Tanımı inceleyelim bakınız A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise o zaman arkadaşlar biz şöyle diyeceğiz: A kümesi A kümesi B kümesinin alt kümesidir diyeceğiz arkadaşlar.
B kümesinin alt kümesidir denir ve biz bunu nasıl göstereceğiz?
Şu şekilde göstereceğiz arkadaşlar: A var B var ve biz bu şekilde arkadaşlar C çizip altına çizgi koyacağız yani A alt küme B şeklinde biz bunu okuyacağız arkadaşlar bakınız buradaki şartımız şu olacak A kümesinde bulunan tüm elemanlar B'de olacak bakınız tam tersini demiyoruz yani B'de olan her şey A'da olmak zorunda değil ama A'da olan bütün elemanlar B'de olmak zorunda o şekilde olduğunda alt küme diyebiliriz biz.
Peki devam edelim A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsar da denir arkadaşlar.
Bu şekilde de gelebilir karşınıza ve bunu nasıl göstereceğiz bu sefer B'yi ve A'yı yazdık bu sefer alt kümenin tam tersi olan şu şekilde bir sembolü çizdiğimizde bu bize yine aynı şekilde aslında A kümesinin B kümesinin alt kümesi olduğunu hatırlatacak ve okurken de bunu okurken de B kümesi A kümesini kapsar şeklinde okuyacağız biz bunu.
Peki bu alt küme ile alakalı bir de Venn şemasıyla gösterelim burada daha anlamlı olacaktır diye düşünüyorum.
A kümesi verilmiş, B kümesi verilmiş, bunlar iç içe E buradan bizim anladığımız A kümesi B kümesinin alt kümesidir değil mi?
Peki ben burada şimdi A kümesinin içine bir tane eleman yazmak istiyorum mesela a elemanı yazmak istiyorum ve a elemanını A kümesinin içine yazdığım anda otomatikman B kümesinin içine de yazmış oluyorum.
Buradan da A kümesindeki her elemanın B'de de bulunması gerektiğini hem görüyoruz hem de söylemiş oluyoruz.
Peki hiç bunlar yoksa yani A kümesinin B kümesinden farklı en az bir tane elemanı varsa bu sefer A kümesi B kümesinin alt kümesi değildir diyeceğiz alt kümesi değildir denir ve bu nasıl gösterilecek?
Bu sefer A ve B çizildi, alt küme gösterildi, üstüne ne yapacağız bir tane çizgi attığımızda alt kümesi olmadığını söylemiş olacağız.
Şimdi peki örneğimize bakalım, burada A kümesi verilmiş daha sonra buna göre aşağıdakilerden hangisinin doğru olduğunu söylüyor.
Şıklara şöyle bir göz attık A kümesine baktığımızda a ve b elemanlarını küme içine alarak buraya eleman olarak koymuş, a elemanını yani a harfini küme içine alarak buraya eleman olarak koymuş.
Ayrıca bir de a ile b de burada eleman olarak bulunuyor.
Şimdi şıkları tek tek inceleyelim, a alt küme A'dır demiş hayır olmaz, küme işareti koymadan sadece buradaki elemanı koyarak alt kümesi olduğunu söyleyemeyiz ama şöyle demiş olsaydı doğru olurdu: a elemandır A demiş olsaydı doğru olurdu çünkü burada eleman olarak bulunuyor.
O zaman demek ki bu yanlış.
a ve b altkümedir A demiş a şıkkındaki gibi olduğu için buna da yine yanlış diyebiliriz.
c şıkkına baktığımızda ve b burada alınmış küme içerisine alınmış ve A'nın alt kümesidir denmiş e bakalım b burada var b'yi küme içerisine almış bir küme oluşturmuş yani alt küme oluşturmuş A'nın da alt kümesidir demiş.
Evet doğru demiş.
Demek ki bu doğru olacaktır.
Aslında şıkkımız bu ama diğer şıklara da bakalım b küme içine alınarak elemandır A demiş.
Hayır bunun bu şekilde elemandır A olabilmesi için harici olarak şurada bulunması lazımdı bu şekilde küme içerisine alınarak b'in bulunması gerekirdi ama olmadığı için buna da yanlış deriz.
Edirne şıkkına baktığımızda a küme içerisine alınmış ve alt kümesi değildir demiş A'nın.
Şimdi o zaman demek ki buraya baktığımızda bakınız A burada eleman olarak duruyor.
Bunu tekrardan biz küme içerisine aldığımızda ne deriz?
A'nın alt kümesidir deriz biz buna ama hayır demiş.
O zaman demek ki bu da yanlış olacak cevabımız c olur.
Evet bu örneğimize de bakalım, A kümesi verilmiş burada gördük kümeyi.
kümesi ile ilgili olarak verilen bu ifadelerden hangileri doğrudur diyor.
Şimdi ne yapmış 3'ü küme içerisine alarak A'nın alt kümesidir demiş.
Evet doğru demiş çünkü 3 burada eleman olarak bulunduğu için bunu biz küme içerisine aldığımızda artık A'nın alt kümesi olur bu, demek ki bu doğrudur.
İkincisine baktık 3 ile 4 küme içerisine alınmış ve A'nın alt kümesidir denmiş.
Evet bu da olur çünkü 3 ve 4 burada eleman olarak bulunuyor.
Biz bunu küme hale getirdiğimizde artık bu A'nın alt kümesi olmuş olur.
Daha sonra burada biraz daha karışık A'nın alt kümesidir demiş.
Şimdi bakalım buradaki elemanları biz burada görebiliyor muyuz?
Evet, bakınız 4 burada direkt olarak yazılmış sıkıntı yok.
5 ile 6 küme içerisinde burada ve eleman şeklinde duruyor ve biz bunu da tekrardan bakınız buraya yazmışız.
O zaman en son bunları da küme içerisine alırsak artık A'nın alt kümesi haline getirmiş oluruz.
O zaman demek ki bu da doğru olmuş olur.
Demek ki hangileri doğrudur?
Hepsinin doğru olduğunu söyleriz.
Alt küme nedir?
B kümesinin her elamanı aynı zamanda A kümesinin bir elamanı ise B kümesi A kümesinin bir alt kümesidir.
Alt küme işareti ⊆ şeklindedir ve B kümesi A kümesinin bir alt kümesi ise B ⊆ A şeklinde gösterilir.
Matematiksel olarak her x ∈ B için , x ∈ A ise B ⊆ A.
B kümesinin A kümesinden farklı bir elamanı varsa B kümesi A kümesinin bir alt kümesi değildir denir.
Öz alt küme nedir?
B kümesi A kümesinin bir alt kümesi olsun. A kümesinin B kümesinde bulunmayan bir elemanı var ise, yani iki küme eşit değil ise, B kümesi A kümesinin bir öz alt kümesidir ve B ⊂ A şeklinde gösterilir.
Alt küme özellikleri nelerdir?
Boş küme her kümenin bir alt kümesidir.
∅ ⊆ A
Her küme kendisinin alt kümesidir.
A ⊆ A
A, B, C birer küme olmak üzere;
A ⊆ B ve B ⊆ C ise A ⊆ C’dir.
Alt küme sayısı nasıl bulunur?
n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n formülü ile hesaplanır.
Alt küme sayısı bulma örnekleri ile konumuza devam edelim.
Örneğin;
6 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı kaçtır?
Alt küme formülü 2n dir. n burada kümenin eleman sayısını belirtiyor. Bu yüzden 6 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 26 dır.
26 = 64
Öz alt küme sayısı nasıl bulunur?
Kümelerin özelliklerini öğrenirken her kümenin aynı zamanda kendisinin bir alt kümesi olduğunu öğrenmiştik. Fakat bir küme aynı zamanda kendisinin öz alt kümesi değildir. Bu yüzden alt küme sayısından kümenin kendisine eşit alt kümesini çıkararak öz alt küme sayısını bulabiliriz. Alt küme sayısı formülü 2n olduğu için öz alt küme sayısını 2n - 1 formülü ile hesaplayabiliriz.
Eşit küme nedir?
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.
Örneğin;
X = {A,C,B} ve Y = {B,C,A} gibi iki kümemiz olsun. Bu kümeler aynı elemanlardan oluştukları için eşit kümelerdir. Bu iki küme X = Y şeklinde gösterilir.
