Permütasyon Nedir?
Permütasyon konu anlatım yazımıza öncelikle permütasyonun ne olduğundan bahsederek başlayalım. n pozitif tamsayı, r doğal sayı ve r < n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r’lilerine o kümenin r’li permütasyonu denir.
Biraz karışık görünebilir, hemen daha anlaşılır hale getirelim:
n tane farklı nesnemiz var. bu n tane nesneden r tanesini aynı anda seçiyor ve sıralıyoruz, yani sıralı r’li oluşturuyoruz, işte bu sıralamaya n’in r’li permütasyonu denir. n ve r boşluklarının yerine sayılar koyup cümleyi okuyunca ifade daha da anlaşılır olacaktır.
Permütasyon Nasıl Hesaplanır? Permütasyon Formülü
Permütasyon, bir nesne kümesinin belirli bir sırayla düzenlenmesinin sayısını ifade eder. n nesnenin permütasyonu (n!), nesnelerin tüm olası düzenlemelerinin sayısını verir. İşte permütasyonu hesaplamanın genel formülü:
P (n , r) = n! / (n – r)!
Burada:
- P (n , r) permütasyonu temsil eder.
- n toplam öğe sayısını,
- r düzenleme sayısını ifade eder.
- n! n faktöriyel, n’nin tüm pozitif tam sayılarına kadar çarpılması anlamına gelir.
Bu formül, nesne sayısının ve düzenleme sayısının belirli bir sırayla düzenlenmiş tüm olası kombinasyonları içerir. Örneğin, bir kart destesinde 52 kart varsa ve 5 kart seçiyorsanız, P (52 , 5) tüm beşli kart kombinasyonlarının sayısını verir.
Permütasyon Hesaplama
Permütasyon hesaplama için örnek bir soru üzerinden adım adım ilerleyelim:
Örnek: Bir kitap raflarında 7 farklı tarih kitabı bulunmaktadır. 3 kitap kaç farklı şekilde seçilip sıralanabilir bulunuz.
Çözüm:
P(7 , 3) = 7! / (7 – 3)!
P(7 , 3) = 7! / 4!
P(7 , 3) = 7×6×5×4×3×2×1 / 4×3×2×1
P(7 , 3) = 7×6×5 / 1
P(7 , 3) = 210
Sonuç olarak, 3 kitabı seçmenin 210 farklı permütasyonu bulunmaktadır. Bu, bu kitapları farklı sıralamalarla seçme olasılığını temsil eder.
Tekrarsız Permütasyon Hesaplama
Bu seçenekte her eleman yalnızca bir kez kullanılır.
n elemanlı bir kümeden seçilen r elemanlı tekrarsız permütasyonların toplamı n ≥ r olması koşuluyla formülle gerçekleştirilir.
Formül şöyledir; P ( n,r ) = n! / ( n-r ) !
Tekrarlı Permütasyon Hesaplama
Tekrarlı permütasyonlar ise n^r formülü ile ifade edilir.
Permütasyon Sayısı
n elemanlı bir kümenin r’li permütasyonlarının sayısı P (n, r) ile gösterilir.
P (n,r) = n! / (n − r)! şeklinde hesaplanır.
Permütasyon Özellikleri
- P (n , 0) = 1
- P (n , 1) = n
- P (n , n) = 1
Permütasyon İşlem Kuralları
- 0 ve 1’in faktöriyel değerleri 1’dir.
- n elemanlı bir kümenin 1’li permütasyonlarının sayısı n’dir ve bu permütasyonların her biri kümenin bir elemanından oluşur.
- n elemanlı bir kümenin 0’lı permütasyonlarının sayısı 1’dir ve bu permütasyon boş kümedir.
Permütasyon vs. Kombinasyon Arasındaki Farklar
| Özellik | Permütasyon P(n,r) | Kombinasyon C(n,r) |
|---|---|---|
| Tanım | Bir nesne kümesinin belirli bir sırayla düzenlenmesinin sayısı. | Bir nesne kümesinden belirli bir sırasız alt kümenin sayısı. |
| Sıra Önemi | Önemlidir. | Önemli değildir. |
| Genel Formül | n! / (n – r)! | n! / (n – r)! * r! |
| İfade Edilen Kombinasyon | n elemanın r elemanla düzenlenmesi. | n elemanın r elemanla kombinasyonu. |
| Tekrarlama | Tekrarlı permütasyon mümkündür. | Tekrarlı kombinasyon mümkündür. |
| Örnek | Örneğin, bir kart destesinden belirli bir sıra ile kart seçme. | Örneğin, bir elde belirli kartların sırasız kombinasyonu. |
| Notasyon | P(n,r) | C(n,r) |
Permütasyon – Olasılık İlişkisi
Permütasyonlar, olasılık hesaplamalarında sıkça kullanılır. Özellikle, bir olayın olasılığını hesaplarken, o olayın gerçekleşme şekillerini belirlemek için permütasyonlar kullanılabilir.
Örneğin, bir torbadan rastgele çekilen 3 top arasında belirli bir sıra ile çekilme olasılığını düşünelim. Eğer torbada toplam 5 top varsa, bu durumda 5 top arasından 3 top seçme permütasyonu P (5 , 3) olarak hesaplanır. Bu permütasyon, belirli bir sıra ile 3 topun seçilme biçimlerini ifade eder.
Daha sonra, bu permütasyonun tüm olası durumların sayısına bölünerek belirli bir sıra ile 3 topun seçilme olasılığı hesaplanır.
Bu şekilde, permütasyonlar olasılık hesaplamalarında belirli durumların sayısını bulmada kullanılır.
Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1: Bir kitap raflarında 5 farklı roman ve 3 farklı tarih kitabı bulunmaktadır. Bu kitaplardan kaç farklı şekilde 3 kitap seçilebilir?
Çözüm 1: Permütasyon formülü kullanarak çözebiliriz:
P (8 , 3) = 8! / (8 – 3)! = 8! / 5! = 8*7*6 = 336
Bu durumda, 8 farklı kitap arasından 3 kitap seçmenin 336 farklı permütasyonu vardır.
Soru 2: ABCD dört harfinin oluşturduğu bir küme düşünün. Bu harflerle kaç farklı sıralama yapılabilir?
Çözüm 2: 4 harfin oluşturduğu kümenin permütasyonu P(4,4) olacaktır. Formülü kullanarak hesaplayabiliriz:
P (4 , 4) = 4*3*2*1 = 24