Dik Prizma Kavramları

Merhabalar hepinize.
Evet dostlar şimdi üç boyutlu diyara adım atmış bulunmaktayız.
Nedir bu üç boyut?
Uzay nedir?
Her şey ve hiçbir şey.
Yani cisimler, varlıklar ve boşluk.
Şimdi iki boyuttan üç boyuta nasıl geçeceğiz peki?
Bize bir düzlem daha lazım dostlar.
Paralel iki düzlem arasındaki kapalı sınırlı yüzeyler bütününe o parçasına prizma diyoruz.
Prizmalar tabanlarına göre isim alıyorlar.
Tabanlarında yer alan çokgenler prizma ismini veriyor.
Üçgen mi var tabanda?
Üçgen prizma.
Dörtgen mi var Dörtgen prizma.
Altıgen mi var?
Altıgen prizma.
12 gen mi var ne ise ne devam edebilirsiniz böyle.
Şimdi burada ana doğruyu açıklamak istiyorum.
Tabanlarımızda yer alan çokgenlerin bulunduğu düzlemde olmayan yani bu gördüğünüz ABCD'nin bulunduğu düzlemde olmayan ve bu çokgenimize de tabii çokgenin düzlemine paralel olmayan doğru ana doğrudur burada gördüğünüz daha doğrusu buradaki prizmamızın ana doğrusudur.
Ne iş yapar bu ana doğru peki?
İşte burada gördüğünüz yan yüzlerdeki bu dikey ayrıtları oluşturan şey bu.
Doğrumuza paralel doğrulardır.
Gördüğünüz gibi AK, DN, BL, CM d doğrusuna paralel olacak şekilde oluşmuştur.
İşte bu ana doğrumuzdur.
Bunların bu gördüğünüz aygıtların paralel olduğu doğrumuz bizim ana doğrumuzdur.
Bunu anlatmaya çalışıyorum.
Burada göstermeye çalıştığım bir diğer şey de bu yüzeylerin paralel olmasıdır.
Şimdi bunları tabii çizdik de bu paralel doğrular birbirinden farklı uzunlukta değil.
Yani buraya 10 deyip buraya 20 deme gibi bir durumdan bahsetmiyoruz.
Bu gördüğünüz durumlar birbirine paralel ve aynı zamanda da eşit uzunluğa sahipler.
Şimdi devam edelim.
İşte bu ana doğrumuzun düzlem ile yaptığı açıya göre prizmalar çeşitlendirilir.
Ana doğru taban düzlemine dik ise dik prizma adını alır.
Dik değilse eğiktir.
Eğik prizma adını alır.
Böyle devam edelim.
Şurayı da gösterelim.
Prizmada alt ve üst taban.
Yani buradaki yüzeyler birbirlerine paraleldir.
Bu tabanlar arası alt ve üst taban arası mesafede yükseklikleri bizim buradaki arasındaki uzaklık yüksekliktir.
Bir nokta mı aldınız?
Aşağısında izdüşümü olarak düşünebilirsiniz.
Bu iki mesafe arası uzaklık sizin o prizmanıza ait yüksekliktir.
Herhangi bir yeri alabilirsiniz.
Burası aşağıya göre buraya da buradan mı aldınız?
Buradan aynı izdüşümü getirdim.
Hop burada 90 dereceden bahsediyorum.
Bu aradaki mesafe sizin yüksekliğinizdir.
Şimdi dik prizmaların yan yüzleri ya dikdörtgen ya da karedir.
Dikkatli olalım.
Yani bunu da bir yere not edelim.
Burada onu göstermeye çalıştım.
Ya dikdörtgen ya da karedir.
Alt ve üst tabanlar eştir.
Bu arada yani üst tarafa geçince buranın daha geniş, daha küçük olmasını beklemeyin.
Prizmalanın ana mantığı budur.
Bunları anlatmış olalım.
Şimdi burada cisim köşegeninden bahsetmek istiyorum.
Bizim köşegenimiz çok önemli.
Prizmanın farklı yüzünde olan iki köşeyi birleştirirseniz cisim köşegeni elde edersiniz.
Ne demek istiyorum?
Şöyle bir tane örnek örnek demeyelim de bunun üstünden bir tane çizim yaptım buraya.
Diyelim ki burada bir cisim köşegeni bulalım.
Şimdi siz eğer a köşesini seçiyorsanız -ne anlattım cisim köşegeninden bahsederken- prizmanın farklı yüzünde olan yani aynı yüzeylerde, aynı düzlemlerde bulunmayan köşelerden bahsediyorum.
Yani siz burada mesela alt düzleme bakarsanız burada aynı düzlemde bulunduğu için bu noktalar aynı cisim köşegeni oluşturamazlar.
Yani siz de köşesini alırsanız bir cisim köşegeni elde edemezsiniz.
Aynı yüzeyi deler ya da C'yi alırsanız, A ile C'yi birleştirirseniz evet bu bir köşegen olur ama bu bir yüzey köşegen olur.
Alt yüzeye ait bir yüzey köşegen oldu.
Cisim köşegeni tanımına uymuyor.
Aynı yüzlerde bulunmaması lazım.
Yani alttakine de bakarsam d köşesi olmaz.
C köşesi olmaz, B köşesi olmaz.
Çünkü aynı yüzdeler.
Sol yüze baksam.
Sol yüz dediğim de şurada gördüğünüz ADNK dik dörtgeninden bahsediyorum.
Sol yüz dediğim şöyle tarayayım rahat da görünüz.
Şimdi demek ki bunlar aynı yüzdeler.
N dediğim yer sol yüz.
Demek ki bunlar A ile aynı yüzdeler.
O zaman K ile birleştirirsem de olmaz.
N birleştirirsem de olmaz D ile birleştirirsem yine olmaz.
Şimdi N ile birleştirirsem bir köşegen oluyor ama yüzey köşegenidir.
Cisim köşegeni değil.
Geçelim bir diğer yüze şurada gördüğünüz arka yüz diye tanımlıyorum, bu tarafı şöyle baktığımızda farz edin yani cisme karşıdan baktığınızı farz edin.
Şu gördüğünüz ne?
NMCD dediğim yer arka tarafa düştüğü için böyle arka taraf diye tanımladığım daha rahat görmenizi sağlayabilir belki.
Bu NMCD dediğim şey ile aynı düzlemde mi?
Değil demek ki bunlardan biri olabilir.
N'i eledim D'yi eledim C'yi eledim.
Elimde kaldı M.
İşte burada.
M yüzü bir A ve M'yi birleştirirsem dostlar gördüğünüz gibi bir cisim köşegeni elde edebilir.
A ve M uygundur.
Şimdi mesela şu sağ tarafa da baksaydım o da eksik kalmasın.
Burada gördüğünüz gibi şu yüze baksaydım burada gördüğünüz L yüzü noktası diyelim L köşesi ile aynı düzlemde mi?
Evet, ön yüze bakarsanız aynı düzlemde o yüzden L köşesi olmazdı.
Bu yüze baktığınızda evet şey değil ama ön taraftaki yüze baktığınız zaman A ve L aynı düzlem içerisinde yani ön yüz tarafında bunlar aynı düzlemdeler.
O yüzden L olmaz.
B dediğim yine ön yüze bakarsan olmaz zaten.
İlk başta elemiştik gördüğünüz gibi kalan tek şey bu.
B olsaydı peki ne yapacaktım?
İkinci duruma geçelim.
İşte B'de de neyle birleştirirseniz bir cisim köşegeni elde edersiniz?
C için baksaydım nereyi yapacaktım?
C için baksaydınız K'ye gelmeniz gerekirdi.
D için bakmanız gerekirse eğer, L'ye kadar gelmeniz gerekirdi.
Bir cisim köşegeni elde edebilmek için.
Şimdi burada bu verdiğim yerde cisim köşegen uzunluğunu nasıl hesaplarım?
Tamam bunları gösterdim.
Bunları birleştirince bir cisim köşegeni oluşturuluyor dedim.
Peki bunun uzunluğunu nasıl bulacağım?
İşte bunun uzunluğu ilk başa geri dönelim.
Mesela A ve M üzerinden ilerlediğimizi düşünelim.
Kuralları temizleyip göstermek istiyorum.
A ve M'yi birleştirip cisim köşegeni elde ettiğimi biliyorum.
Tamam şimdi peki bu uzunluğu nasıl bulacağım?
Yani buradaki M ve A arası uzaklıktan bahsediyorum.
Bunu nasıl elde edeceğim?
Bunu elde etmenin yolu arkadaşlar bunu bir dik üçgen içerisine koyabilmektir.
Siz dik bir üçgen içersinde rahatlıkla uzunluk hesaplayabiliyorsunuz.
Çünkü Pisagor teoremi diye bir törenimiz var.
Rahatlıkla uzunluk hesaplayabiliyorum.
Peki ben bunu nasıl dik bir üçgen içerisine koyarım?
İşte M'den A'nın bulunduğu düzlem içerisine bir izdüşümü bildiğinizi düşünün.
Yani şuradan M ve C'yi birleştiren bir doğru aldınız.
Aynı zamanda burada burayı A ile de birleştirelim ki tabii aynı bir üçgen içerisine girmiş olsunlar.
İşte burada gördüğünüz bu sarı yer sizin dik üçgenimiz olmaktadır.
Dostlar burada gördüğünüz MC ve AC birbirine diktir dostlar.
Burayı görmemiz lazım.
Buradaki dikliği görmemiz lazım.
Siz M'den C'yi birleştirdikten sonra CD'den geçen ve alttaki düzlemde olan herhangi doğruya dik çizer misiniz?
Yani sadece C ve A dik değildir.
İsterseniz C ve D'yi birleştirin.
Burası dik olacaktı.
İsterseniz C, A yapın, isterseniz C ile şu ortada bir yeri birleştirin.
Orası dik olacaktı sildim ama.
CB'yi alın ya da hiç dik gibi gözükmüyor değil mi dostlar?
Ama diktir.
C'den geçen ve C'nin içinde bulunduğu düzlem üzerinde olan herhangi bir doğrudan bahsediyorum dostlar.
Tamam, tekrar düzeltelim şöyle.
Yani şöyle bir yelpazemiz var.
Burada gördüğünüz herhangi birine diktir bu MC MC için konuşuyorum sadece MC dediğim şey bunlara diktir.
Rahat görmeniz açısından böyle biraz detaylı göstermek istedim dostlar.
Umarım faydalı olmuştur.
İşte burada bunu hesaplamanın yolu nasıl geliyor?
Burayı da birleştirdikten sonra burasını dik olduğunu biliyorum artık.
Şurayı tekrar temizleyelim.
Şimdi burada siz AC'yi hesaplayabilir misiniz?
Evet, hesaplarsınız.
Çünkü alt yüz bir dikdörtgene aittir ve burada gördüğünüz yüzey diktir.
Yani altta tepeden bakarsanız dostlar buranın dik olduğunu görürsünüz.
Ve siz A ve C'yi birleştirdiniz.
Üstten bakıyorum.
A, B, C, d, dörtgeni a, b, c, d dörtgeni burası bir dikdörtgendir.
Yüzeyler dikdörtgen dedik.
Şimdi burasının 90 derece olduğunu biliyorum.
Burası A yazmış, burası B yazmış.
O zaman burayı hesaplarım.
Nasıl hesaplarım?
Pisagorla şu üçgen içerisinde Pisagor yaparsam bu uzunluğu hesapladım.
Kök içersinde a kare artı b kare.
Şimdi geçtim büyük üçgene.
Büyük dik üçgeninde yani a c m dik üçgeninde Pisagorum var bu kenarı biliyorum.
C.
Bu kenarı biliyorum kök içinde a kare artı b kare.
O zaman artık aradığım yeri bulabiliyorum.
Bunun karesi artık bunun karesi eşittir bunun karesi.
O yüzden kök içerisini alırsam bunun karesi c kare kök a kare artı b karenin karesi kökler gitti akar artı b kare.
İşte gördüğünüz gibi böyle dikdörtgen dik prizmada bir cisim köşesini hesaplamak işte bu kadar.