Denklem Sistemleri

Merhabalar arkadaşlar şimdi, Bakalım a,b,c elemanları reel sayılar ve a ile b sıfırdan farklı olsunlar burada.
Çünkü sıfırdan farklı olmazlarsa buradaki x ve y değişkenlerimiz gider.
Biz bunları istemiyoruz.
İşte ax+ by+c eşittir sıfır şeklindeki ifadelere biz x ve y değişkenlerine bağlı 1.
dereceden iki bilinmeyenli denklem deriz.
Arkadaşlar bu denklemlerin kökleri x virgül y (x,y) sıralı ikililerinden oluşur.
Yani biz bunların ikisini bulmayı göstereceğiz zaten burada bulduğumuz x'ler, x'leri biz sol tarafa yazacağız.
Yani birinci kısma, y'leri de ikinci kısma yazacağız.
Bunların sırasına dikkat edeceğiz.
Peki bunlar analitik düzlemde nasıllardır?
Bunlar analitik düzlemde doğrular belirtiler.
Yani bu şekilde düz çizgiler belirtiler.
Bu temsili olarak çizilmiş bir doğru.
Farklı farklı olabilir, bunları zaten göreceğiz.
Bizim buradaki köklerimiz, arkadaşlar bu doğru üstündeki bütün reel sayılardır.
Yani rastgele olarak şuradan seçtiğimiz bir noktada bakınız o hem x'i hem y'si vardır.
O da bu doğruyu denklemi sağlar.
Rastgele seçtiğimiz şuradaki noktada aynı şekilde buradaki denklemi sağlar.
Yani bu doğru üstündeki tüm reel sayılardan bahsediyoruz biz burada.
Şimdi bakalım örneğine ilk seviye gerçel sayılar için 3x eksi 2y eşittir 12 denklemin grafiğini çiziniz.
Şimdi bizim buradaki grafiği çizebilmemiz için iki tane nokta ihtiyacımız var.
O iki noktada eksenleri kestiği noktalar olacak.
Eksenleri kestiği noktaları bulabilmek için ilk önce x'e sıfır verilir y bulunur.
Daha sonra y'ye sıfır verilir x bulur ve daha sonra çizilir.
Şimdi ben ilk önce x'e vermek istiyorum.
Bakınız x'e sıfır verirseniz gider.
Yani sadece ne kalır -2y eşittir 12 kalır.
Her tarafı da eksik ikiye böldüğünüz takdirde y'yi -6 olarak olmuş olursunuz.
Yani -6 noktasında kestiğini söyleriz y eksenini.
E aynı şekilde y'ye 0 verelim.
y'ye sıfır verdiğinizde de bakınız bu gider.
O zaman demek ki ben y ekseninde -6'yı ve x ekseninde 4'ü belirleyip oradan çizgi çekeceğim yani doğru çizeceğim.
x eşittir 4 takribi şuralarda bir yerlerde ve y eşittir -6 da ona birazcık daha aşağıda olacak o da şurada bir yerde olacak.
Şimdi bu ikisini birleştiren doğruyu çiziyorum.
Bakınız bu şekilde yukarı doğru sonsuza kadar gider.
Bu da aynı şekilde aşağı doğru sonsuza gider ve bunun üstündeki tüm x,y sıralı ikililerinden oluşur.
Peki x ve y gerçel sayıları için 2x artı 5y eşittir 10 denklemin grafiğini çiziniz demiş.
O zaman demek ki yine aynı şeyleri yapacağız.
İlk önce x'e 0 verelim.
x'e 0 verirsek o zaman bunun y'si ne olacak 2 olacak burada her tarafı 5'e böldüğümüzde.
y'ye 0 verelim burada.
y'ye 0 verirseniz de bakınız 2x eşittir 10'dan x eşittir 5 kalacaktır.
O zaman demek ki y'de 2'yi, x'de 5'i belirleyip üstünden doğrumuzu çizeceğiz.
x eşittir 5 takribi şuralarda bir yerlerde, y eşittir 2'de o da burada bir yerde olacak ve daha sonra bunların ikisini birleştiren doğru çizeceğim şu şekilde.
Burası da birazcık da tabi şurdan çizmeye çalışırsak belki daha güzel olacak.
Şöyle ikisinin de üstünden geçen ve sonsuza kadar giden doğrulardır bunlar.
Ve bütün üstündeki bulunabilen bütün reel sayılarda burada bu denklemi sağlar.
Peki son örneğimiz bir havuzda 160 litre su vardır.
Bir musluk bu havuzdan bir saatte 8 litre su boşaltmaktadır.
Buna göre, havuzdaki suyun zamana bağlı değişimini gösteren denklem bulup grafiğini çiziniz demiş.
Şimdi biz ilk önce bir görmeye çalışalım.
Bir saatte 8 litre boşaltıyoruz ve 160 litre su var.
Şimdi o zaman demek ki bir saatte oluşan su nedir?
Ne kadardır?
İki saatte ne olur o zaman 160'dan bu sefer 16 çıkartmanız gerekir.
Çünkü bu sefer 16 litre boşaltır.
Yani aslında 8 8 azaltacağız.
O zaman 3 saatteyi de bulalım ve daha sonra bunun denklemin oluşturmaya çalışalım.
Ne yapacağız bu sefer 160'dan 3 tane 8 litreyi çarpıp çıkartacağız.
Yani üç kere sekizden 24.
160'dan da 24'ü çıkarttığımız takdirde o zaman biz burada 136'yı oluşturmuş oluruz.
O zaman demek ki biz bu şekilde devam ettirmiş olsak ve ben desem ki x saatte, x saatte havuzdaki su miktarını nasıl bulalım?
x saatteki havuzdaki su miktarı o zaman ben havuzdaki su miktarını y diyecek olursam, Her bir saatte sekiz litre boşaltıyoruz.
O zaman x saatte de 8 çarpı x kadar boşaltırız.
Bakınız bunun denklemi bu şekildedir.
Burada x'in yerine 1, 2, 3 yazarak içinde ne kadar havuzun içinde ne kadar su olduğunu bulabilirsiniz.
O zaman demek ki ben bunun denklemi şimdi çizmeye çalışacağım burada.
E ne yapacağız yine aynı şekilde x'e sıfır, y'ye 0 vererek çözeceğiz.
x'e sıfır verdiğimizi düşünelim x'e burada sıfır verdiğimizde ne oluyor y'si 160 oluyor.
y'si 160.
E burada y'ye sıfır verdiğimizi düşünelim.
y'ye sıfır verirseniz de bakınız -8x'i bu tarafa aldığınızda 8x eşittir 160'dan her tarafı 8'e böldüğünüzde x'i burada 20 olarak bulursunuz.
O zaman demek ki ben bu iki tane noktayı belirleyip çizdiğimde oluşturmuş olacağım.
Şimdi tabi burada 160'ı şurada belirlemiş olalım 20'de şuralarda bir yerde olsun.
O zaman demek ki bu ikisini birleştirdiğimde havuzdaki suyun zamana bağlı değişimini ben çizmiş olurum.
Yani şuradan başlayacak ve burada bitmiş olacak.
Bu devam etmez arkadaşlar.
Yani buradan aşağı inmez buradan da yukarı gitmez.
Çünkü belirlenen burada iki tane sayı var.
su ve toplamda 20 saatte de biter.
Bu şekilde söylemiş oluruz.
Sıkça Sorulan Sorular

 

Denklem sistemleri nedir? Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi nedir?

 

a,b,c,d,m,n ∈ R ve a,b,c,d≠0 olmak üzere

ax + by = m

cx + dy = n

şeklinde verilen aynı değişken oluşan ve birden fazla denklem bulunduran ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Denklemleri sağlayan (x,y) sıralı ikililerin kümesine denklem sisteminin çözüm kümesi denir.


Denklem sistemlerinin çözüm kümesi bulma yöntemleri nelerdir?

 

  • Yok etme yöntemi
  • Yerine koyma yöntemi
  • Grafik çizimi yöntemi

Yok etme yöntemi nedir?

 

Denklem sistemimizde 2 farklı değişkenimiz var. Değişkenlerden birini seçerek katsayısını sadeleştirme veya genişleme yöntemi ile diğer değişkenin katsayısının ters işaretlisi olacak hale getiriyoruz. Daha sonra denklemleri alt alta toplayarak seçtiğimiz değişkeni yok ediyoruz ve birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem elde ediyoruz. Elde ettiğimiz denklemin çözüm kümesinde yer alan sayıları ilk denklemlerin birinde yerine yazarak yok ettiğimiz diğer değişkenin çözüm kümesini bulabiliriz. Adım adım anlattıklarımızı bir örnekte inceleyelim.

 

Verilen denklemin çözüm kümesi nedir?

4x+2y=20

x-y=8

İlk olarak yok etmek istediğimiz değişkeni seçmemiz gerekiyor. Bu denklemde y değişkenini seçebiliriz çünkü ikinci denklemi 2 ile genişleterek y değişkenini yok edebiliriz.

x-y=8 x2

4x+2y=20

2x-2y=16 olur

Alt alta toplarsak iki denklemi;

6x+2y+(-2y)=36

6x=36

x=6 olur.

İlk denklemde x yerine 6 değerini koyarsak 4.(6)+2y=20 olur

24+2y=20

2y=20-24’den 2y=-4 olur

y=-2’ye eşittir.

Denklemin çözüm kümesi (6,-2) sıralı ikilisine eşittir.


Yerine koyma yöntemi nedir?

 

Denklem sisteminde yer alan değişkenleri birbiri cinsinde yazarak denklemi çözme yöntemine yerine koyma yöntemi denir. Örneğin x-2y=2 gibi bir denklemimiz olsun. Burada x değişkenini yalnız bırakarak x değişkeninin y cinsinden eşitini bulabiliriz. x=2+2y dir. Bu bulduğumuz değeri denklem sisteminde yer alan diğer denklemde yerine yazarak denklem sisteminin çözüm kümesine ulaşırız. Bir örnek üzerinde anlattıklarımızı inceleyelim.

 

Verilen denklemin çözüm kümesi nedir?

5x+y=-5

-2x+3y=19

Birinci denklemde y’yi yalnız bırakarak y değişkenini x cinsinden ifade edelim.

y=-5-5x olur.

Daha sonra ikinci denklemde y yerine -5-5x yazalım

-2x+3.(-5-5x)=19

-2x-15-15x=19

-17x-15=19

-17x=19+15

-17x=34

x=-2 olur.

 

Herhangi bir denklemde x’i yerine yazarak denklemin çözüm kümesini artık bulabiliriz.

5.(-2)+y=-5

-10+y=-5

y=-5+10

y=5 olur

Denklem sisteminin çözüm kümesi (-2,5) sıralı ikilisi olur.


Grafik çizimi yöntemi nedir?

 

Grafik çizme yöntemi ile denklemin çözüm kümesini bulmak için öncelikle denklemlerin grafikleri koordinat sisteminde çizilir. Daha sonra grafiklerin kesişim noktasının koordinatları denklem sisteminin çözüm kümesini verir.

Denklem Çözme
Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri 1 / 4
Denklem Sistemleri
Denklem Sistemleri