İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler Bölüm 1

Merhaba arkadaşlar konumuz ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler ve çözüm kümesi.
a, sıfırdan farklı olmak üzere a, b ve c birer gerçek sayı olsun ax kare artı bx artı c küçüktür 0 ax kare artı bx artı c büyük eşittir 0 gibi ifadelerine ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.
Verilen ifadede küçüktür, büyüktür, küçük eşittir ve büyük eşittir gibi bir ifade ile karşılaşırsak bu bir eşitsizlik olur.
Çözüm kümesini bulmak için ax kare artı bx artı c eşittir 0 denkleminin varsa x1 ve x2 gerçek kökleri bulunarak işaret tablosu yapılır.
ax kare artı bx artı c eşittir 0 denkleminin gerçek kökleri x1 ile x2 ve x1 küçüktür x2 olmak üzere ax kare artı bx artı c üç terimlisinin işaret tablosu aşağıda verilmiştir.
Şimdi burada verilen tabloda x1'in x2'den küçük olduğunu biliyoruz.
O yüzden x1'i daha sola yazıyoruz, x2'yi daha sağa yazıyoruz.
Peki burada işaret olayına bakacak olursak x karenin katsayısının işaretine bakılır, yani a'ya bakılır.
a'nın işareti nedir burada?
Mesela pozitif olsun a'nın işareti.
Eğer pozitif ise kökle karşılaştım eksi, kökle karşılaştım artı.
Eğer a'nın işareti eksi olursa kökle karşılaştım artı, kökle karşılaştım eksi olur.
x1 ve x2'de eğer verilen eşitsizlikte küçüktür ve büyüktür varsa burada x1 ve x2'yi şöyle boşluk yapacak şekilde çizeriz yuvarlak koyarız.
Eğer küçük eşittir ve büyük eşittir varsa verilen bu x1 ve x2 nin içini dahil ederiz aralığa.
Çünkü eşitlik var deriz, şimdi bununla ilgili örneklere bakalım.
Örnek: çözüm kümesini bulunuz.
Önce verilen eşitsizlikte çarpanlar ayrılıyor mu bir bakalım.
2x kare eksi 7x artı 5 eşittir Çapraz çarpım yapalım, eksi 5x eksi 2x eksi 7x ortayı verdi.
O halde bu çarpanlara ayrılır 2x eksi 5, x eksi 1 karşılıklı yazdık eşittir 0.
Köklerine bakalım, 2x eşittir 5 ise x'imiz buradan 5 bölü 2 bunu da yine 0'a eşitleyelim, x eksi 1 eşittir 0'dan x'imiz 1 gelmiş oldu.
Şimdi verilen ifade köklerin şöyle bir tabloda yazacak olursak 1 ve 5 bölü 2, 1 daha küçük olduğu için şöyle daha sola yazdım, 5 bölü 2 yazdım.
Peki küçüktür var yani dahillik yok o yüzden şöyle boşluk bırakıyorum.
Köklerini yazdım, şimdi bakıyorum tablo yaparken x karenin katsayısına bakıyorum.
x karenin katsayısı 2 yani pozitif artı yazdım kökle karşılaştım eksi, kökle karşılaştım artı.
Peki küçüktür dediği için nereyi tarayacağım yani eksili olan kısmı tarama yapacağım.
Çünkü bana küçüktür demiş o halde alacağım aralık artık nedir benim yani benim çözüm kümem ne olmuş oldu?
Dahillik yok parantez alıyor olarak yazıyorum bu benim çözüm kümem olmuş oluyor.
ax kare artı bx artı c eşittir 0 denkleminin delta eşittir 0 ise ax kare artı bx artı c üç terimlisinin işaret tablosu aşağıda verilmiştir.
Delta eşittir 0 ne demek?
Tek kök veya çift katlı kök demek.
Şimdi aşağıda verilen tabloda x1 ve x2 birbirine eşit.
O halde işaretini yazarken yine x karenin katsayısına bakarız a'nın işareti neyse onu yazarız.
a'nın işaretini yazdık, sonra kökle karşılaştık çift katlı kök olduğu için işaret değiştirmeyecektir.
yine a'nın işaretinin aynısını yazacağız.
Tabii işaret sembol olarak şöyle yuvarlak çiziyoruz iki tane veya şöyle iki tane çizgi çekerek de gösterebiliriz burada x1 eşittir x2, tabii dahillik varsa şöyle içi dolu yapacağız eğer yani büyük eşittir küçük işte varsa, eğer dahillik yoksa içi boş yapacağız.
Örnek: 9x kare eksi 6x artı 1 büyük eşittir 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Öncelikle verilen eşitsizliğin ben köküne bakacağım, çarpanları ayrılalım oldu, eşittir 0.
Kökünü ayıracak olursak buradan 3x eksi 1 eşittir 0, x buradan bu ikinci derece denklemin iki tane kökü var.
İkisi de birbirinin aynısı, o halde şöyle çizelim.
Bu da nedir?
x eşittir yani köküm ne burada?
1 bölü 3 çift katlı kök mü?
Evet şöyle.
Peki eşitlik var mı?
Var.
O halde içini dolduracağım.
Peki x karenin katsayısı ne burada artı kökle karşılaştım artı.
Peki bana büyük eşittir 0 demiş.
Zaten burada negatif yapan bir durum söz konusu mu?
Hayır.
Peki eşitlikte 1 bölü 3 de dahil mi?
Evet.
O halde bunların hepsini tarıyorum yani eksi sonsuzdan artı sonsuza gidiyor.
O halde benim çözüm kümem ne olmuş oldu?
Tüm reel sayılar olmuş oldu.
Örnek: Eksi 2 küçüktür a küçüktür b küçüktür eksi 1 olmak üzere ax kare eksi abx eksi x artı b büyüktür 0 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
Verilen eşitsizlikte önce kökü var mı ona bir bakalım.
ax kare eksi şöyle x parantezine alacak olursak ab artı 1 artı b büyüktür 0, çarpanları ayıralım ax'e x diyelim.
Şimdi burada b ve 1 var hani b ile 1'in çarpımı b yapar fakat çapraz çarpım ortayı vereceği için a'nın çaprazında şöyle b olsuni yukarıda bir de ortada eksi olduğu için x'in eksilisini kabul edelim.
Eksi abx eksi x, zaten yukarıyı verdi mi?
Verdi.
Yazarken karşılıklı yazıyorum ax eksi 1 çarpı x eksi b eşittir ax eksi 1'i 0'a eşitleyelim, ax eşittir 1.
x buradan x'imiz buradan b gelmiş oldu.
Köklerini bulduk şimdi tablo çizecek olursak tabloda tabii yerlerini nasıl yazacağım?
1 bölü a'yı hangisini daha sola hangisini daha sağa yazacağımı bulabilmek için şimdi işaretlerine bakalım, 1 bölü a şimdi ikisi de eksi 2 ile eksi 1 aralığında.
O halde a'ya şöyle değer verecek olursam mesela a'ya eksi 1 buçuk diyelim, a'ya eksi 1 buçuk verirsem 1 bölü eksi 1 buçuk olur yani bu nedir?
1 bölü eksi 15 bölü 10'dan ters çevirdim eksi 10 bölü 15 oldu.
Bu nasıl bir kesir?
Bu bir basit kesirdir.
Negatif olduğu için 0 ile eksi 1 aralığında olacak.
Yani bu aralıkta 1 bölü a değeri.
Peki devam ediyorum, b'ye de eksi 1 virgül 4 diyelim.
Eksi oldu.
O halde b daha küçüktür 1 bölü a'dan.
O yüzden b'yi daha sola yazıyoruz, sonra sağda 1 bölü a'yı yazmış oluyoruz.
Peki devam edelim, şimdi dahillik var mı?
Yok içi boş.
Peki x karenin katsayısı nedir?
a.
a nasıl bir sayıdır?
Negatif.
O halde eksi kökle karşılaştım artı, kökle karşılaştım eksi, ne demiş bana büyüktür 0 demiş.
O yüzden artıyı tarıyorum yani b ile için parantez şeklinde yazıyorum.