İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler Bölüm 2

Yeni bir özellikle devam edelim, ax kare artı bx artı c eşittir 0 denkleminde delta küçüktür 0 ise ax kare artı bx artı c üç terimlisinin işaret tablosu aşağıda verilmiştir.
Verilen tabloda eksi sonsuzdan artı sonsuza a ile aynı işaretlemiş x karenin katsayısındaki a yani işareti ne ise direkt onu yazıyoruz, verilen eşitsizliğe de dikkat ediyoruz.
Eğer sıfırdan büyük ise ve biz işareti negatif verdiysek çözüm kümem o zaman boş küme olacak ama sıfırdan küçük veriyorsa eğer o zaman çözüm kümem tüm reel sayılar olacak.
O halde şöyle bakacak olursak örneğe, eksi x kare artı x eksi 4 büyüktür 0 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz demiş.
Önce verilen ifadede eksi x kare artı x eksi 4 ifadesinin çözüm kümesine bakalım burada deltasına bakalım, delta neydi?
b kare eksi 4ac.
b'si 1, eksi 4 çarpı a'sı eksi 1, c'si de eksi 4.
Buradan 1 eksi 16'dan cevabımız eksi 15 gelmiş oluyor yani delta sıfırdan nedir?
Küçüktür.
O halde şöyle tabloda gösterecek olursak eksi sonsuzdan artı sonsuza.
x karenin işareti ne?
Eksi.
Eksi yazıyoruz fakat eşitsizlik bana ne demiş?
Sıfırdan büyük demiş, sıfırdan büyük bir ifade var mı burada?
Hayır yok yani tarayacağım hiçbir aralık yok.
O halde benim çözüm kümem ne olacak?
Boş küme olacak.
Eğer burası sıfırdan küçük olsaydı çözüm kümem evet eksi taradım eksi sonsuzdan artı sonsuza hep negatif çıkacağı için tüm reel sayılar diyecektim.
Buna dikkat edelim.
a sıfırdan farklı olmak üzere her x gerçek sayısı için ax kare artı bx artı c sıfırdan büyük eşitsizliğinin daima sağlanması için a sıfırdan büyük ve delta küçüktür ax kare artı bx artı c küçüktür 0 eşitsizliğinin daima sağlanması için a'nın sıfırdan küçük ve delta küçüktür 0 olması gerekiyor.
Zaten grafikte de görüldüğü gibi a'nın sıfırdan büyük olması kolların yukarı ve delta küçüktür 0 olması demek ne demek x eksenini kesmemesi demek, yani burada sıfırdan büyük dediği için daima sağlanıyor.
Aslında burada çözüm kümem tüm reel sayılar olmuş oluyor.
Aynı şekilde aşağıda da a'nın sıfırdan küçük olması demek kolların aşağı ve deltanın sıfırdan küçük olması demek zaten x ekseninde kökün olmaması demek, bana eşitsizlikte de sıfırdan küçük demiş.
Yine aynı şekilde burada da çözüm kümem tüm reel sayılar olacaktır.
Şimdi bir örneğe bakalım.
Örnek: x kare eksi 4x artı m artı 1 büyüktür 0 eşitsizliği daima sağlandığına göre m'in alabileceği değerler kümesini bulunuz.
Daima sağlanması demek ne demekti?
Sıfırdan büyük demiş eşitsizlikte, o halde delta sıfırdan küçük ve a'nın -a dediğim ne?
- x karenin katsayısı sıfırdan büyük olması gerekiyor ki zaten burada sıfırdan büyük vermiş x karenin katsayısı burada 1.
O halde deltanın Eksi 4'ün karesi 16, eksi 4 çarpı a'sı 1, c'si m artı 1 küçüktür attım buradan 3 küçüktür m gelmiş oluyor.
Peki m buradan ne alabilir yani 4 gelmiş oluyor buradan?
Çözüm kümesi açık aralık 3'ten sonsuza gelmiş oluyor.
Çarpım ve bölüm şeklindeki eşitsizliklerin genel çözümü.
Örnek: x artı 4'ün karesi çarpı çözüm kümesini bulunuz.
Şimdi x artı x artı 4 çarpı x artı 4, çarpı 3 eksi x küçük eşittir 0.
Şimdi verilen bu eşitsizlikte biz çözüm kümesini bulabilmek için köklerine bakalım.
Buradan x eşittir eksi 4, buradan da x eşittir eksi 4 gelir.
O halde x artı 4 eşittir 0, x eşittir eksi 4 ifadesi nedir?
2 tane geldiği için çift katlı köktür.
O halde bir de 3 eksi x'e bakalım, 3 eksi x eşittir 0.
x buradan 3 gelmiş oldu, bu da benim diğer köküm.
O halde tabloda şöyle gösterecek olursak bir tanesi eksi 4 diğeri 3.
Peki eşitsizlikte eşitlik yani dahillik var mı?
Var.
O halde ikisinde de şöyle içini boyuyorum.
Eksi 4 nasıl bir köktü?
Çift katlı kök.
O halde şöyle iki tane boyama yapalım ki çift katlı kök olduğunu göstermiş olalım.
Peki şimdi işaret incelemesine bakacak olursak burada x artı 4'ün karesi yani x'in kuvveti nedir burada?
Artı.
x'in kuvveti nedir burada?
Eksi.
Şimdi artının karesi zaten artıdır, çarpma vermiş.
O halde işlemin sonucu artı ile eksinin çarpımı ne olacak?
Eksi.
O halde en sağdan yazmaya başlıyorum eksi, kökle karşılaştım artı, çift katlı kökle karşılaştım yine artı işaret değiştirmeyecek.
Küçük eşittir sıfır dediği için nereyi tarıyorum?
Negatif olan kısmı tarıyorum.
O halde artık benim çözüm kümem ne olmuş oldu?
Kapalı aralık 3 ile sonsuz.
Fakat burada eksi 4 noktası da dahildir.
Çünkü eksi 4 yazdığımızda 0'a eşit olduğunu görüyoruz, eşitlik var.
O halde birleşim sadece eksi 4 noktasını ekliyoruz.
Örnek: x eksi 3 üzeri 10 çarpı x artı 7 üzeri 81 bölü eksi x küçük eşittir 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi bulunuz.
Şimdi verilen eşitsizlikte çözüm kümesini bulabilmek için önce köklerine bakalım.
x eksi 3 üzeri 10 demiş.
Bunu 0'a eşitleyecek olursak x'imiz buradan ne geldi?
3 geldi fakat derecem burada çift.
Çift olacağı için ben buna çift katlı kök yazıyorum.
Peki aynı şekilde x artı 7 üzeri 81.
Burada da kuvvetim tek, tek olduğu için şöyle oldu.
Bir de paydaya bakalım, paydada ne var eksi x var.
Bunun kökü ne olacak?
Eksi x eşittir 0 iken x eşittir 0 olur.
Fakat bu paydada olduğu için hiçbir zaman paydanın kökü eşitsizlik sisteminde eşitlik varsa dahil edilmez.
Yani bunun yanına da yazalım dahil değil.
Çünkü tanımsız yapar, o halde şöyle tablo çizecek olursak en küçükten başlıyorum en küçük nedir?
Eksi 7.
Sonra dahillik var mı?
Evet.
Pay kısmında dahil Pay kısmındaki köklerim neler?
Eksi 7 ve 3.
O halde dahil olacak fakat 3 burada çift katlı kök devam ediyorum, 0.
0 zaten dahil değil çünkü neden?
Paydada.
Eksi 7 tek kök yani üzeri 81 olduğu için bu da pay kısmında olduğu için dahil olacak.
Şimdi işarete bakalım.
x'in burada işareti ne?
Artı.
Paydadaki x'in işareti ne?
Eksi.
Artı ile artının çarpımı artı bölü eksi, sonucum ne çıkar buradan?
Eksi gelir.
O halde eksi ile başlıyorum, çift kök ile karşılaştım işaret değiştirmeyecek yine eksi, kökle karşılaştım artı, kökle karşılaştım eksi küçük eşittir demiş yani negatif tarafları tarıyorum.
Peki buradan eksi sonsuzdan eksi 7'ye, eksi 7 dahil.
Birleşim şimdi 0 dahil değil, 0'dan sonsuza.
Burada 3 dahil mi?
Evet.
Burada çift katlı kök olup olmaması önemli değil dahil olduğu için içerisinde yer alır.
Eğer dahil olmasaydı yani bu ifade paydada olmuş olsaydı o 3 noktasını çıkartacaktık.
İşte benim çözüm kümem.