Özel Üçgenler: Özel Üçgen Nedir? Tanımı, Özellikleri

Özel Üçgen Nedir?

Belli ve standart bir formülü olan üçgenlere özel üçgen denir. Birçok farklı kenar ve açının bulunmasında önemli bir kolaylık sağlamaktadır. Özel üçgenler genelde açı ve kenarlarının sabit rakamları üzerinden ele alınmak suretiyle ifade edilir. Bu sayede çok daha kolay bir şekilde işlem yapılabilmekte ve sonuç ortaya çıkarabilmektedir.

Açılarına Göre Özel Üçgenler

30 – 60 – 90 Üçgeni
30 – 30 – 120 Üçgeni
45 – 45 – 90 Üçgeni
15 – 75 – 90 Üçgeni

30 – 60 – 90 Üçgeni

30 – 60 – 90 üçgeninde üçgenin bir köşesinin açısı 30 derece, bir köşesinin açısı 60 derece, bir köşesinin açısı ise 90 derecedir. 90 derecelik açıya sahip olan köşenin karşısındaki kenar hipotenüstür. Bu kenar, üçgenin en büyük kenarıdır çünkü üçgendeki en geniş açılı köşeye bakmaktadır.

Bu durumda 30 derecenin gördüğü kenar uzunluğu a ise;

60 derecenin gördüğü kenar uzunluğu = a√3

90 derecenin gördüğü kenar uzunluğu = 2a olur.

30 – 30 – 120 Üçgeni

30 – 30 – 120 üçgeninde üçgenin bir köşesinin açısı 30 derece, bir köşesinin açısı da 30 derece, bir köşesinin açısı ise 120 derecedir. 30 – 30 – 120 üçgeninde geniş açının karşısındaki kenarı bulma yöntemi farklıdır. Bu üçgende, 30 derecelik açıya sahip olan köşelerin karşısındaki kenarların √3 katı hesaplanır. Bu hesap sonucunda elde edilen değer, karşı kenardır.

30 – 30 – 120 üçgeni iki açısının eş olmasından dolayı ikizkenar bir üçgendir. İkizkenar üçgenlerde tabana kenarortay indirerek iki dik üçgen elde edebiliyoruz. Böylelikle iki tane 30 – 60 – 90 üçgeni elde edebiliriz.

45 – 45 – 90 Üçgeni

45 – 45 – 90 üçgeninde üçgenin bir köşesinin açısı 45 derece, bir köşesinin açısı da 45 derece, bir köşesinin açısı ise 90 derecedir. 45 – 45 – 90 üçgeninde de farklı bir hipotenüs bulma yöntemi kullanılır. Bu üçgende, 45 derecelik açıya sahip olan köşelerin karşısındaki kenarların √2 katı hesaplanır. Bu hesap sonucunda elde edilen değer, hipotenüstür. 45 – 45 – 90 üçgeni, bir ikizkenar üçgendir.

15 – 75 – 90 Üçgeni

15 – 75 – 90 üçgeninde üçgenin bir köşesinin açısı 15 derece, bir köşesinin açısı 75 derece, bir köşesinin açısı ise 90 derecedir. 15 – 75 – 90 üçgeninde de farklı bir hipotenüs bulma yöntemi kullanılır. Bu üçgende hipotenüs, üçgen yüksekliğinin dört katıdır. 15 – 75 – 90 üçgeni, bir dar açılı üçgendir.

15 – 75 – 90 üçgeninde hipotenüse ait yükseklik, hipotenüsün uzunluğunun 1/4’üne eşittir.

Kenarlarına Göre Özel Üçgenler

3 – 4 – 5 Üçgeni
8 – 15 – 17 Üçgeni
5 – 12 – 13 Üçgeni
7 – 24 -25 Üçgeni

3 – 4 – 5 Üçgeni

3 – 4 – 5 üçgeninde üçgenin bir kenarının uzunluğu 3 ve 3’ün katları, bir kenarının uzunluğu 4 ve 4’ün katları, bir kenarının uzunluğu ise 5 ve 5’in katları şeklindedir. Uzunluk ölçüleri ne olursa olsun 3 – 4 – 5 üçgeninde uzunluklar hep bu rakamların katlarıdır. 3 – 4 – 5 üçgeninde açılar; 36,87 derece, 53,13 derece ve 90 derecedir.

En çok karşımıza çıkan özel üçgen 3 – 4 – 5 üçgenidir.

3 – 4 – 5 üçgeni ve 3 – 4 – 5 üçgeninin katları da özel üçgendir.

6 – 8 – 10 üçgeni

9 – 12 – 15 üçgeni

15 – 20 – 25 üçgeni gibi üçgenler de 3 – 4 – 5’in katı olduğu için tüm kenarları tam sayıdır.

8 – 15 – 17 Üçgeni

8 – 15 – 17 üçgeninde üçgenin bir kenarının uzunluğu 8 ve 8’in katları, bir kenarının uzunluğu 15 ve 15’in katları, bir kenarının uzunluğu ise 17 ve 17’nin katları şeklindedir. Uzunluk ölçüleri ne olursa olsun 8 – 15 – 17 üçgeninde uzunluklar hep bu rakamların katlarıdır.

5 – 12 – 13 Üçgeni

5 – 12 – 13 üçgeninde üçgenin bir kenarının uzunluğu 5 ve 5’in katları, bir kenarının uzunluğu 12 ve 12’nin katları, bir kenarının uzunluğu ise 13 ve 13’in katları şeklindedir. Uzunluk ölçüleri ne olursa olsun 5 – 12 – 13 üçgeninde uzunluklar hep bu rakamların katlarıdır.

7 – 24 – 25 Üçgeni

7 – 24 – 25 üçgeninde üçgenin bir kenarının uzunluğu 7 ve 7’nin katları, bir kenarının uzunluğu 24 ve 24’ün katları, bir kenarının uzunluğu ise 25 ve 25’in katları şeklindedir. Uzunluk ölçüleri ne olursa olsun 7 – 24 – 25 üçgeninde uzunluklar hep bu rakamların katlarıdır.

İkizkenar Üçgen

En az iki kenar uzunluğu eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir. İkizkenar üçgenlerde eşit kenarların gördüğü açılar da aynı zamanda eşittir. Bir ikizkenar üçgende uzunlukları eşit olan kenarlara yan kenar, uzunluğu farklı olan üçüncü kenara taban, yan kenarlarla taban arasında kalan eşit açılara taban açısı, yan kenarlar arasındaki üçüncü açıya tepe açısı denir.

İkizkenar Üçgen Özellikleri

İkizkenar üçgenin iç açıları toplamı 180°’dir.
İkizkenar üçgenin taban açıları eşittir.
İkizkenar üçgenin taban üzerinden yan taraflara doğru paralel bir şekilde çizilen doğruları vardır ve uzunlukları birbirine eşittir.
İkizkenar üçgende ikizkenarlara ait olan yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar ve kenar orta dikmeler birbirlerine eşittir.
İkizkenar üçgende üçüncü kenarın üzerindeki herhangi bir yerden ikizkenara inen dikmelerin toplamdaki uzunluğu, eş kenarlara köşeler tarafından inilen yüksekliklerin tüm uzunluğuna eşittir.
İkizkenar üçgende üçüncü kenarın üstündeki herhangi bir noktadan ikizkenar üçgene çizilen paralellerin toplamdaki uzunluğu ikizkenarların uzunluklarına eşittir.
Üçüncü kenara ait olan yükseklik, kenarortay, kenar orta dikme ve açıortaydır.
İkizkenar üçgenlerde tepe açısının açıortayı ayrıca yükseklik ve kenarortay olarak kabul edilir.
Tabana ait yükseklik tabanı ortalar, dolayısıyla aynı zamanda tabana ait kenarortaydır.
Tabana ait yükseklik tepe açısını iki eşit açıya böler, dolayısıyla aynı zamanda tabana ait açıortaydır.
Tabana ait yükseklik tabanı ortaladığı için aynı zamanda tabana ait orta dikmedir.
Üçgen tabana ait yüksekliğe göre simetriktir.

İkizkenar Dik Üçgenler

İkizkenar dik üçgen, iki kenarı eşit uzunlukta olan dik üçgendir. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. İki doğrunun dik olması demek aralarındaki açının 90 derece olduğu anlamına gelir. Diğer iki kenarın eşit olması durumunda aralarındaki açılar da eşit olmaktadır. Dolayısıyla ikizkenar dik üçgende ikiz olan açılar da 45’er derecedir.

İkizkenar Dik Üçgenin Özellikleri

İki kenarı eşittir.
İki açısı eşittir ve 45’er derecedir.
Dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır
Dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik aynı zamanda açıortaydır
Yüksekliğin uzunluğu hipotenüsün yarısı kadardır.

Eşkenar Üçgen

Tüm kenar uzunlukları eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir. İç açıları da birbirine eşit ve her biri 60 derecedir.

Eşkenar Üçgen Özellikleri

İç açılar toplamı 180 derecedir.
Her bir açısı 60 derecedir.
Kenar uzunlukları birbirine eşittir.
Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay, yükseklikler, çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.
Bir kenara ait yükseklik, aynı zamanda o kenara ait açıortay, kenarortay ve orta dikmedir.
Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı eşkenar üçgene ait yüksekliği verir.
Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin uzunluklarının toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.
Eşkenar üçgen ikizkenar üçgenin tüm özelliklerini taşır.
Eşkenar üçgenin tüm merkezleri (diklik merkezi, iç teğet çemberin merkezi, ağırlık merkezi, çevrel çemberin merkezi) aynı noktadadır.

Dik Üçgen

Dik üçgen, iç açılarından biri 90° olan üçgendir. Çemberde çapı gören çevre açı 90°’dir.

Dik Üçgen Özellikleri

Bir açısı 90 derecedir.
İç açılarının toplamı 180 derecedir.
Dik üçgenin diklik merkezi (yüksekliklerin kesişim noktası) dik kenarların kesiştiği köşededir.
Dik üçgenin orta dikmelerinin kesişim noktası hipotenüsün orta noktasıdır.
Dik üçgenler çeşitkenar ya da ikizkenar olabilir ancak eşkenar olamaz.
Dik üçgenin dik olmayan iki açısı dar ve tümler açılardır.
Dik üçgende dik açının gördüğü kenara hipotenüs adı verilir ve dik üçgenin en uzun kenarıdır.