10. Sınıf konularından Karmaşık Sayılar konusu, AYT Matematik’te soru gelen konulardan biri. Her zaman karşına çıkabilir! Temel kuralları ve yöntemleri öğrendikten sonra bolca pratik yapman gerekiyor. Soru çözmeye başladıktan sonra bu konunun sana çok kolay geleceğine eminiz! Kunduz ekibinden Nurseli, karmaşık sayılar konusu hakkında senin için çok faydalı bir özet yazısı hazırladı!
İkinci dereceden denklemleri nasıl çözeceğimizi ilgili yazımızda incelemiştik. O yazımızda Δ < 0 ise denklemin reel sayılarda çözümü yok demiştik. Bir denklemin gerçel sayılarda çözümü olmayabilir ama bu, herhangi bir çözüm olmadığı anlamına gelmemekte. İşte, bu sorularda çözümlere ulaşmamızı bir kısmıyla Karmaşık Sayılar kavramına borçluyuz.
Karmaşık Sayılar Tarihi
Ünlü filozof ve matematikçi Descartes 17. yüzyılda karmaşık sayıların varlığının olabileceğini düşünüyormuş, fakat Kartezyen Çarpım yazımızda da bahsettiğimiz kendi kurduğu Kartezyen Koordinat Sisteminde bu sayılara yer bulamadığı için onlara “sanal” ismini koymuş. Sanal, Fransızca “imaginaire” kelimesine karşılık gelir ve bizim bu konuda hep gördüğümüz “i” harfi de “imaginaire”den gelmekteymiş. Çok ilginç, değil mi?
Karmaşık Sayılar Kazanımları
10. sınıf müfredatında Karmaşık Sayılar konusu altında yer alan kazanımlar 2019-2020 yılında aşağıdaki gibidir, bu konuya çalışırken aklının bir köşesinde olmasında fayda var:
Bir karmaşık sayının a+ib (a,b ∈ℝ) biçiminde ifade edildiğini açıklar.
- Diskriminantın sıfırdan küçük olduğu durumlarda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin köklerinin bulunabilmesi için gerçek sayılar kümesini kapsayan yeni bir sayı kümesi tanımlama gereği örneklerle açıklanır.
- i2= −1 olmak üzere bir karmaşık sayı ?+?? (?,?∈ℝ) biçiminde gösterilir.
- Köklerin birbirinin eşleniği olduğu belirtilir.
- Karmaşık sayının eşleniği dışındaki özelliklere ve işlemlere girilmez.
İpuçlarımız
Karmaşık sayı nedir? Karmaşık sayılarda i neye eşittir? Karmaşık Sayılar Z nedir? Karmaşık sayının eşleniği nasıl bulunur?
- a, b birer gerçel(reel) sayı olmak üzere z= a+bi biçimindeki bir sayıya karmaşık sayı denir.
- z = a + bi karmaşık sayısında a’ya z karmaşık sayısının reel kısmı denir ve Re(z) ile gösterilir, b’ye de z karmaşık sayısının sanal (imajiner) kısmı denir ve Im(z) ile gösterilir.
- a, b, c, d birer reel sayı olmak üzere; z1 = a + bi ve z2 = c + di iken z1 = z2 ise a = c ve b = d’dir.
- a ve b reel sayılar olmak üzere, a + bi şeklindeki bir karmaşık sayının eşleniği a – bi’dir.
- Şimdi i sayısının kuvvetlerine göre olan değişimini inceleyelim.
Ek olarak, Karmaşık Sayılar konusunda kendini geliştirebilmen için önerebileceğim bir etkinlik var. Linki yazının sonunda!
Soru 1
Çözümü:
Sorunun çözümü çok uzun gibi gözükse de aslında çok basit bir ipucuyla kolayca çözülebilir. Yukarıda i’lerin kuvvetlerinin her 4 adımda bir olmak üzere kendini tekrar ettiğini söylemiştik. Dolayısıyla, her 4 terim birbirini götürür ve bu işlemler 0 olur. Sorudaki terimlerin sayısı da 100 olmak üzere, 4’e tam bölündüğü için bütün bu işlemin sonucu da 0 olacaktır.
Karmaşık Sayılar Örnek Soru Çözümü
Bu konuyu tam olarak anlamak için bol bol soru çözümü yapmak da çok önemli.?Bilgileri, tanımları ve önemli ipuçlarını öğrendikten sonra, soruların içinde nasıl yer aldığını görmen gerekli. Matematik konu anlatımı yazılarımıza göz attıktan sonra, kendi kaynaklarına ek olarak MEB Kaynaklarını da incelemen faydalı olabilir. Kunduz’a şu ana kadar sorulmuş binlerce Yaş Problemleri konulu sorudan birkaçı senin için burada!
Ekstra: Alıştırma
☀️☀️☀️
Her ders için değişmeyen kilit nokta bol bol soru çözümü ile pratik yapmak. Çözemediğin sorulara yanıt bulmak istiyorsan sınava hazırlık sürecinde Kunduz hep yanında! Profesyonel eğitmenler tarafından hazırlanan Soru Çözümü, binlerce soru ve çözümden oluşan Soru Bankası hizmetlerimizden faydalanabilirsin.
Uygulamada senin için hazırlanmış , tüm konuları öğrenebileceğin premium içerik ders videolarını incelemeyi unutma!