Bir fonksiyonun tanım kümesinden alınan her bir elemanın görüntüsü diğer elemanların görüntülerinden farklı ise o fonksiyona birebir fonksiyon denir.
Diğer bir deyişle f A'dan B'ye fonksiyonunda a, b elemanı a için a ve b birbirinden farklı iken f(a) f(b) birbirinden farklı oluyorsa ya da f(a) f(b) birbirine eşit iken a b birbirine eşit oluyorsa f fonksiyonuna birebir fonksiyon denir.
Verilen örnekte A'dan B'ye bir f fonksiyonu tanımlanmış.
A kümesine biz tanım kümesi diyelim B kümesine görüntü kümesi diyelim.
A kümesinde alınan her bir eleman B kümesinde farklı elemana gitmiş yani a 2'ye gitmiş yani f(a) nereye gitmiş?
2'ye.
f(b) nereye gitmiş?
1'e ve görüntü kümeleri yine birbirlerinden farklı.
Biz bunlara birebir fonksiyon diyoruz.
İçine fonksiyon, bir fonksiyonun değer kümesinde tanım kümesindeki bir elemanla eşleşmemiş en az bir eleman bulunuyorsa bu fonksiyona içine fonksiyon denir.
Başka bir değişle f A'dan B'ye f(a)'nın eleman sayısı b'nin eleman sayısından küçük ise f içinedir.
Şimdi öncelikle A'dan B'ye f fonksiyonu tanımlanmış.
A kümesine biz ne diyoruz?
Tanım kümesi.
B kümesine ise biz değer kümesi diyoruz.
Şimdi burada A'nın görüntü kümesine bakacak olursak a elemanı 2'ye, b elemanı 1'e gitmiş yani biz buradan aslında f(a)'yı bulabiliriz.
f(a) benim görüntü kümem.
f(a)'nın eleman sayıları nelerdir yani elemanları?
1 ve f(a)'nın eleman sayısını artık biz 2 bulduk.
B'nin eleman sayısı nedir?
3 Yani 2 küçüktür 3.
O halde biz bunlara içine fonksiyon diyoruz.
Örten fonksiyon.
Bir fonksiyonun değer kümesindeki her eleman tanım kümesinden en az bir elemanla eşleşmiş ise bu fonksiyona örten fonksiyon denir.
f A'dan B'ye f(a) eşittir b oluyorsa f örtendir.
Şimdi A'dan B'ye bir f fonksiyonu tanımlanmış.
A kümesine biz tanım kümesi, B kümesine biz değer kümesi diyoruz.
Şimdi a elemanı 1'e b elemanı da 1'e gitmiş.
O halde ben f(a)'nın neye eşit olduğunu biliyorum?
1 olduğunu biliyorum.
iki elemanım da 1'e gitmiş.
Peki B kümesi nedir?
B kümesinde de 1 vardır.
İşte bu elemanlar birbirine eşittir demek aynı zamanda değer kümesi hiçbir şekilde boşta eleman kalmamış.
İşte biz bu fonksiyonlara örten fonksiyon diyoruz.
Örnek: f R'den R'ye f(x) eşittir x kare fonksiyonunun birebir ve örtenlik durumunu inceleyiniz.
Şimdi öncelikle birebirlik durumuna bakalım.
Birebir olması için tanım kümesindeki her bir eleman reel kümesindeki bir elemana farklı bir elemanı gidecek.
O halde mesela reel sayılar kümesine ben 1 elemanını alayım.
1'in karesi nedir?
1'dir.
Peki reel sayılar kümesinde eksi 1'i alalım, eksi 1'in karesi nedir?
Yine 1'dir.
O halde tanım kümesindeki iki farklı eleman değer kümesinde aynı elemana gitmiş.
İşte biz burada birebir olmadığını görüyoruz.
Şimdi gelelim f(x) eşittir x karenin tanım kümesine, bana ne demiş R'den R ye demiş yani x'im eksi sonsuzdan artı sonsuza gidecek.
Tanım aralığım x'e verdiğimiz değer eksi sonsuzdan artı sonsuza fakat bulduğum sonuç negatif değil, negatifin karesi yine nedir?
Pozitiftir.
O halde benim görüntü kümenin aralığı nedir?
Sıfırdan sonsuzadır.
O halde burada gösterecek olursak örtenlik durumunu inceleyelim, R'de yani tanım kümesinde eksi sonsuzdan artı sonsuza verdiğim tüm değerler değer kümesinde bir görüntü kümesine sahiptir.
Fakat reel sayılar kümesinde bir de ne vardır mesela eksi 4 vardır O halde eksi 4 hiç bir sayının görüntüsü değildir, eksi 3 aynı şekilde, eksi 2 aynı şekilde.
Yani bir tane eleman dahi boşta kalıyorsa zaten örten olmadığını görüyoruz örten değildir.
Peki değer kümesinde boşta eleman kalıyorsa biz bunlara ne diyorduk?
İçine diyorduk.
Yani bu nasıl bir fonksiyonmuş?
İçine fonksiyondur.
Birebir fonksiyon nedir?
Bir fonksiyonun tanım kümesinden alınan her bir elemanın görüntüsü diğer elemanların görüntülerinden farklı ise o fonksiyona birebir fonksiyon denir.
İçine fonksiyon nedir?
Bir fonksiyonun değer kümesinde tanım kümesindeki bir elemanla eşleşmemiş en az bir eleman bulunuyorsa bu fonksiyona içine fonksiyon denir.
Örten fonksiyon nedir?
Bir fonksiyonun değer kümesindeki her eleman tanım kümesinden en az bir elemanla eşleşmiş ise bu fonksiyona örten fonksiyon denir.
Birebir fonksiyon olduğunu nasıl anlarız?
Gördüğün gibi A kümesindeki her eleman B’deki ayrı bir elemanla eş: f(s) = g, f(d) = k, f(e) = h ve f(f) = y. Kural olarak göstermemiz gerekirse: ∀ a,b ∈ A için, f(a) = f(b) iken, a = b oluyorsa f fonksiyonu birebirdir.
İçine fonksiyon olduğunu nasıl anlarız?
Değer kümesinde, yani B kümesinde, eşi olmayan eleman varsa bu fonksiyona içine fonksiyon deriz.
Örten fonksiyon olduğunu nasıl anlarız?
Görüntü kümesiyle değer kümesinin aynı olduğu fonksiyonlara örten fonksiyon deniyor, yani B kümemizde eşi olmayan eleman olmaması gerekiyor. Hem A kümesindeki her elamanın B de özel bir eşi var, hem de B kümesindeki her eleman A kümesinde bir eşe sahip. Bu yüzden fonksiyonumuz hem birebir hem de örtendir.
