Yatay doğru testi.
Analitik düzlemde x ekseninde paralel doğrular çizildiğinde bu doğrular fonksiyonun grafiğini tek noktada kesiyorsa fonksiyon birebirdir.
Eğer bu doğrular grafiği birden fazla noktada kesiyorsa fonksiyon birebir değildir.
Analitik düzlemde x ekseninde paralel olarak çizilen tüm doğrular fonksiyonu en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.
Şimdi verilen grafiğe bakacak olursak x eksenine paralel doğrular çizdiğimde grafiği tek noktada kesiyor, tek noktada kestiği için bu fonksiyon birebirdir.
Diğer grafiğe bakacak olursak yine çizilen doğrular x ekseninde paralel çizdiğimde grafiği iki noktada kesiyor.
O halde bu fonksiyon birebir değildir.
Peki şimdi ise örtenliğine bakalım.
Bana ne demiş?
Çizilen tüm doğrular.
O halde ben şöyle doğru çizdiğimde x eksenine paralel grafiği kesmediğini görüyorum.
Grafiği kesmediği için bu fonksiyon örten değil.
Fakat bu fonksiyonda ise eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar uzadığını düşünecek olursak o zaman çizilen tüm doğrular grafiği tek noktada kesecektir veya iki noktada kesebilir en az bir demiş çünkü, o halde bu fonksiyon örtendir.
Örnek: Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda tanımlı y eşittir f(x) fonksiyonlarından hangisi birebirdir?
Birebir olma şartı neydi?
x ekseninde paralel doğrular çizdiğimde grafiği tek noktada kesmesi gerekiyor.
Fakat burada grafiği iki noktada kestiğini görüyorum, o halde a şıkkı birebir değil.
b şıkkına bakacak olursak burada x eksenine paralel doğru çizdiğimde tek noktada kestiğini görüyorum.
Fakat bir doğru çizmem yeterli değil bütün doğrularda tek noktada kesecektir grafiği.
Fakat burada x eksenini sonsuz noktada kestiğini görüyorum.
O halde b şıkkı da birebir değildir.
c şıkkına bakalım yine burada x eksenine paralel çizdiğimde yine iki noktada kestiğini görüyorum, o halde c şıkkı da birebir değildir fakat d şıkkında x eksenine paralel doğrular çizdiğimde her birini tek noktada kesiyor.
Tek noktada kestiğine göre b şıkkı birebirdir.
Şimdi yeni özellikle devam edelim.
a'nın eleman sayısı eşittir m, b'nin eleman sayısı eşittir n, m küçük eşittir n olmak üzere a dan b yazılabilecek birebir fonksiyon sayısını biz permütasyon ile gösteriyoruz.
Şimdi bir örnek üzerinden hemen gösterelim.
A kümesinin elemanları a, b, c, d.
B kümesinin elemanları 1, 2, 3, 4, 5 olmak üzere f fonksiyonu a dan b ye şeklinde tanımlı kaç farklı birebir fonksiyon yazılabilir?
Şimdi birebir olması için tanım kümesindeki her eleman görüntü kümesindeki bir elemana gitmeli.
Birbirlerinden farklı, şimdi öncelikle a kaç elemana gidebilir?
a'nın gidebileceği eleman sayısı nedir?
1'e gidebilir 2'ye gidebilir gitme ihtimali kaç farklı yere gidebilir?
ben götürdüm.
Şimdi sıra b'de.
b'nin gidebileceği kaç farklı eleman vardır?
yani 4 farklı eleman vardır b'nin gidebileceği eleman sayısı nedir?
3'e gidebilir 4'e gidebilir kaldı, c de 3'e gitsin, d nereye gidebilir?
d de 4'e veya 5'e gidebilir d'nin gidebileceği eleman sayısı da 2'dir.
O halde d de 4'e gitsin.
Peki kaç farklı birebir fonksiyonu bu şekilde tanımlayabiliriz?
Buradan çarptığımızda cevabımız 120 gelmiş oluyor.
Şimdi biz bunu permütasyon ile gösterecek olursak direkt A'dan B'ye demiş yani eleman sayım benim burada 4.
Yani m dediğim benim 4 n dediğim benim 5 eleman sayım m küçük eşittir n demiş, o halde şöyle yazalım permütasyon biz 5'in dörtlüsünü alacağız.
yine cevabımız bizim kısa yoldan 120 gelmiş oluyor.
Analitik düzlemde x ekseninde paralel doğrular çizildiğinde bu doğrular fonksiyonun grafiğini tek noktada kesiyorsa fonksiyon birebirdir.
Eğer bu doğrular grafiği birden fazla noktada kesiyorsa fonksiyon birebir değildir.
Analitik düzlemde x ekseninde paralel olarak çizilen tüm doğrular fonksiyonu en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.
Şimdi verilen grafiğe bakacak olursak x eksenine paralel doğrular çizdiğimde grafiği tek noktada kesiyor, tek noktada kestiği için bu fonksiyon birebirdir.
Diğer grafiğe bakacak olursak yine çizilen doğrular x ekseninde paralel çizdiğimde grafiği iki noktada kesiyor.
O halde bu fonksiyon birebir değildir.
Peki şimdi ise örtenliğine bakalım.
Bana ne demiş?
Çizilen tüm doğrular.
O halde ben şöyle doğru çizdiğimde x eksenine paralel grafiği kesmediğini görüyorum.
Grafiği kesmediği için bu fonksiyon örten değil.
Fakat bu fonksiyonda ise eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar uzadığını düşünecek olursak o zaman çizilen tüm doğrular grafiği tek noktada kesecektir veya iki noktada kesebilir en az bir demiş çünkü, o halde bu fonksiyon örtendir.
Örnek: Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda tanımlı y eşittir f(x) fonksiyonlarından hangisi birebirdir?
Birebir olma şartı neydi?
x ekseninde paralel doğrular çizdiğimde grafiği tek noktada kesmesi gerekiyor.
Fakat burada grafiği iki noktada kestiğini görüyorum, o halde a şıkkı birebir değil.
b şıkkına bakacak olursak burada x eksenine paralel doğru çizdiğimde tek noktada kestiğini görüyorum.
Fakat bir doğru çizmem yeterli değil bütün doğrularda tek noktada kesecektir grafiği.
Fakat burada x eksenini sonsuz noktada kestiğini görüyorum.
O halde b şıkkı da birebir değildir.
c şıkkına bakalım yine burada x eksenine paralel çizdiğimde yine iki noktada kestiğini görüyorum, o halde c şıkkı da birebir değildir fakat d şıkkında x eksenine paralel doğrular çizdiğimde her birini tek noktada kesiyor.
Tek noktada kestiğine göre b şıkkı birebirdir.
Şimdi yeni özellikle devam edelim.
a'nın eleman sayısı eşittir m, b'nin eleman sayısı eşittir n, m küçük eşittir n olmak üzere a dan b yazılabilecek birebir fonksiyon sayısını biz permütasyon ile gösteriyoruz.
Şimdi bir örnek üzerinden hemen gösterelim.
A kümesinin elemanları a, b, c, d.
B kümesinin elemanları 1, 2, 3, 4, 5 olmak üzere f fonksiyonu a dan b ye şeklinde tanımlı kaç farklı birebir fonksiyon yazılabilir?
Şimdi birebir olması için tanım kümesindeki her eleman görüntü kümesindeki bir elemana gitmeli.
Birbirlerinden farklı, şimdi öncelikle a kaç elemana gidebilir?
a'nın gidebileceği eleman sayısı nedir?
1'e gidebilir 2'ye gidebilir gitme ihtimali kaç farklı yere gidebilir?
ben götürdüm.
Şimdi sıra b'de.
b'nin gidebileceği kaç farklı eleman vardır?
yani 4 farklı eleman vardır b'nin gidebileceği eleman sayısı nedir?
3'e gidebilir 4'e gidebilir kaldı, c de 3'e gitsin, d nereye gidebilir?
d de 4'e veya 5'e gidebilir d'nin gidebileceği eleman sayısı da 2'dir.
O halde d de 4'e gitsin.
Peki kaç farklı birebir fonksiyonu bu şekilde tanımlayabiliriz?
Buradan çarptığımızda cevabımız 120 gelmiş oluyor.
Şimdi biz bunu permütasyon ile gösterecek olursak direkt A'dan B'ye demiş yani eleman sayım benim burada 4.
Yani m dediğim benim 4 n dediğim benim 5 eleman sayım m küçük eşittir n demiş, o halde şöyle yazalım permütasyon biz 5'in dörtlüsünü alacağız.
yine cevabımız bizim kısa yoldan 120 gelmiş oluyor.
Sıkça Sorulan Sorular
Bir fonksiyonun grafiğinden o fonksiyonun birebir olup olmadığını nasıl anlarız?
Verilen fonksiyon grafiğinden o fonksiyonun birebir olup olmadığını anlamak için yatay doğru testi uygulanır. Analitik düzlemde x ekseninde paralel doğrular çizildiğinde bu doğrular fonksiyonun grafiğini tek noktada kesiyorsa fonksiyon birebirdir. Eğer bu doğrular grafiği birden fazla noktada kesiyorsa fonksiyon birebir değildir.
Bir fonksiyonun grafiğinden o fonksiyonun örten olup olmadığını nasıl anlarız?
Verilen fonksiyon grafiğinden o fonksiyonun örten olup olmadığını anlamak için yatay doğru testi uygulanır. Analitik düzlemde x ekseninde paralel olarak çizilen tüm doğrular fonksiyonu en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir. İpucu: Örten değilse içine fonksiyon olduğunu söyleyebiliriz.
