Doğrusal Fonksiyon Kavramı

Doğrusal fonksiyonların grafikleri.
a, b reel sayı olmak üzere f R'den R'ye, f(x) eşittir ax artı b şeklindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.
Eğer a 0'a eşit ise yani f(x) eşittir bolacağından f(x) sabit fonksiyondur yani x li ifade yoksa biz bunlara sabit fonksiyon diyoruz.
Yani bu bir örnek verecek olursak f(x) eşittir -2 gibi.
Eğer a eşittir 1 ve b eşittir 0 ise f(x) eşittir x olacağından f(x) birim fonksiyondur yani x'e hangi değer verirsek verelim bulduğumuz sonuç da yine aynı olacaktır.
Verilen doğrunun grafiğini çizmek için x ve y eksenleri kestiği nokta bulunur.
Şimdi x ve y eksenlerini kestiği noktayı nasıl buluyoruz?
f(x)'imiz neye eşit?
y'ye.
O zaman şöyle yazalım y eşittir ax artı b diyelim, doğrusal bir fonksiyon olsun.
Eksenleri kestiği noktayı bulmak için x'e 0 veriyoruz x'e 0 verirsem y'yi kestiği noktayı buluruz.
yani y eşittir b.
y'ye 0 verirsem eğer ax artı b eşittir 0 yani ax eşittir eksi b, o zaman x buradan ne gelmiş oldu?
eksi b bölü a.
Yani biz bir tane koordinat sistemi çizdiğimizde ve x'i kesen noktanın eksi b bölü a, y'yi kesen noktanın ise b olduğunu kabul edecek olursak o halde tabi burada a'yı ve b'yi 0'dan büyük kabul edecek olursak şöyle koordinatı çizelim işte verilen doğrunun grafiği bu şekilde çizilir, x'i kesen nokta eksi b bölü a, y'yi kesen nokta b'dir.
Örnek: Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a şıkkı f(x) eşittir için x ve y'de kesen noktaları bulmamız gerekiyor.
f(x) neye eşitti?
y'ye o halde y eşittir öncelikle x'e 0 verelim, x'e 0 verirsem y'si eksi 1 bulunur yani y eksenini kestiği nokta neymiş?
Eksi 1.
Bu sefer y'ye 0 verelim y'ye 0 verirsem 3x eşittir 1.x'imiz buradan ve bunların üzerinden geçen doğru benim doğrusal grafiğimdir.
y eşittir 3x eksi 1 fonksiyonun grafiğidir.
Şimdi gelelim b şıkkına.
b şıkkında da aynı şekilde f(x) eşittir 4 demiş, f(x) y'ye eşit, y eşittir burada yoktur o halde 4 noktasından geçen bir doğru ve bu aynı zamanda sabit bir fonksiyondur.
y eşittir 4 fonksiyonunun grafiği, gelelim f(x) eşittir x'e.
Burada x'e 0 verelim x'e 0 verirsem y'si de 0 olmuş olur.
O halde 0 virgül 0 noktasından geçecektir.
Devam ediyorum x'e 1 verirsem f(1) 1'e eşit olacak yani y'si de zamanda 1'e eşit olacak.
O halde şöyle 1 1 noktasından geçen 1 doğru, x'e eksi 1 verirsem y'si de buradan eksi 1 olacak.
O halde yine eksi 1'e eksi 1 noktasından geçecek.
O halde bunları birleştirdiğimizde karşımıza çıkan doğru y eşittir x doğrusunun grafiğidir ve bu aynı zamanda birim fonksiyondur.
İçeride hangi değer varsa dışarıda da o değer alacaktır.
y eşittir x fonksiyonunun grafiği de bu şekildedir.
Doğrunun eğimi.
y eşittir ax artı b doğrusunun eğimi a'dır.
Bir doğru soldan sağa doğru giderken yükseliyorsa eğimi pozitif bir doğru soldan sağa doğru giderken alçalıyorsa eğimi negatiftir.
Hemen şöyle şurada bir kısa bir örnek verelim yani soldan sağa doğru gidiyorsa eğer eğim alçalıyorsa eğim burada nedir negatiftir.
Yine aynı şekilde bana soldan sağa doğru eğim artıyorsa yükseliyorsa eğim pozitiftir demiş.
Yatay doğruların eğimi 0'dır.
Yatay doğru dediğimiz şöyle y ekseni üzerinde dik kesecek o halde yatay doğruların eğimi nedir?
0'dır.
Düşey doğruların eğimi ise yoktur demiş bana burada da yine mesela x eksenini dik kesecek olan doğruların eğimi yoktur.
Şimdi örnek üzerinden gösterelim.
Örnek: y eşittir f(x) olmak üzere aşağıda verilen doğrusal fonksiyonların eğimlerini bulunuz.
Evet a şıkkına bakalım.
f(x) eşittir 3x artı 7 demiş.
Neydi bana x'in katsayısı her zaman eğimi veriyordu.
O halde burada eğimi de m ile gösterecek olursak eğimim burada nedir?
eşittir 8 eksi 4x.
Burada x'in katsayısı nedir?
x'in katsayısı eksi 4'tür.
O halde eğimlidir buradan eğimim eksi 4'tür.
f(x) eşittir 1 eksi x bölü 2 burada şöyle parçalayalım, 1 bölü 2 eksi x bölü 2.
x'in katsayısı burada nedir?
Eksi 1 bölü 2'dir o halde eğimim buradan yine eksi 1 bölü 2 gelir.
Peki buraya bakalım, şimdi x'in katsayısı demiştik.
Tabii ki burada x'i hep yalnız bırakmış o halde biz de öncelikle burada f(x) neye eşit bu arada?
y'yi yalnız bırakalım eksi 2x eksi 1, her tarafı 3'e bölelim, her tarafı 3'e böldük y eşittir eksi 2 bölü buradan ne gelmiş oldu?
Eksi 2 bölü 3 o halde eğimim nedir buradan?
Eksi 2 bölü 3.
e şıkkına bakalım.
f(x) eşittir 7.
Bu nedir bir sabit fonksiyondur aynı zamanda yatay bir doğrudur.
O halde yatay doğruların eğimi neydi?
Yatay doğruların eğimi 0'dı.
O halde bu f(x) eşittir yatay bir doğru olduğunu görüyoruz.
O halde bu doğrunun eğimi 0'dır yine aynı şekilde x eşittir 2 bölü 3 e bakalım, bu da x eşittir 2 bölü 3 nasıl gösteririz?
x ekseninde şekilde çizelim, yani bu nasıl bir doğru?
Düşey bir doğru.
Düşey doğruların eğimi nedir?
Düşey doğruların eğimi yoktur.