölü c de r bölü 2'dir.
Alan AIB bölü c de r bölü 2'dir.
Tamam.
Şimdi burada r 2 dediğim şey bir sabit bir sayıya eşit olacak sonuçta.
O zaman alan BIC bölü a eşittir alan AIC bölü b alan A eşittir.
Alan AIB bölü c.
Madem bunlar birbirine göre eşit o zaman A'ya gelen alan oranı, B'ye gelen.
Alan oranı ve C'ye gelen alan oranı birbirleriyle orantılı olacaktır.
Arkadaşlar burası çok önemlidir.
Mesela şunu çıkarabilirim.
Yani çemberin merkezi verilen böyle bir üçgende bu üç üçgenin alanı kenar uzunluğu ile orantılıdır.
Yani burada mesela hemen şöyle bir örnekle üstünden geçelim ki rahatça aklımızda kalsın.
Burada gördüğünüz gibi tabii burada bahsettiğimiz mesele iç teğet çemberin merkezi verilmesi ya da iç açı ortayların kesişiminin merkezi bir kesiminin verilmesi durumlarında geçerlidir.
İşte burada diyeceğim ki A'ya a.k geliyorsa B'ye b.k gelir, C'ye c.k kadar alan gelir.
Bu üstte r bölü 2 yalnız bırakmasından dolayı geçen bir alan dağıtım kuralıdır.
Arkadaşlar şimdi burada mesela 8 4,11 diye bir üçgen var.
Yine I'yı iç teğet bir merkez olarak düşünelim.
İşte burada diyebilirim ki 8'e 8a kadar alan gelirse dörde de sekize 8'in a katı kadar gelmiş.
O zaman dördün de A katı kadar 4a gelir.
On bire de on bir a gelir yani sekize.
Mesela on altı mı geldi?
Yani iki katı geldi, 4'ün de iki katı gelir, 11'in de iki katı gelir.
Böyle düşünebiliriz.
Şimdi burada U'yu anlattık.
Tamam bir de sadece U ile elde edebileceğimiz formülü aktarayım belki bir soruda rahatça işlem yapabilmenizi sağlar.
Yani yalnızca çevrenin verildiği sorularda alanı hesaplama 3-4-5 üçgeni diyecek.
Hadi alanı hesapla diyecek ama dik olduğunu falan mesela bilmiyorum.
Ne yapacağım o durumda?
İşte çevreyi bilerek alan hesap diyebiliyoruz.
Çevre dediğimiz x artı y artı z bu üçgen için.
Tamam u'yu hesapladım.
İşte formülüm şundan ibarettir.
Alan dediğim kök içerisinde u çarpı u'dan birinci kenarı çıkarın çarpı u dan, ikinci kenarı çıkarın çarpı u dan, üçüncü kenarı çıkarın çarpın işte bu size alanı verecektir.
Bunun karekökün içinde olduğunu unutmamak lazım.
Şimdi mesela bir örnekle ilerleyelim ne olsun?
3 kenarı bildiğimiz bir üçgen olsun.
6 8 10 üçgeninden bahsedelim.
Şimdi burada ben 6 8 10 üçgeninde çevreyi hesaplayabiliyor muyum?
Evet, bu nedir?
6 artı 8 artı 10 iki 2 12 mi etti?
Tamam bunun alanı hesaplanabilir miyim?
Rahatça hesaplayabiliyorum.
Formülüm yukarıda önce U'yu yazıyorum, sonra oradan çıkar birinciyi.
12 eksi 6, 12 eksi 8, 12 eksi 10 bitti.
6 2 12 12.
Burası 12'de çıktı, bir de o çıktı, alan eşittir yirmi dört.
Bu kadar.
Şimdi bu aynı 6 8, 10 üçgeni özel bir üçgendir.
Zaten ben bunu biliyorum.
Yani bu bir de üçgendir.
Burada en uzun kenarın karşısındaki açım 90 dereceydi.
Zaten özel üçgen olduğunu bildiğim için buraya 90 dereceyi rahatlıkla koydum.
Bakın diktiği vermişse de ben onun özel üçgen olduğunu bildiğim için kesin dik üçgendir diyebilirim.
Peki nedir bu dik üçgenin alanı?
Dik kenarların çarpımı bölü ikiydi.
Yani 24 aynı zamanda nasıl bulabilirdi?
6 çarpı 8 bölü 2 eşittir 24 olarak da zaten ispatlamış olduk.
Böyle u'lu alan formülünü böylece göstermiş olduk.
Mesela bir de eşkenar üçgene bakalım.
Buradan şurayı ayıralım, karışmasın.
Eşkenar üçgene bu sefer sayı vermeyelim, harf verelim.
A kenarlarına sahip bir üçgen olsun.
Yine u'lu alanı hesaplayalım.
U dediğim çevre bölü 2 mi?
Çevresi 3a.
O zaman çevre bölü 2'den 3a bölü 2.
u dediğim değere eşit oldu.
Alanı nasıl hesaplayacağım peki?
U'yu yazıyorum.
3 A bölü 2.
Sonra kenarları teker teker çıkarıyorum U'dan.
3a bölü 2 eksi a Yine u yazıyorum.
Diğer kenarı çıkarıyorum, o da a.
Üçüncüyü yazıyorum 3a bölü 2 eksi, o da a.
O zaman şunları yazmayıp şuraya bunun küpü diye yazabilirim.
Şuraya da şöyle biraz kısaltalım düzgün gözüksün, tamam.
Şimdi burada 3a bölü 2 eksi a dediğim değer nedir?
Buranın içerisi a bölü 2'dir.
Yani burasını şöyle de yazabilirim.
Yine kökü içi alalım tabii.
3a bölü 2 çarpı a bölü 2'nin küpü.
İçeride elde edeceğimiz değer ne oldu peki?
Şöyle yazalım.
Üç bölü iki çarpı küp bölü 8.
Burayı da atarsam şöyle yine sadeleştirecek şekilde üç bölü on altı çarpı üzeri dört A üzeri dördü dışarı a kare diye atabilirim böyle 16'yı dışarı bölü 4 diye atabilirim.
Üçü dışarı kökün içerisinden çıkmayacak şekilde tabii ki de kök 3 olarak atabilirim.
İşte eşkenar üçgenin alanının formülünün hesabını bulduk.
A kare kökü üç bölü dört bir eşkenar üçgenin alanını u'lu olacak şekilde böylelikle rahatlıkla bulabiliyoruz.
Şimdi burada bir de ağırlık merkeziyle alan hesaplama.
Alan ayarlama işine girelim.
Oransal dağılma şeklinde.
Burada tabii ağırlık merkezi ve alanın ilişkisi gayet önemlidir bağ soru tarzlarında.
Şimdi ben yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanı taban uzunluklarına göre oransal dağılacağını söylemiştim.
Kenar orta kenarı ortalıyorsa alanı da ortalar.
Ayrıca kenar orta konusunda da mesela ağırlık merkezi alanı belirli oranlarda bölüyor demiştik.
Şimdi burada onları inceleyelim biraz.
Mesela ben ağırlık merkezi verilen bir soruda kenara bir köşeye iki birim oranında bir dağılma olduğunu biliyorum kenarlar arasında.
İşte böylelikle alanı da dağıtabiliyorum.
Yani k'ye a kadar a gelirse iki kere 2a alan geleceğini biliyorum.
Aynı şekilde yine bu sefer B üzerinde bakarsam şuraya m dersem e'ye bg'ye 2m demem gerektiğini biliyorum.
Kenar uzunlukları olarak şimdi alana tekrar geri dönersem 2m'ye 2 a mı gelmiş?
Evet, çok sildik.
2m'ye 2a geldiyse m'ye a gelir diyebilirim.
Aynı şekilde buradan birleştirseydim ne yapacaktım peki?
Bu şöyle bakabilirim mesela şu kenarlara teğet deseydim A ve EC'ye teğet dedim.
T'ye A geldiyse T'ye yine A gelir.
Burayı da yazmış olalım.
Alt tarafa bakıyorum, BD eşittir DC ise şu üçgen içerisinde alanlar eşit dağılmıştır.
Yani buraya ne geliyorsa buraya da aynı şekilde o gelecek.
Buraya ağır geldiyse bu tarafa daha gelecek.
Yani ben bir kenarortay incelemesi yaparsam ve ağırlık merkezini köşeler ile birleştirirsek oluşacak şekilde alanlar eşit paylaşılacaktır.
Ağırlık merkezinin mantığı zaten tam da budur işte.
Ağırlık merkezi ve köşeler birleştirilince bir denge oluşması gerekmektedir.
Yani siz burayı uzatınca sol tarafta kalanların dengesi, sağ tarafta kalanların dengesine eşit olmak zorundadır.
Ya da tam tersi yani BE'yi yaptığınız zaman şurada kalanların, alanların oranı burada buradakilerin alanıyla eşit olmalıdır.
Böyle bir denge sağlamak zorundayız.
Ağırlık merkezinin güzelliği buradadır.
Bazı sorularda dikkat etmemiz önemlidir.
Tabii ki de ağırlık merkezi önemlidir.
