Fibonacci Dizisi Karesel ve Üçgensel Diziler

Merhaba Sevgili Gençler, bu videomuzda birkaç özel sayı dizisinden bahsedeceğim.
Bunlardan ilki Fibonacci dizisi.
Fibonacci dizisi ilk iki terimi bir olan ve bundan sonraki bütün terimleri kendisinden önce gelen iki terimin toplamına eşit olan dizidir arkadaşlar.
Mesela bir biri yazdım bu ikisini toplayıp 2 elde ettim.
1 ile 2'yi topladım 3 elde ettim.
İki ile üçü topladım, beşi, üç ile beşi topladım sekizi, beş de sekiz, on üç gibi bu şekilde devam eden diziye biz Fibonacci dizisi diyoruz.
Kuralımız da budur zaten.
Bakın kuralında da dediği şey aynısı.
An artı iki bakın kendisinden önce gelen iki terimin toplamı olacak.
A n artı 2 ve bu Fibonacci dizisinde A5, A10, a 15, A 20 gibi indisi 5'in katı olan terimler 5'e tam bölündüler arkadaşlar.
A55 dedi.
Bu kesin sonucu A 55 terimi neyse artık onu tek tek yazıp da bulmamız gerekiyor.
O terim 5'e bölünür.
A 105 terimi beşe kesin bölünür.
Bunu da bir ek not olarak söyleyelim.
Böyle bir şey sorarsa zaten size muhtemelen söyler üstte bir üst bilgi olarak.
Ama yine de söylemiş olalım.
Kendinden önceki iki terimin toplamına eşit olacakmış her terimimiz.
Evet, A n artı 2 eşittir A n artı, a n artı bir şeklinde tanımlanan Fibonacci dizisiyle ilgili Fibonacci dizisi ile soru sorduğunda şu kuralı size muhtemelen verir.
Aşağıdaki soruları cevaplayınız dedik.
Şimdi a yirmi 2a yirmi artı a19 artı a21.
Bunları ardışık iki terimin toplamı bir sonraki terime eşit olacak ya.
Mesela A19 var burada ben a on dokuzu a19 artı a yirmi yani şuradaki 2a yirmiyi a yirmi artı a yirmi diye ayırdım.
Bu ikisinin toplamı a yirmi bir değil midir değil mi?
a yirmi bire eşit.
Yani şurası şu ikisi a yirmi bir yaptı.
Şimdi ne oldu?
Sorumuz a yirmi artı, a yirmi bir artı bir tane daha şuradaki a yirmi birimiz var ve a yirmi artı, a 21.
Neye eşittir?
A 22'ye eşittir değil mi?
Son halimiz a yirmi bir artı a yirmi iki oldu.
Bakın yine ardışık iki terim var.
Bu ardışık iki terimin toplamı da bir sonraki terime yani a 23'e eşittir arkadaşlar.
Cevabımız a 23'tür b seçeneğinde B şıkkında a 24 eksi a 23.
farkı hangi terime eşittir?
diye sordu.
Burada a24 yerine ben a 23 artı a yirmi iki yazabilir miyim?
Kendinden önce gelen iki terimin toplamı ve buradan da a 23 artı a 22'den a yirmi üçü çıkartırsam cevabımız a yirmi iki olur arkadaşlar.
Evet, son olarak a 36 eksi, a otuz dört, a otuz altı yerine ne yazalım?
Kendinden önceki iki terimin toplamını yazalım.
Yani a otuz beş artı, a otuz dört demektir bu.
Siz bundan a otuz dördü çıkartırsanız a otuz dördü çıkarttım bunları yok ettim ve a otuz beş elde ettim.
Az önce ne dedik?
İndisi beşin katıysa bu terim kesinlikle beşe tam bölünür.
O zaman a otuz beşin beş ile bölümünden kalan nedir?
Sıfırdır çünkü tam bölünecek arkadaşlar.
Evet, devam ediyorum.
Üçgensel ve karesel sayı dizileri.
n çarpı n artı 1 bölü iki dizisine üçgensel sayı dizisi, n kare sayısına da karesel sayı dizisi diyeceğiz.
Şimdi neden bunlara üçgensel karesel isimleri verilmiş?
Mesela bir tane nokta koydum bu a bir olsun bakın bir tane nokta sonra.
Üç tane nokta koydum a iki bakın üçgen yaptım.
Bir, iki, üç şöyle.
Böyle derseniz bu a 3 olsun.
Bir tane daha yapalım.
Burada kaç tane nokta oldu, on tane nokta oldu.
A 4.
Bakın böyle devam edecek bu işte.
A Birde 1 tane var.
Yani biz şimdi n çarpı n artı bir bölü iki dizisinde n yerine bir yazın bakalım ne çıkacak.
n yerine bir yazarsanız bir yapar.
A Bir.
n yerine 2 yazdınız burada iki çarpı üç bölü ikiden üçü elde ederim.
Bakın üç tane nokta var.
Üç yazdığınızda üç çarpı dört bölü ikiden altı elde edilir.
Bakın altı nokta var, dört yazdığınızda on elde edilir.
Bakın on tane nokta var bu şekilde.
Bu noktalar bir üçgen belirtebildiği için buna üçgensel sayı dizisi denmiş.
Kareselde de bakın birinci terimde 1 tane nokta koydum, ikinci terimde n yerine iki yazdığınızda 4.
Bakın ben dört tane noktayla bir kare yaparım değil mi?
n yerine üç yazın bir, iki, üç.
Şöyle n yerine üç yazınızda 9 bakın, dokuz noktayla da bir kare daha yaparım.
Bir birim daha büyüteceksem ben bu kareyi o zaman 16 tane nokta kullanmalıyız değil mi?
İsimleri de buradan gelmiş arkadaşlar.
Üçgensel ve karesel sayı denmesinin sebebi de bu.
Evet, altında bir tane örneğimiz var.
a n üçgensel, b n karesel sayı dizisi ve K pozitif doğal sayı olmak üzere hangisi a k artı b k toplamı olabilir.
Şimdi bu üçgensel, bu karesel bir diziydi.
Siz burada yerine dizilerin formüllerinde yerine k yazdığınızda kaçıncı terimi buluyorsunuz ve bu ikisinin toplamı hangisi olabilir demiş.
Şimdi üçgensel sayı dizimiz n çarpı n artı bir bölü iki.
Hatta şöyle yazdım yerine k yazdım ben.
K çarpı k artı 1 bölü iki olur a k.
a k budur.
B k nedir?
O da k karedir.
Şimdi ben bunların paydalarını eşit deyip toplasam paydayı eşitledim.
Birinci zaten K kare artı K.
K'yı dağıttım orada bölü iki artı iki k kare bölü iki.
Topladığımızda 3 k kare artı K bölü 2 elde edilir arkadaşlar.
Yani diyor ki bize şıklardan hangisi buna eşit olabilir?
Şimdi k yerine öyle değerler verelim ki bakın şıklarda çok büyük değil zaten.
Verdiğimiz değerle tutturabileceğimiz bir şey bu.
K yerine bir versem üç artı bir bölü 2'den küçük şeyler çıkacak.
Mesela üç verelim biraz daha büyütelim.
K yerine üç verdiğimde üç çarpı dokuz artı, üç bölü iki, yirmi yedi artı üç, otuz bölü ikiden on beş yapar, dört verelim üç çarpı on altı artı dört bölü iki kırk sekiz 52 bölü 2'den yirmi altı yapar.
Bak şıklara yaklaşıyorum, muhtemelen beşinci, altıncı falan olacak.
K yerine beş verelim.
Üç çarpı 5'in karesi artı k bölü iki.
K dediğim beşti pardon.
75 artı beş seksen bölü 2'den bakın kırk yaptı.
Evet, Edirne olabilirmiş arkadaşlar.
Diğerleri zaten 33.
Bakın 26'dan direkt 40'a geçtim 33 eledim bakın diğerleri olmuyor, 6'yı da koy üç çarpı otuz altı artı altı bölü iki diyelim.
Yüz sekiz, yüz on dört bölü ikiden elli yedi yaptı.
Bakın bunu da oradan eledik.
Ötekiler daha da büyük çıkacak zaten.
O yüzden cevabımız e seçeneğidir arkadaşlar.