Belirli İntegral Tanımı

Merhaba Sevgili Gençler, bu videomuzda belirli integral konusuna başlıyoruz.
Öncelikle integral hesabının temel teoremine değinelim.
f a b kapalı aralığında reel sayılara integrallenebilen bir fonksiyon ve f(x)'in integrali arkadaşlar bu integralin tanımını yaparken başta söylemiştik.
İntegral f(x)dx büyük f(x) artı c olacak şekilde bir fonksiyonumuz var.
A b kapalı aralığında reel sayılara bu fonksiyonum varsa sınırlarını a b sınırları koyduğunuzda ev f(x)dx integral aldınız.
Büyük f(x) buldunuz ve sınırları yerine yazarak arkadaşlar belirli integrali buluyoruz.
Buradaki sınırları yazarken önce üst sınırı yazacağım.
Eksi deyip sonra alt sınırı yazıp birbirinin farkını alacağız arkadaşlar.
A burada alt sınır b üst sınırdır.
Üst sınırı yazıp eksi alt sınırı yazıp çıkartacak mıyız?
Evet.
Yani diğer integral alma işlemlerinden çok farklı şeyler yapmıyoruz.
Burada normal integralimizi aldıktan sonra üst sınırı yazıp eksi deyip sonra alt sınırı yazıp bunların farkını alacağız arkadaşlar.
6 x karenin integralini alalım.
x küp bölü üç katsayımız da 6.
Yani ne oldu?
Şöyle bire üç diyelim.
Sınırlarımız bunlar.
İki x küp sınırlarımız da bir ve üç.
Evet üçü yerine yazın iki çarpı 3'ün küpünden iki çarpı yirmi yedi eksi iki çarpı 1 in küpü.
Dolayısıyla elli dört eksi ikiden cevabımız elli iki olmalıdır.
İkinci örneğimizde eksi üçten bire integrali dört dx.
Neyin türevi 4'tür arkadaşlar?
4x'in.
integralini aldınız.
Eksi 3 ve 1 yerine yazdığınızda sorumuz bitecek.
Önce 1 yazıyoruz buna dikkat edin.
4 çarpı 1'den 4 eksi 4 çarpı eksi 3'ten eksi on iki.
İşaret hatası yapmayın.
4 artı 12'den cevabımız on altı olur.
Bakın alt ve üst sınırlar bir sayı olduğunda cevabımız mutlaka bir sayı çıkacak arkadaşlar.
Şimdi birden 2'ye 2x a kare dx Neye göre integral aldığımıza dikkat edin.
x'e göre integral alıyoruz.
O halde buradaki hatta şöyle iki a kare kısmını dışarı çıkartabiliriz.
O zaman xdx'in integralini alacağım.
1 ve 2 yazacağız.
En son evet 2 a kare dursun.
x'in integrali x kare bölü 2 ve biz buraya ne yazacakmışız?
Bir ve iki yazacakmışız o zaman iki a kare.
İçerisi ne oldu?
Önce iki yazdım 4 bölü iki değil mi?
Şurada yerine yazdınız 4 bölü 2'den 2 elde ettim.
Biri yerine yazdığınızda da bir bölü iki elde etti ve bunların farkını aldım.
Cevabımız en son arkadaşlar iki a kare çarpı 2'den bir bölü iki çıkarttığınızda payda eşitleyin çıkartın.
Üç bölü 2 elde edelim ve bu ikileri de sadeleştirdiğimde cevabımız üç a kare olmalıdır arkadaşlar.
Evet, şimdi değişkenimiz bu sefer a.
a'ya göre integral alacağız.
O zaman buradaki 2x nedir?
İntegrali herhangi bir sayıdır.
Burada dışarıya çıkartabiliriz, integral dışına çıkartabiliriz.
A kare da.
Şimdi a karenin integralini alırsanız 2x burada dursun.
a karenin integrali nedir?
A küp bölü üçtür ve biz buraya bir ve iki değerlerini yazacağız.
O zaman 2x önce iki yazdığınızda 8 bölü 3 yapar.
1 yazdığınızda da bir bölü 3 yapar.
O halde burası ne yaptı?
Yedi bölü üç cevabımız iki iki çarpı yedi bölü üçten son olarak 14x bölü üç elde ederiz arkadaşlar.
Evet özelliklerimiz normal integralde de vardı.
Bu özelliğimiz bir katsayı ki az önceki soruda da zaten uyguladım k'yı dışarıya çıkarabiliyorduk.
Herhangi bir katsayı varsa orada onu dışarı çıkarabiliyorduk ve birden fazla fonksiyonun toplamı farkı varsa bunların ayrı ayrı integrallerini alıp sonra araуa işaretini koyabiliyorduk arkadaşlar.
Evet, altındaki örneklerimize bakın iki tane 3x kare var artı 2x var.
O zaman 3 x karenin integrali aldığınızda x küp bölü üç çarpı üç katsayımız var.
Bir de x karenin içini x küp 3 olarak yazdım katsayımı da koyduğumda ve biz buraya 0 2 yazacağız da en son alıp 0 2'yi son halinde yazalım.
3'lere götürdüm.
2x'in integrali nedir?
x'inki x kare bölü iki.
Bir de katsayısı olan iki var.
Evet integrali bu şekilde aldınız ve buraya biz 0 2 yazacağız.
Hatta daha düzenli yazayım.
X Küp kaldı burada.
Buradaki 2'ler de girince x kare kaldı.
0 ve 2 değerlerini yazarsanız iki yazdığımda 8 artı 4 değil mi?
x yerine iki yazdım 8 artı 4'ten 12 elde ettim.
Eksi 0 yazdım sıfır artı sıfırdan sıfır buldum.
Cevabımız 12 olmalıdır.
Evet, son örneğimizde 4x karenin integrali aldığımda x küp bölü 3 ve katsayımız 4 var.
Artı şurayı nasıl düşünelim?
5 bölü x kareyi.
5 x üzeri eksi bir olarak düşünelim.
Bunun integralini aldığımızda ne yapıyoruz?
Üstü bir, 5 üzeri eksi, 2'yi de eksi bir yazmışım.
Eksi iki üstü bir arttırıp artırdığımızı da bölelim.
Yani x üzeri eksi bir bölü eksi bir katsayımız da 5'i de yazdım, arada da artı var.
Evet eksi 1, 1 değerlerini yazacağım.
Önce içeriyi düzenleyelim.
Karışık gözükmesin.
Son haliyle 4x küp bölü 3.
Burası da x üzeri eksi 1 olduğu için üssü negatif olduğu için aşağıya yazacağım.
Eksi eksi şu eksi yüzünden yazdım.
O eksi eksi 5 bölü x ve sınırlarımız eksi bire bir.
Önce biri yazdım arkadaşlar x yerine bir yazarsam 4 bölü üç eksi 5.
1 yazınca bunu elde ettim.
Eksi eksi 1 yazdığımda eksi 4 bölü 3 artı 5.
İster bunları tek tek yapın ister dağıtarak yapın.
Ne gelir?
4 bölü üç eksi 5.
Buradaki eksi içeriye dağıttığımda eksi 4 bölü üç eksi 5.
O zaman hadi artı 4 bölü 3 oldu.
Özür dilerim.
8 bölü 3 ve eksi 10 yaptı.
Paydayı da eşitlersem eksi otuz sekizini topladım.
Eksi yirmi iki bölü üç sorumuzun cevabıdır arkadaşlar.