Polinom ve Sabit Fonksiyonun İntegrali Bölüm 1

Merhaba arkadaşlar, bu videomuzda integral alma kurallarına başlıyoruz.
Öncelikle integralin türevi alınmış bir fonksiyonun kendisini bulma olduğunu söylemiştik.
Yani türevin tersi gibi düşünebiliriz demiştik.
Türevde polinom fonksiyonların türevi nasıl alıyorduk biz üstü başa indiriyorduk.
Yani çarpım olarak yazıyorduk dikkat edin çarpım olarak yazıyoruz ve üstü bir azaltıyorduk.
İntegralde terslerini yapacağız ya türevde üstünü bir azaltıyordunuz.
İntegralde üstünü bir artırdınız.
Türevde bunu çarpım olarak yazıyorsunuz.
İntegralde bölüm olarak yazdığınızda integralini almış oluyoruz tabii artı c'yi unutmayacağız.
İntegral a dx derse arkadaşlar burada şuna dikkat ediyorduk neye göre integral alacağımızı burası söylüyordu.
Yani değişkenimiz x.
Buradaki o zaman a'yı ne olarak kabul edeceğiz?
Biz sabit olarak kabul edeceğiz.
Burada integral 7 dx varmış gibi düşünün.
Neyin türevi 7'dir?
7x'in türevi 7'dir.
Neyin türevi a'dır o halde ax'in türevi a'dır değil mi?
O yüzden adx bir sayı olduğunda direkt sayı çarpı x artı c olarak integral alıyoruz.
Örneklerimizi inceleyelim.
5 dx neyin türevi 5'tir arkadaşlar?
5x'in 5 x artı c.
x küp üstü bir artırdım artırdığımız sayıya bölün artı C.
x kare bölü 3.
Buradaki bölü 3'ü yani katsayısı olan bir bölü 3'ü dışarı çıkartabiliyorduk.
O zaman x karenin integrali nedir?
x küp bölü 3'tür.
Bir de başında bir bölü 3 var.
Arkadaşlar o zaman cevabımız x küp bölü dokuz artı c'dir.
Altındaki de 4x üzeri 7.
Dördü alalım, x üzeri yediyi x üzeri 8 bölü 8 olarak yazdınız.
4'le sekizi sadeleştirdiğinizde x üzeri 8 bölü iki artı C elde ederiz.
Bir sonrakinde x kare bunun x küp Bölü 3 olarak yazdınız.
Artı 4 üstünü bir artırdım arttırdığı sayıya böldüm.
1'in integrali de x'tir arkadaşlar artı c.
4'le ikiyi orada sadeleştirdiğinizde x küp bölü 3 artı 2x kare artı eksi artı c integralimizin cevabıdır.
4x küp eksi 2 demişiz.
O zaman x küpün üstünü bir artırdım ve artırdığım sayıya böldüm katsayısı olan dördü başa yazdım.
Eksi 2'ninki de eksi 2x artı c.
Bu dörtleri götürdüğünüzde x üzeri 4 eksi 2x eksi artı c'dir.
Evet, buraya geldiğimizde 3 bölü x üzeri 6 demiş.
Bunu önce şöyle yazabilir miyiz?
3x üzeri eksi 6 olarak yazabiliriz değil mi?
O zaman 3 katsayımız dursun.
Bu x üzeri x üzeri eksi 6'nın dikkat edin üzerini bir arttırıyordum.
Yani eksi 5 bölü eksi 5 artı c.
O zaman son hali nedir?
3 yukarıda, 5 aşağıda eksiyi buraya koyalım ve x üzeri eksi 5 olduğu için bunu paydaya yazmamız gerekiyor değil mi?
O zaman x üzeri 5 olarak paydaya yazdım.
Artı c'dir köklü fonksiyonlarda.
Bunu üstele çevirebiliyordunuz üstel ifadeye.
x üzeri bir bölü 2 olarak çevirebilirsiniz.
O zaman üstü yine bir arttırın.
x üzeri 3 bölü iki bölü üç bölü ikiye de bölünür.
Cevap budur.
Şıklarda böyle yazmaz genelde değil mi?
x üzeri 3 Bölü ikiyi nasıl çevirelim?
x üzeri içerisi bölü dışarısı 2.
O zaman karekök bölü 3, bölü 2 idi.
Bunu ters çevirip çarpacağız da biz o zaman bunu iki bölü 3 olarak ters çevirip çarptım.
Artı C.
Hatta buradaki x küpü de X küp nedir?
Karekökün dışına nasıl çıkar?
Karekökte iki tane olursa onları bir tane olarak dışarı çıkarabiliyordum.
Yani 2x diğer üçüncü x'imiz dışarı çıkamadı.
Böyle de yazabiliriz değil mi?
Evet, yine dördüncü dereceden x küp.
Bunun yerine x üzeri üç bölü dört diyorsunuz üstü bir artı dediniz.
3 bölü dörde bir eklerseniz yedi bölü dört olur, bölü yedi bölü dört artı c.
Şimdi yedi bölü dördü bölüyoruz.
O yüzden ters çevirip çarptığımda dört bölü yedi oldu ve burası da içerisi yedi, dışarısı 4 artı C olarak yazdım.
Burada kök var, bir de paydada.
O zaman 4x üzeri iki bölü 3'tü ya burası.
O zaman x'i iki bölü 3 olarak yazdınız.
4 üzeri bir artırdım.
Eksi iki bölü 3'e 1 eklerseniz bir bölü 3 bölü bir bölü üç yazdınız.
Artı C.
Bir bölü üçü ters çevirip çarptığınızda 12 x üzeri bir bölü üç yani küp kök x artı c elde ederiz.
x kare dt.
Bakın burada şuna dikkat edin dt demiş değişkenimiz t o yüzden integrali t'ye göre alacağız.
İçeride T yok.
Bu öteki x kare nedir o zaman?
Bir sabit olarak düşünürsünüz.
Orada 3 var.
O zaman cevabımız ne olur?
3t olur gibi.
O zaman x kare ise cevabımız x kare t olur arkadaşlar.
Artı C.
Değişkenimiz a o zaman neyin türevi ikidir?
İki a'nın türevi 2'dir.
Artı C değişkenimize dikkat edin.
x kare var burada bunu bir sabit olarak düşüneceğiz.
O zaman x kare a'dır.
Buranın integrali.
Üç a'nın integrali nedir?
Artı üç a'nın üzerini bir artırdım arttırdığıma böldüm artı c cevabımızdır.
Bakalım diğer örneğimize.
Integralni sonucunu bulunuz.
Burada da üstteki yaptıklarımızın hepsini tek bir integralde verdik.
Ayrı ayrı integral alıp toplayıp çıkarabiliyorduk.
5 x üzeri 4 5 x üzeri 5 bölü 5 olarak yazdım burayı.
Artı 2 x üzeri 4 1 artırdığımız arttırdığıma böldüm eksi 4 neyin türevidir?
Eksi 4x'in türevidir.
Bunun yerine 4x üzeri eksi 2 yazdınız.
O zaman artı 4 x üzeri eksi 2'nin üstünü 1 arttırdım ve arttırdığıma böldüm.
Artı bunun yerine 3x üzeri bir bölü 3 ama paydada olduğu için de eksi bir bölü 3.
O zaman cevabımız 3 üstü bir arttırın eksi bir bölü 3'e 1 eklerseniz iki bölü üç bölü iki bölü üçü bölüm olarak yazdım artı C düzenleyelim.
Buradaki beşler gittiğinde x üzeri 5.
2 ile 4 sadeleştiğinde 2 üzeri 4 bölü 2 eksi 4x'i aynen yazdım.
4 bölü eksi 1.
O zaman burada bir eksi 4 olacak ve x üzeri eksi bir üstü eksi olduğu için bunda paydaya yazdım.
Artı iki bölü üçü ters çevirip çarptığınızda 3 bölü iki olacak.
Bir de bunu 3 ile çarptığımızda 9 bölü 2 ve x üzeri iki bölü üç.
Bu bir köklü ifadedir.
O yüzden derecemiz 3, içerisi de x karedir.
Artı C olur arkadaşlar.
Evet, altındaki örneğimize bakın burada çarpma var.
Toplama çıkarma olduğunda ayrı ayrı her terimin integralini alıp toplayıp çıkarabiliyorduk ama çarpmada böyle değil.
Yani burada çarpma var.
Ben önce 3 eksi artı biri alayım sonra 2x eksi dördü alayım çarpım olmuyor arkadaşlar mecburen.
O zaman böyle bir ifade gördüğünüzde ne yapmanız gerekiyor?
İçeriye dağıtın.
Şimdi 3x'i dağıtıyorum.
3x çarpı 2x diye başladım.
6x kare eksi 3x ile dördü çarptığımda eksi 12x artı biri dağıttığımda iki x, biri dağıttım eksi dörde eksi 4 düzenleyin bunu.
6x kare eksi 10x eksi 4.
Evet şimdi integralini alalım.
6 x kare eksi 10 x eksi 4 dx.
Bunun integralini aldığınızda 6 x küp bölü 3 üstü bir arttırdım arttırdığıma böldüm.
Eksi 10x kare bölü 2 eksi 4 x artı c.
6 ile üçü sadeleştirdim iki x küp.
On ile ikiyi sadeleştirdim.
Eksi 5 x kare, eksi 4 x artı C olarak yazdım.
Arkadaşlar son örneğimizde integralin sonucunu bulunuz dedik.
Yine az önce söylediğim gibi çarpmada ayıramadığımız gibi bölmede de ayrı ayrı önce payın integralini alayım sonra paydan integral alayım bunları böleyim yine olmuyor arkadaşlar.
Bunlar bir şekilde bölünmesi gerekiyor.
O zaman size böyle bir şeye soruyorsa şunu bir çarpanlara ayıralım mı?
2x'e x dedim buraya.
Ve burası da ortada eksi x'i elde etmek için eksi 3'e 5 bakın.
Eksi X artı 5x bakın eksi x'i elde ettim.
O zaman burası neymiş?
İntegral 2x artı 5 çarpanlara ayrılmış hali x eksi 3 bölü x eksi 3 dx yazdım.
X eksi üçler sadeleşti.
O zaman biz 2 x artı 5 integralini alacağız.
Yani 2x kare bölü 2 artı 5x artı c.
x kare şu 2'leri de sadeleştirdiniz.
Cevabımız x kare artı 5x artı c olur arkadaşlar.