Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı ve Örnek Soru Çözümü

Rasyonel Sayı Nedir?

a ve b tam sayılar ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar Q simgesi ile gösterilir.

Hangi sayılar rasyoneldir? Örneklerle anlamaya çalışalım. Aşağıda bazı rasyonel sayı örnekleri yer alıyor:

5/7 sayısı bir rasyonel sayıdır (5 de 7 de bir tam sayı. Yukarıdaki tanımımıza uyuyor.)

0/7 sayısı bir rasyonel sayıdır. (0 da 7 de bir tam sayı. Yukarıdaki tanımımıza uyuyor.)

6/0 sayısı? Tanımımızı referans alarak rasyonel sayı değildir demeliyiz. ( b diye adlandırdığımız paydadaki sayı 0 olamaz!)

-4/2 sayısı da rasyonel sayıdır. Daha detaylandıracak olursa negatif bir rasyonel sayıdır.

1/2 rasyonel sayı mıdır? (1 de 2 de tam sayı. Yukarıdaki tanımımıza uyuyor.)

Her tam sayı da aslında birer rasyonel sayıdır. Nasıl mı?

7 sayısı ile 7/1 arasında bir fark var mı? Tabii ki de yok, tüm tam sayıları yazarken paydasına 1 koyarak da yazarsan hiçbir şey değişmez. Yani her tam sayı aslında aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. 0=0/1

Rasyonel Sayıların İşlem Özellikleri

Rasyonel Sayılarda Toplama

a / b + c / d = ad / bd + bc / bd = (ad + bc) / bd

Rasyonel Sayılarda Çarpma

a / b * c / d = ac / bd

Rasyonel Sayılarda Bölme

(a / b) / (c / d) = ad / bd

Rasyonel Sayılarda Toplamaya ve Çarpmaya Göre Terslik

– (a / b) = -a / b = a / -b ve (a / b)⁻¹ = b / a

Rasyonel Sayılarda İşlem Örnekleri

Rasyonel Sayıların Eşitliği

İki rasyonel sayının eşitliği, o sayıların pay ve paydalarının rasyonel olmasıyla anlaşılır. $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ olmak üzere $\frac{a}{b}$ ve $\frac{c}{d}$ iki rasyonel sayı ise bu iki sayı ancak $ad=bc\!$ olduğunda eşittir.

Rasyonel Sayılarda Karşılaştıma

Paydaları Eşit Olan Rasyonel Sayılar

Paydaları eşit olan rasyonel sayılar için payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür. Örneğin, 3/10 ve 7/10 sayılarını ele alalım. Her ikisinin de paydası 10. Bu durumda payı daha büyük olan 7/10 sayısı payı daha küçük olan 3/10 sayısından daha büyük olur.

Payları Eşit Olan Rasyonel Sayılar

Paylar eşit olduğunda bölünen parça sayısı yani payda büyüdükçe oluşan parça boyutları daha küçük olacaktır. Örneğin, 5/6 ve 5/9 sayılarını ele alalım. Her ikisinin de payı 10. Bu durumda paydası daha küçük olan 5/6 sayısı payı daha büyük olan 5/9 sayısından daha büyük olur.

Ne Payları Ne Paydaları Eşit Olmayan Rasyonel Sayılar

Bu şekildeki durumlarda karşılaştırmadan evvel paydaların eşitlenmesi veya içler dışlar çarpımı yapılması gerekir.

Devirli Ondalık Sayılar

Ondalık gösterimi bir basamaktan sonra kendini tekrarlayarak sonsuza giden rasyonel sayılara devirli ondalık sayı denir. Devirli ondalık sayıların tekrarlayan basamakları üstlerindeki yatay bir çizgi (devir çizgisi) ile gösterilir. Virgülden sonraki rakamlardan bazıları sonsuza kadar tekrar ediyorsa, bu durumda devirli ondalık sayılar devreye girer. Tekrar eden sayı grubunun üzerine devir çizgisi konur.