Fonksiyon ile ilgili yeni örnek çeşitleriyle devam edelim.
Örnek: f(x) eşittir 2 çarpı f(-x) artı x artı 3 olduğuna göre f(1) kaçtır?
Şimdi bana verilen ifadede ben f(1)'i yakalamaya çalışacağım, o halde burada x gördüğüm yere ben 1 yazarsam f(1)'i yakalarım, yapalım.
x gördüğümüz yere 1 yazdık.
f(1) eşittir yere.
1 artı 3 buradan f(1) eşittir fakat yeni bir ifade ile karşılaştık o da f(-1).
O halde ben burada x gördüğümüz yere bu sefer -1 yazarsam verilen diğer negatif de eksi x ifadesini karşıma yine f(1)'i yakalamış olurum ve iki tane bilinmeyen elde etmiş olurum.
Denklem sistemlerinden f(1)'i bulabiliriz.
O halde yapalım, x'e bir de eksi 1 vereyim ben.
x'e eksi 1 verirsem ne olur?
f(-1) eşittir 2 çarpı f eksi, eksi 1 verdim artı, artık burası ne oldu?
Artık 1 oldu.
x'e burada yine eksi 1 yazıyorum.
eksi 1 artı 3, düzenleyelim f(-1) eşittir oldu.
Farkettiyseniz iki bilinmeyenden bu sistemlerden çözebilirim yani f(1), bunu karşıya attık denklem sistemi kurduk.
2 çarpı f(-1) eşittir 4.
Burada da bunu karşıya atalım f(-1) eksi 2 çarpı f(1) eşittir 2.
Şimdi artık f(1)'i sorduğu için f(-1)'leri yok edelim.
f(-1)'in yanında ne var?
Eksi 2 var, o halde burayı 2 ile çarpayım, taraf tarafa toplayalım.
f(1) eksi 2 çarpı f(-1) eşittir 4.
kere 2 4, şimdi taraf tarafa artık topluyoruz.
Eksi 2 f(1), f(-1), 2 f(-1).
Bunlar birini götürdü buradan ne geldi eksi 4 f(1), bir de bir tane f(1), eksi 4'ten 1 çıkarırsam toplarsam yani eksi 3 gelir eksi 3 çarpı f(1) eşittir 4 4 daha 8, her tarafı ben burada eksi 3'e bölersem f(1)'im burada eksi 8 bölü 3 gelmiş oluyor.
Örnek: f(x) eşittir f(x+1) artı 3 ve f(1) eşittir öncelikle f'leri bir araya toplayayım yani f(x) eksi f(x+1) eşittir 3 olsun.
Şimdi bana soruda neyi vermiş?
f(1)'i vermiş.
O halde ben soruda f(1)'i yakalabilmem için öncelikle x'e 1 vereyim, x'e 1 verirsem f(1) eksi f(2) neye eşit olmuş oldu?
3'e.
Şimdi f(4)'ü sorduğu için f(4)'ü yakalayana kadar ilerleyeyim.
x gördüğümüz yere bu sefer 2 yazayım f(2) eksi 2 1 daha 3, f(3).
Bu da neye eşit yine 3'e.
Şimdi devam ediyorum f(3)'ü yakaladım, şimdi sırayla x'e 3 verirsek f(4)'ü yakalayacağız.
x'e 3 verdim f(3), eksi 3 1 daha 4, evet f(4)'ü yakaladık.
Bu da neye eşit yine?
Sabit olduğu için 3'e.
Şimdi ise ben bunları taraf tarafa toplayayım, taraf tarafa hepsini toplayacak olursak birbirini götürenler var.
Eksi f(2) artı f(2) eksi f(3) artı f(3).
Yani benim bunları bilmeme gerek yok, direkt karşıma ne çıktı?
f(1) eksi f(4) çıktı.
Kaç tane 3'ü topluyorum?
vermiş 7, 7 eksi f(4) eşittir 9 ise yalnız bırakacak olursak f(4) eşittir 7 eksi 9 dan eksi 2 gelmiş oluyor.
Örnek: f(x artı 2) eşittir f(x) artı x eksi 3, f(0) eşittir 2 olduğuna göre f(30) kaçtır?
Şimdi önceki örnekte yaptığımız gibi f'leri bir arada toparlayalım.
f(x artı 2) eksi f(x) eşittir x eksi 3.
Şimdi bana f(0)'ı vermiş.
Burada f(0) yakalayabilmem için x'e 0 vereyim, x'e 0 verirsem f(2) eksi f(0) eşittir x'e 1 vereyim.
x'e 1 verirsem f(3) eksi f(1) çıkar karşıma ve taraf tarafa topladığımda birbirine yok etmeyecektir.
O halde x'e 1 değil x'e ben 2 vereyim.
Zaten burada x ve x artı 2 arasındaki farkım da 2.
O yüzden biz ikişer ikişer arttırarak değer veriyoruz.
x'e 2 verdim f(4) eksi f(2) eşittir devam edelim x'e artık 4 veriyorum.
Kaça kadar?
f(30)'a kadar.
Fakat x'e hangi değer vereceğim f(30)u yakalabilmem için?
Buradaki x artı 2 var.
O halde ben burada x'e eksi f(28) eşittir 28 eksi 3'ten 25 gelmiş oluyor, şimdi taraf tarafa bunları toplayalım taraf tarafa topladık.
f(2)ler, f(4)ler, f(6)lar ve bu şekilde birbirini götürecek, en son f(30) eksi f(0) kalmış oldu.
Bu da neye eşit?
Eksi 3, eksi 1, 1 bunların hepsinin toplamı eksi 3 eksi toplamına eşittir.
Şimdi burada eksi 3 artı 3 eksi 1 artı 1 birbirini götürdü, tabii toplam kaç tane terim var ona da bakalım nasıl buluyorduk terim sayısını?
Son terim eksi ilk terim bölü artış miktarı artı 1, yani 28 eksi 0 28 bölü 2, 14 artı 1, 15 tane burada biz terim olduğunu biliyoruz.
O halde 1 2 3 4 f(30) eksi f(0) eşittir artık kaçtan başlayalım?
bulursak sonuca ilerleriz.
Burada kaç tane terim var?
15 14 13 12 11 artık 11 tane terim var.
Peki bunların hepsinin toplamı nasıl buluyorduk terim sayılarının toplamını?
f(30) eksi f(0) eşittir terim sayısı çarpı son terim artı ilk terim 25 artı 5 bölü f(0) eşittir 11 çarpı 30 bölü 2 den 15.
Peki f(30) eksi f(0) eşittir buradan 165 gelmiş oldu f(0)'ı da artık biliyorum 2 diye, eksi 2'yi de karşıya attık.
f(30)'u biz 167 bulmuş oluyoruz.
Örnek: f(x) eşittir 2 çarpı f(-x) artı x artı 3 olduğuna göre f(1) kaçtır?
Şimdi bana verilen ifadede ben f(1)'i yakalamaya çalışacağım, o halde burada x gördüğüm yere ben 1 yazarsam f(1)'i yakalarım, yapalım.
x gördüğümüz yere 1 yazdık.
f(1) eşittir yere.
1 artı 3 buradan f(1) eşittir fakat yeni bir ifade ile karşılaştık o da f(-1).
O halde ben burada x gördüğümüz yere bu sefer -1 yazarsam verilen diğer negatif de eksi x ifadesini karşıma yine f(1)'i yakalamış olurum ve iki tane bilinmeyen elde etmiş olurum.
Denklem sistemlerinden f(1)'i bulabiliriz.
O halde yapalım, x'e bir de eksi 1 vereyim ben.
x'e eksi 1 verirsem ne olur?
f(-1) eşittir 2 çarpı f eksi, eksi 1 verdim artı, artık burası ne oldu?
Artık 1 oldu.
x'e burada yine eksi 1 yazıyorum.
eksi 1 artı 3, düzenleyelim f(-1) eşittir oldu.
Farkettiyseniz iki bilinmeyenden bu sistemlerden çözebilirim yani f(1), bunu karşıya attık denklem sistemi kurduk.
2 çarpı f(-1) eşittir 4.
Burada da bunu karşıya atalım f(-1) eksi 2 çarpı f(1) eşittir 2.
Şimdi artık f(1)'i sorduğu için f(-1)'leri yok edelim.
f(-1)'in yanında ne var?
Eksi 2 var, o halde burayı 2 ile çarpayım, taraf tarafa toplayalım.
f(1) eksi 2 çarpı f(-1) eşittir 4.
kere 2 4, şimdi taraf tarafa artık topluyoruz.
Eksi 2 f(1), f(-1), 2 f(-1).
Bunlar birini götürdü buradan ne geldi eksi 4 f(1), bir de bir tane f(1), eksi 4'ten 1 çıkarırsam toplarsam yani eksi 3 gelir eksi 3 çarpı f(1) eşittir 4 4 daha 8, her tarafı ben burada eksi 3'e bölersem f(1)'im burada eksi 8 bölü 3 gelmiş oluyor.
Örnek: f(x) eşittir f(x+1) artı 3 ve f(1) eşittir öncelikle f'leri bir araya toplayayım yani f(x) eksi f(x+1) eşittir 3 olsun.
Şimdi bana soruda neyi vermiş?
f(1)'i vermiş.
O halde ben soruda f(1)'i yakalabilmem için öncelikle x'e 1 vereyim, x'e 1 verirsem f(1) eksi f(2) neye eşit olmuş oldu?
3'e.
Şimdi f(4)'ü sorduğu için f(4)'ü yakalayana kadar ilerleyeyim.
x gördüğümüz yere bu sefer 2 yazayım f(2) eksi 2 1 daha 3, f(3).
Bu da neye eşit yine 3'e.
Şimdi devam ediyorum f(3)'ü yakaladım, şimdi sırayla x'e 3 verirsek f(4)'ü yakalayacağız.
x'e 3 verdim f(3), eksi 3 1 daha 4, evet f(4)'ü yakaladık.
Bu da neye eşit yine?
Sabit olduğu için 3'e.
Şimdi ise ben bunları taraf tarafa toplayayım, taraf tarafa hepsini toplayacak olursak birbirini götürenler var.
Eksi f(2) artı f(2) eksi f(3) artı f(3).
Yani benim bunları bilmeme gerek yok, direkt karşıma ne çıktı?
f(1) eksi f(4) çıktı.
Kaç tane 3'ü topluyorum?
vermiş 7, 7 eksi f(4) eşittir 9 ise yalnız bırakacak olursak f(4) eşittir 7 eksi 9 dan eksi 2 gelmiş oluyor.
Örnek: f(x artı 2) eşittir f(x) artı x eksi 3, f(0) eşittir 2 olduğuna göre f(30) kaçtır?
Şimdi önceki örnekte yaptığımız gibi f'leri bir arada toparlayalım.
f(x artı 2) eksi f(x) eşittir x eksi 3.
Şimdi bana f(0)'ı vermiş.
Burada f(0) yakalayabilmem için x'e 0 vereyim, x'e 0 verirsem f(2) eksi f(0) eşittir x'e 1 vereyim.
x'e 1 verirsem f(3) eksi f(1) çıkar karşıma ve taraf tarafa topladığımda birbirine yok etmeyecektir.
O halde x'e 1 değil x'e ben 2 vereyim.
Zaten burada x ve x artı 2 arasındaki farkım da 2.
O yüzden biz ikişer ikişer arttırarak değer veriyoruz.
x'e 2 verdim f(4) eksi f(2) eşittir devam edelim x'e artık 4 veriyorum.
Kaça kadar?
f(30)'a kadar.
Fakat x'e hangi değer vereceğim f(30)u yakalabilmem için?
Buradaki x artı 2 var.
O halde ben burada x'e eksi f(28) eşittir 28 eksi 3'ten 25 gelmiş oluyor, şimdi taraf tarafa bunları toplayalım taraf tarafa topladık.
f(2)ler, f(4)ler, f(6)lar ve bu şekilde birbirini götürecek, en son f(30) eksi f(0) kalmış oldu.
Bu da neye eşit?
Eksi 3, eksi 1, 1 bunların hepsinin toplamı eksi 3 eksi toplamına eşittir.
Şimdi burada eksi 3 artı 3 eksi 1 artı 1 birbirini götürdü, tabii toplam kaç tane terim var ona da bakalım nasıl buluyorduk terim sayısını?
Son terim eksi ilk terim bölü artış miktarı artı 1, yani 28 eksi 0 28 bölü 2, 14 artı 1, 15 tane burada biz terim olduğunu biliyoruz.
O halde 1 2 3 4 f(30) eksi f(0) eşittir artık kaçtan başlayalım?
bulursak sonuca ilerleriz.
Burada kaç tane terim var?
15 14 13 12 11 artık 11 tane terim var.
Peki bunların hepsinin toplamı nasıl buluyorduk terim sayılarının toplamını?
f(30) eksi f(0) eşittir terim sayısı çarpı son terim artı ilk terim 25 artı 5 bölü f(0) eşittir 11 çarpı 30 bölü 2 den 15.
Peki f(30) eksi f(0) eşittir buradan 165 gelmiş oldu f(0)'ı da artık biliyorum 2 diye, eksi 2'yi de karşıya attık.
f(30)'u biz 167 bulmuş oluyoruz.
