Eşitsizlik Nedir?
İki niceliğin birbirine göre büyük ya da küçük olma durumunu belirten bağıntılara eşitsizlik denir.
a,b ∈ R , a ≠ 0 olmak üzere;
ax + b < 0 şeklinde sadece tek değişken içeren (x) ve bu değişkenin katsayısı 1 olan eşitsizliklere birinci derecenden bir bilinmeyeli eşitsizlik denir.
Gerçel (reel) sayı ekseninde (sayı doğrusu) herhangi bir sayının sağında bulunan sayılar daima o sayıdan büyük, solunda bulunan sayılar da o sayıdan küçüktür.
Eşitsizlikler <, >, ≤, ≥ sembolleri kullanılarak ifade edilir.
Eşitsizliklerde ifadenin tarafları arasında aşağıdaki sembollerden biri kullanılır:
| Sembol | Adı | Açıklama |
|---|---|---|
| < | Küçüktür | Eşitsizliğin sol tarafı sağ tarafından küçüktür. |
| > | Büyüktür | Eşitsizliğin sol tarafı sağ tarafından büyüktür. |
| ≤ | Küçük ya da eşittir | Eşitsizliğin sol tarafı sağ tarafından küçüktür ya da sağ tarafına eşittir. |
| ≥ | Büyük ya da eşittir | Eşitsizliğin sol tarafı sağ tarafından büyüktür ya da sağ tarafına eşittir. |
Aralık Kavramı
Sayı doğrusu üzerinde birbirinden farklı iki noktanın arasındaki tüm gerçek sayılardan oluşan alt kümeye aralık adı verilir.
Aralık kavramı [a,b], (a,b), [a,b), (a,b] şekillerinde gösterilebilir.
- {x : a < x < b, x ∈R} kümesine, a ve b sayıları ile oluşturulan açık aralık denir ve (a, b) şeklinde gösterilir.
(a,b) = {x : a < x < b, x ∈R}
- {x : a ≤ x ≤ b, x ∈R} kümesine, a ve b sayıları ile oluşturulan kapalı aralık denir ve [a, b] şeklinde gösterilir.
[a,b] = {x : a ≤ x ≤ b, x ∈R}
- {x : a ≤ x < b, x ∈R} kümesine, a ve b sayıları ile oluşturulan yarı açık aralık denir ve [a, b) şeklinde gösterilir.
[a,b) = {x : a ≤ x < b, x ∈R}
Eşitsizliklerin Özellikleri
- Sabit ifadeleri bir tarafa, bilinmeyen ifadelerimizi bir tarafa koyuyoruz. Herhangi bir ifade karşıya götürürken kendi işaretini değiştirir.
- Eşitlik her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse, bu eşitlik yön değiştirmez.
- Eşitlik her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse, bu eşitlik yön değiştirir.
- Yönü aynı olan eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.
- Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa çıkarılamaz. Öncelikle eşitsizliklerden biri (-) ile çarpılarak toplamaya dönüştürülür.
- Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa çarpılamaz. Çarpma yapılırken uç sınırlar birbiri ile çarpılarak en büyük ve en küçük değeri bulunur.
- Bir sayının karesi eğer kendinden küçük ise bu sayı 0 ile 1 arasında demektir.
- Bir eşitsizliğin her iki tarafı −1 ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
- Bir eşitsizliğin taraflarının karesi (ya da pozitif çift sayı olan bir üssü) alınırken, eğer aralık sıfır değerini içermiyorsa sınır değerlerinin karesi alınır.
- Bir eşitsizliğin taraflarının karesi (ya da pozitif çift sayı olan bir üssü) alınırken, eğer aralık sıfır değerini içeriyorsa alt sınır değeri sıfırdan büyük ve sıfıra eşit olur, üst sınır değeri eşitsizlikteki sınır değerlerinden mutlak değerce büyük olanın karesi olur.
Basit Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi Nasıl bulunur?
İlk olarak sabit ifadeleri bir tarafa, bilinmeyen ifadelerimizi bir tarafa koyuyoruz. Herhangi bir ifade karşıya götürürken kendi işaretini değiştirir. Örneğin:
2x-8<x+4
2x-x < 8+4
x<12
Çözüm kümesi x<12 diyebiliriz.