Trigonometri Konu Anlatımı ve Örnek Soru Çözümleri

Trigonometri Nedir?

Trigonometri kelimesi Türk Dil Kurumu’na göre “üçgenleri hesaplamayı konu edinen matematik kolu” demektir. Trigonometri kelimesi Yunanca “trigōnon” (üçgen) ve “metron” (ölçmek) ifadelerinden oluşmuştur

Açı Nedir?

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir.

Yönlü Açı Nedir?

Bir açıyı oluşturan iki ışından biri başlangıç, diğeri ise bitim kenarı olarak ele alınan açılara yönlü açılar denir. Yönlü açılarda başlangıç kenarı sabit, bitim kenarı ise hareketlidir.

Pozitif Yönlü Açı, Negatif Yönlü Açı Nedir?

Saat yönünün tersini gösteren açılar pozitif yönlü açılar, saat yönünü gösteren açılar ise negatif yönlü açılardır.

Açı Ölçme Birimleri Nelerdir?

Açının ölçüsünü ifade etmek için “derece” veya “radyan” birimleri kullanılır.,

Derece Nedir?

Bir tam çember yayının 360 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne derece denir.

Derece işareti, ° ile gösterilir.

Örneğin, 1 derece kısaca 1° olarak gösterilmektedir.

Dakika Nedir?

Derecenin altmışta birine 1 dakika denir.

Bu ölçü 1’ olarak gösterilir.

1° = 60’

1 derece 60 dakikaya eşittir.

Saniye Nedir?

Dakikanın altmışta birine 1 saniye denir.

Bu ölçü 1’’ olarak gösterilir.

1’ = 60’’

1 dakika 60 saniyeye eşittir.

1° = 3600’’

1 derece 3600 saniyeye eşittir.

Radyan Nedir?

Bir çemberde yarıçap uzunluğuna eşit yayın uzunluğunu gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.

Radyan Nasıl Bulunur?

r birimlik yay uzunluğunun 1 radyan olduğunu biliyoruz. (r = yarıçap)

O halde çemberin çevresine karşılık gelen 2πr birimlik bir yay uzunluğunun kaç radyana eşit olduğunu oran orantı kurarak bulabiliriz. Bu da 2π radyan olur.

Bir tam çember yayının ölçüsü 2π radyandır.

Derece – Radyan Dönüşümü

Bir tam çember yayının ölçüsü 2π radyandır yani bu da 360 dereceye eşittir.

O halde bir açının derece cinsinden ölçüsü D, radyan cinsinden ölçüsü R olmak üzere kurulan oran – orantıdan

D. 2π = R. 360° olur.

Bu formülde bize verilen dereceyi yerine yazarak radyana çevirme işlemi yapabiliriz.

Radyan Formülü

Bir açının derece cinsinden ölçüsü D, radyan cinsinden ölçüsü R olmak üzere,

D. 2π = R. 360° denkleminde R’nin formülünü bulabiliriz.

Esas Ölçü Nedir?

Trigonometri konusunda esas ölçü,

α negatif bir sayı olmamak şartıyla ve k bir tamsayı olmak üzere,

α + 360° . k formülüyle bulunur.

Ölçüsü α + 2kπ olan açının esas ölçüsü α radyan olarak bulunur.

Sinüs Nedir, Sinüs Değeri Nasıl Hesaplanır?

Bir dik üçgende açının sinüs değeri, açının karşısındaki kenar uzunluğunun üçgendeki hipotenüs uzunluğuna oranı ile bulunur.

sinüs : karşı bölü hipotenüs

Kosinüs Nedir, Kosinüs Değeri Nasıl Hesaplanır?

Bir dik üçgende açının kosinüs değeri, açının komşu kenar uzunluğunun üçgendeki hipotenüs uzunluğuna oranı ile bulunur.

cosinüs : komşu bölü hipotenüs

Tanjant Nedir, Kosinüs Değeri Nasıl Hesaplanır?

Bir dik üçgende açının tanjant değeri, açının karşısındaki kenar uzunluğunun üçgendeki komşu kenar uzunluğuna oranı ile bulunur.

tanjant : karşı bölü komşu

Kotanjant Nedir, Kotanjant Değeri Nasıl Bulunur?

Bir dik üçgende açının kotanjant değeri, açının komşu kenar uzunluğunun açının karşısındaki kenar uzunluğuna oranı ile bulunur.

kotanjant : komşu bölü karşı

Trigonometrik Değerler Tablosu

• Sin90 kaçtır?

sin90 derecenin değeri 1 olur.

• cos 90 nedir? cos 90 kaç?

cos90 derecenin değeri 0 olur.

• cos 60 nedir?

cos60° nin değeri 1 bölü 2 olur.

• sin30 kaça eşit?

sin30° nin değeri 1 bölü 2 olur.

• sin45 kaça eşit?

sin45 derecenin değeri 1 bölü kök 2 olur.

• sin60 kaça eşit?

sin60 derecenin değeri kök 3 bölü 2 olur.

Trigonometrik Özdeşlikler

• sin²x + cos²x = 1
• sin²x = 1 – cos²x
• sin²x = (1 – cosx).(1 + cosx)
• cos²x = 1 – sin²x
• cos²x = (1 – sinx).(1 + sinx)
• tanx = sinx / cosx
• cotx =cosx / sinx
• secx = 1 / cosx
• cosecx = 1 / sinx
• 1 + cot²x = cosec²x
• 1 + tan²x = sec²x

Birim Çember Nedir?

Analitik düzlemde merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir.

Birim Çemberin Bölgeleri

Birim çember analitik düzlemde 4 bölgeye ayrılarak yorumlanabilir.

1. bölgede 0° ile 90° arasındaki açılar bulunur. Bu bölgedeki açıların apsis ve ordinatları pozitiftir.
2. bölgede 90° ile 180° arasındaki açılar bulunur. Bu bölgedeki açıların apsisleri negatif ve ordinatları pozitiftir.
3. bölgede 180° ile 270° arasındaki açılar bulunur. Bu bölgedeki açıların apsisleri ve ordinatları negatiftir.
4. bölgede 270° ile 360° arasındaki açılar bulunur. Bu bölgedeki açıların apsisleri pozitif ve ordinatları negatiftir.

Sinüs Toplam Formülü Nedir?

Eğer iki açının sinüs ve kosinüs değerleri biliniyorsa, trigonometri toplam fark formülleri yardımıyla bu iki açının toplamının sinüs değerini bulabiliriz.

Sinüs toplam formülü:

sin(a+b) = sina * cosb + cosa * sinb

Örneğin,

sin75° = sin(45° + 30°)

sin75° = sin45° * cos30° + sin30° * cos45°

Kosinüs Toplam Formülü Nedir?

Eğer iki açının sinüs ve kosinüs değerleri biliniyorsa, trigonometri toplam fark formülleri yardımıyla bu iki açının toplamının kosinüs değerini bulabiliriz.

Kosinüs toplam formülü:

cos(a + b) = cosa * cosb – sina * sinb

cos105° = cos(60° + 45°)

cos105° = cos60° . cos45° – sin60° . sin45°

Sinüs Fark Formülü Nedir?

Eğer iki açının sinüs ve kosinüs değerleri biliniyorsa, trigonometri toplam fark formülleri yardımıyla bu iki açının farkının sinüs değerini bulabiliriz.

Sin fark formülü:

sin(a – b) = sina . cosb – sinb . cosa

Örneğin,

sin15° = sin(45° – 30°)

sin15° = sin45° . cos30° – sin30° . cos45°

Kosinüs Fark Formülü Nedir?

Eğer iki açının sinüs ve kosinüs değerleri biliniyorsa, trigonometri toplam fark formülleri yardımıyla bu iki açının farkının kosinüs değerini bulabiliriz.

Cos fark formülü:

cos(a – b) = cosa . cosb + sina . sinb

Örneğin,

cos15° = cos(45° – 30°)

cos15° = cos45° . cos30° + sin45° . sin30°

Sinüs Yarım Açı Formülü Nedir?

Trigonometri yarım açı formülleri konusunda ilk olarak sinüs yarım açı formülünü inceleyelim.

sin(a + b) = sina . cosb + sinb . cosa olduğunu biliyoruz.

a = b = x alınırsa sin2x açılımı bulunabilir.

sin (2x) = sinx . cosx + sinx . cosx olacaktır.

sin(2x) = 2 . sinx . cosx olarak bulunur.

Örneğin,

sin4x = 2 . sin2x . cos2x

sin10° = 2 . sin5° . cos5°

Kosinüs Yarım Açı formülü Nedir?

cos(a+b) = cosa . cosb – sina . sinb olduğunu biliyoruz.

a = b = x alınırsa cos2x açılımı bulunabilir.

cos(2x) = cosx . cosx – sinx . sinx formülünden cos yarım açı formülleri :

cos2x = cos²x – sin²x

cos²x = 1 – sin²x yazılırsa

cos2x = 1 – 2sin²x elde edilir.

sin kare x açılımı yardımıyla,

sin^2x = 1 – cos²x yazılırsa

cos2x = 2cos²x – 1 elde edilir.

Trigonometrik Fonksiyonlar