İkinci Dereceden Eşitsizlikler Yeni Nesil Sorular Bölüm 1

Merhaba arkadaşlar.
Denklem ve eşitsizlik sistemleriyle ilgili yeni soru çeşitleriyle konumuza başlayalım.
Örnek a<0<b<c olmak üzere (x-b)^2*(x-a)/x-c<0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Şimdi verilen eşitsizliğin çözüm kümesini bulabilmek için önce hem payın hem de paydanın köklerine bakalım.
Şimdi burada öncelikle x-b'nin karesi var.
Bunu sıfıra eşitleyecek olursak x buradan b'ye eşit gelmiş oluyor.
Peki x-a'yı sıfıra eşitleyelim.
x-a=0, x buradan a gelmiş oluyor.
Şimdi paydaya bakalım.
x-c=0.
X buradan c gelmiş oluyor.
Şimdi burada dikkat etmemiz gereken bir durum var.
x-b'nin karesi var.
Parantez dışında karesi var.
Yani bu ifade benim çift katlı kök olduğunu gösteriyor.
Çift katlı kök.
O halde tablo yapacak olursak.
Şimdi kökleri yazalım.
Şimdi burada köklerim a, b ve c.
Fakat buradan a'nın sıfırdan küçük olduğunu biliyorum.
O halde önce a'yı yazacağım, sonra b'yi yazacağım, sonra c'yi yazacağım.
Fakat burada c'nin çift katlı kök olduğunu söylemiştik.
Parantezin dışında karesi olduğu için.
O yüzden bunu şöyle iki yuvarlakla gösteriyoruz.
Peki dahil var mı?
Yok.
Dahil olmadığı için hepsine şöyle yuvarlak atıyoruz.
Çünkü a, b, c aynı zamanda benim köklerim.
Şimdi başlayalım işareti.
İşaret incelemesi için x'in kat sayılarına bakalım.
Burada x-b'nin karesi var.
Zaten burada her türlü pozitif gelecek.
Burada x'in katsayısı pozitif, burada da x'in katsayısı pozitif.
O halde artı ile başlıyoruz.
Artı kök ile karşılaştım eksi.
Çift katlı kök olduğu için işaret değiştirmeyecek.
Yine eksi yine kök ile karşılaştım.
Tek kök olduğu için işaret değiştirecek.
Artı şimdi sıfırdan küçük dediği için eksileri sayıyoruz.
Şimdi artık aralığı yazalım.
Benim çözüm aralığım nedir?
a ve c aralığında dahillik yok.
Fakat bu aralıkta b var ve bu b dahil değil.
O yüzden b noktasını çıkartıyorum.
İşte benim cevabım açık aralık a,c'den b'yi çıkartıyorum.
Bu şekilde olacak cevabımız.
Örnek.
Aşağıda kenar uzunlukları birim cinsinden tam sayı olan üçgen ve dikdörtgen verilmiştir.
Dikdörtgen alanı üçgenin alanından büyük olduğuna göre dikdörtgenin kısa kenarı en fazla kaç birimdir?
Şimdi öncelikle üçgenin alanı neydi?
Taban çarpı yükseklik bölü iki.
Üçgenin alanı dikdörtgenin alanından küçük olacak şekilde yazalım.
O halde 2x artı 4.
Yani taban çarpı yükseklik x-5 bölü 2 küçüktür.
Dikdörtgenin alanı kısa kenarlı uzun kenarın çarpımı yani (10-x)(x+2).
Peki buradan 2x ile x'i çarptım, 2x^2.
-10x+4x-20.
Şöyle küçüktür.
İçler dışlar yapalım.
Bunu da dağıtalım.
10x+20-x^2-2x.
Peki bunu düzenleyelim.
2x^^2-6x-20<-2x^2-16x+40.
4x^2-22x-60<0.
Her tarafı ikiye bölelim.
Buradan 2x^2-11x-30<0.
Bunu çarpanlarına ayıralım.
(2x-15)(x+2)<0.
Şimdi burada artık şöyle köklerini bulacak olursak buradan x=15/2 ve x=-2 geldi.
Şöyle tablo yapacak olursak -2 ve 15/2.
Peki bunlar dahil değil işareti ile x karenin katsayısı artı.
Artı eksi artı küçüktür dediği için nereyi tarıyoruz burayı.
Yani benim aralığım 15/2 ile -2 olmuş oldu.
Fakat negatif uzunluk olamayacağı için pozitif olacaktır.
Fakat burada x-5 var.
Yani 5'ten küçük alamam, beş de alamam.
O halde bu aralık altı alabilirim.
15/2 nedir yedi buçuk şu da tam sayı demiş bu arada bana.
O yüzden altı ve yedi alabilirim.
Şimdi burada altı ve yedi alabilirim.
Fakat bana dikdörtgen kısa kenarı en fazla kaçtır diye sormuş.
Kısa kenar nedir?
10-x yani x'e 6 verirsem, 10 eksi 6'dan dört 7 verirsem 10 eksi yediden üç bana kısa kenarının en fazla olmasını soruyor.
Yani dört daha büyük.
O halde X'in alabileceği değer altı olacaktır.
Yani X eşittir altıdır.