Çarpanlara Ayırma Kavramı
Çarpanlara Ayırma Nedir?
Bir polinomun veya cebirsel bir ifadenin kendisini oluşturan daha basit bileşenlerin çarpımı veya bölümü şeklinde yazılması işlemine çarpanlara ayırma denir.
Çarpanlara Ayırma Nasıl Yapılır?
Çarpanlara ayırma işlemlerini farklı yöntemlerle yapabiliriz. Örneğin, ortak çarpan parantezine alma yöntemi veya gruplara ayırma yöntemi çarpanlara ayırma yapılırken kullanılabilir.
Çarpanlara Ayırma Yöntemleri Nelerdir?
- Ortak çarpan parantezine alma
- Gruplara ayırma
- Özdeşlikler
Ortak Çarpan Parantezine Alma Yöntemi Nedir?
Ortak gördüğümüz harf veya sayı parantezine alınarak yapılır.
Örnek: 3x+3y ifadesinde 3 sayısı ortaktır. Bu nedenle ifadeyi 3 parantezine alırız;
3(x + y) = 3x + 3y
Gruplara Ayırma Yöntemi Nedir?
Bir diğer yöntem gruplara ayırma yöntemidir. İfadenin her teriminde ortak harf, terim veya sayı bulunuyorsa ifadeleri ikişerli, üçerli veya daha fazla sayıda gruplara ayırabiliriz.
Örnek: ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y).(a+b)
ax + ay + bx + by ifadesinde a’ların, b’lerin, x’lerin veya y’lerin ortaklığı kullanılarak paranteze alınabilir.
Özdeşlikler Yöntemi Nedir?
Özdeşlikler Verilen ifade için çarpanlara ayırma işlemi yaparken iki kare farkı, küpler toplamı, küpler farkı gibi farklı özdeşliklerden faydalanabiliriz. Bu özdeşlikleri ayrıntılı olarak sonraki yazılarımızda işleyeceğiz.
Çarpanlara Ayırma Nerelerde Kullanılır?
Çarpanlara ayırma farklı alanlarda kullanılmaktadır. Örneğin, NASA uzaya gönderdiği robotların iki boyutlu ve renkli görüntülemesi için polinomlarda çarpanlara ayırmayı kullanmıştır.
İki Kare Farkı Özdeşliği
İki Kare Farkı Nasıl Bulunur?
İki kare farkı özdeşliği, çarpanlara ayırma konusundaki en önemli özdeşliklerden biridir. Özdeşliği sözel olarak ifade edersek iki sayının karelerinin farkı, bu sayıların farkı ile toplamının çarpımına eşittir.
İki Kare Farkı Özdeliği Formülü Nedir?
İki Kare Farkı Özdeşliği Örnekleri Nelerdir?
Üç Terimli İfadelerin Çarpanlara Ayrılması
Üç Terimli İfadeler Çarpanlara Nasıl Ayrılır?
a ≠ 1 ise;
ax2 + bx + c = (kx + m).(tx+n)
Eğer a sayısı 1’e eşit değilse, çarpımları ax2 terimini veren kx ve tx ifadeleri bulunur. (m ve t sayıları katsayıları gösteriyor.)
Sonrasında aynı şekilde c sayısını veren n ve m sayıları bulunur.
Burada önemli nokta ifadeleri çapraz çarpıp topladığımız zaman ortadaki terimi bulabilmemiz. Ortadaki terimi elde ettikten sonra ayırdığımız ifadeleri yan yana toplar ve birbiri ile çarparız. Mantığını anladıktan sonra bol pratikle bu işlemi yapmak çok kolay olacak!
a = 1 ise;
ax2 + bx + c üç terimli ifadesini x2 + bx + c şeklinde yazabiliriz.
x2 + bx + c = (x + m).(x + n) Eğer a sayısı 1’e eşitse, toplamları b ve çarpımları c sayısını verecek şekilde (varsa) m ve n sayılarını bularak üç terimli ifadeyi çarpanlarına ayırırız.
Üç Terimli İfadeyi Çarpanlarına Ayırma Örnekleri
x2 – 3x – 4 ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Toplamları -3 ve çarpımları -4 olan iki sayı bulmalıyız.
Deneyelim. -4 ile 1’in çarpımları -4, toplamları da -3 ediyor.
Sonuç olarak x2 – 3x – 4 üç terimli ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali (x – 4).(x +1) olur.
4x2 – 6x – 4 ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Öncelikle çarpımları 4x2 olacak iki ifade bulalım.
2x ve 2x’i deneyelim.
Çarpımları -4’ü veren de iki sayı bulmam gerekiyor.
-4 ve 1 sayısını deniyorum.
2x -4
2x 1
İfadeleri çapraz çarpıp toplamının -6 olup olmadığını kontrol etmeliyim.
2x .1 + 2x . (-4) = -6x işlemi istediğimiz orta terimi sağladı.
Sonuç olarak 4x2 – 6x – 4 üç terimli ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali (2x – 4).(2x +1) olur.
Tam Kare Özdeşliği
Tam Kare Açılımı Nedir?
İki sayının toplamının veya farkının karesini aldığımızda bu ifadenin açılımına tam kare açılımı denir.
Tam Kare Toplamı Formülü Nedir?
(a + b)2 = (a+b).(a+b) = a2 + 2ab + b2
Bu formülü “birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ikincinin karesi” şeklinde hatırlayabilirsin.
Tam Kare Farkı Formülü Nedir?
(a – b) 2 = (a-b).(a-b) = a2 – 2ab + b2
Bu formülü “birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ikincinin karesi” şeklinde hatırlayabilirsin.
Tam Kare Açılımının İspatı Nedir?
Tam kare toplamı açılımının geometrik ispatı:
Tam kare farkı açılımının geometrik ispatı:
Tam Küp Özdeşliği
İki Küp Toplamı Formülü Nedir? a3 + b3 Açılımı Nasıl Olur?
İki Küp Toplamı Örnekleri Nedir? a3 – b3 Açılımı Nasıl Olur?
İki Küp Farkı Formülü Nedir?
İki Küp Farkı Örnekleri Nedir?
İki Terimin Toplamının Küpü Nasıl Alınır?
İki terimin toplamının küpü formülü, binom açılımı ve Pascal üçgeni yardımı ile bulunabilir.
İki Terimin Toplamının Küpü Örnekleri Nedir?
İki Terimin Farkının Küpü Nasıl Alınır?
İki terimin farkının küpü formülü, binom açılımı ve Pascal üçgeni yardımı ile bulunabilir.
İki Terimin Farkının Küpü Örnekleri Nedir?
Çarpanlara Ayırma Yöntemleri
Değişken Değiştirme Yöntemi ile Çarpanlara Ayırma Nedir?
Çarpanlarına ayrılması istenen ifadede aynı türden değişkenler bulunuyorsa bu değişkeni daha kolay işlem yapabileceğimiz şekilde sadeleştirmek için ifadedeki değişkeni değiştirebiliriz. Bu yöntem ile sonuca çok daha hızlı ulaşmış oluruz.
Değişken Değiştirme Yöntemi ile Çarpanlara Ayırma Nasıl Yapılır?
Örnek: (x2+ 3)2 – (x2 + 3) – 12 ifadesini çarpanlarına ayıralım.
x2 + 3‘ü başka bir değişkenle değiştirerek ifadeyi sadeleştirebilir ve bu sayede daha kısa yoldan sonuca ulaşabiliriz.
x2 + 3 = t olsun.
t2 – t – 12 ifadesini üç terimli ifadelerin çarpanlarına ayrılması içeriğimizde anlatıldığı şekilde çarpanlara ayırabiliriz.
t2 – t – 12 = (t – 4).(t + 3)
t yerine x2 + 3 yazarak sonucu x değişkeni cinsinden bulalım.
= (x2 + 3 – 4).(x2 +3 + 3) = (x2 – 1).(x2 + 6)
Terim Ekleme ve Çıkarma Yöntemi ile Çarpanlara Ayırma Nedir?
Çarpanlarına ayrılması istenen ifade bize verilen haliyle çarpanlara ayrılamıyorsa bu ifadeyi işlem yapabileceğimiz şekilde düzenleyebilmek için terim ekleriz ve çıkarırız. Bu yöntem ile aslında ifadeyi değiştirmemiş oluruz ve özdeşliklerden faydalanarak çarpanlara ayırırız. Genellikle ifadeyi tam kareye tamamlamak için terim ekleme ve çıkarma yöntemi kullanılır.
Terim Ekleme ve Çıkarma Yöntemi ile Çarpanlara Ayırma Nasıl Yapılır?
Örnek: (a4 + a2 +1) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
(a4 + a2 +1) ifadesini tam kareye çevirmek için a2 terimini ekleyip çıkaralım.
a4 + a2 + 1 + a2 – a2 = a4 + a2 + 1 – a2 = (a2 + 1)2 – a2
İki kare farkı yöntemini kullanabiliriz.
= (a2 + 1 + a).(a2 – a + 1) şeklinde çarpanlarına ayırılır.
Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi
Rasyonel İfadelerde Sadeleştirme Nasıl Yapılır? Bir Rasyonel İfade Nasıl Sadeleşir?
Rasyonel ifadeleri çarpanlara ayırma yöntemlerini kullanarak sadeleştirebiliriz:
- Verilen soruda paydalar eşit değilse ilk önce paydaları eşitle.
- Parantezlerin içlerini düzenle.
- Çarpanlara ayırma metodlarını ve özdeşlikleri kullan.
- Yapılan çarpanlara ayırma işlemlerinde ortak çarpanlar varsa onları pay ve paydada yok et.
Verilen rasyonel ifadelerde işlem önceliğine dikkat ederek sadeleştirme yapmalıyız.
Rasyonel İfadelerde Sadeleştirme Örnekleri Nelerdir?
ifadesinin en sade halini bulalım.
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlara ayırabiliriz.
2x2 – 2x – 6 = (2x + 3).(x – 2)
3x2– 5x – 2 = (3x + 1).(x – 2)
Gördüğümüz gibi (x-2) ifadesi ortak çarpan olarak bulunur.
Ortak çarpanları yok edersek rasyonel ifadenin en sade halini olarak buluruz.