Merhabalar, dik prizmalarda sorulara bakıyoruz.
Şimdi ilk örneğimiz bir düzgün altıgen dik prizmanın yüksekliği 20 santim, yanal alanı 240 santimetre kare ise hacmi kaçtır?
Şimdi benim aklıma hiçbir şey gelmiyor.
Hocam bir şekil ilerleyin diyorum.
Şöyle şöyle şöyle tamam tamam altıgen çizdim.
Atıyorum böyle devam ediyor aşağı kadar falan filan.
Evet ne biliyorum yüksekliğini?
H eşittir yirmi.
Başka neyi biliyorum?
Yanal alanı.
Neyi bilmiyorum?
Alttaki, alttaki ya da üst tabandaki nedir?
Düzgün bir altıgen yani düzgünün mantığı nedir?
Kenar uzunlukları eşit.
Yani ben kenar uzunluğunu bilmiyorum.
Mesela A dedim bilmediğim bir şey ama harf verdim tanımladım.
Yanal alan 240 santimetre kare verilmiş.
Siz yanal alanı nasıl hesaplıyordunuz?
Düzgün tabanlı, düzgün, çokgen tabanlı bir dik prizmada taban çevresi çarpı yükseklik eşittir yanal alan dostlar ve taban çevresini rahatlıkla hesaplayabilir miyim?
Evet, bir kenarı kaç?
A.
Kaç tane kenarı var?
Altıgen 6 tane.
6 çarpı a düzgün çokgen olmanın en güzel tarafı.
Rahatlıkla hesapladım.
Yüksekliğimi vermiş zaten 20 eşittir 240.
Bu kadar.
Buradan 120 etti, A eşittir 2 santimetre a'yı buldum.
Neyi buldum?
Bu düzgün dediğim çokgenin bir kenar uzunluğunu buldum.
Diyor ki hacmi kaçtır?
Bir düzgün çokgen, tabanında düzgün bir çokgen olan dik bir prizmanın hacmini dik prizmanın hacmini nasıl hesaplıyorduk?
Taban alanı çarpı yükseklik eşittir hacimdi dostlar.
Siz taban alanını hesaplayabilir misiniz?
Hesaplarım.
Neden?
Bir tane kenar uzunluğunu bildiğim altıgen alanı neydi?
Altı çarpı a kare kök üç bölü dört a yerine 2 yazıyoruz.
2'nin karesi 4 mü etti?
Evet bu dördü götürdü.
O zaman taban alanı altı kök üç oldu.
Dostlar yazalım.
Altı kök üç çarpı yükseklik yüksekliğini verdi zaten.
Geldi bana 120 kök 3 santimetre küp.
Hacmi bu kadardır işte dostlar.
İkinci sorumuza bakalım.
Gördüğünüz gibi bir dikdörtgen dik prizma verilmiş.
Cisim köşegen uzunluğu 15 kök iki santimmiş.
Tamam, ABC ayrıtlarını görüyorum.
Bunlar arasında da bir oran varmış.
Bunu vermiş bize.
Demiş ki a 3'le orantılı, B 4 de orantılı, C de 5'le orantılı.
Yani siz a'ya 3k, b'ye 4k ve c'ye de 5k verebilirsiniz.
Oranlar bu şekilde olmalı diyor.
Tamam, yani buna k katı verdiyseniz buna da 4'le çarparak 4k.
Bunu da 5'le çarparak 5k yazmalısınız diyor.
Tamam şimdi cisim köşegenini niye vermiş?
Şu işlemi yapıp k'yi bulalım diye vermiş.
Peki cisim köşegenini nasıl hesaplıyordum dikdörtgen dik prizmada?
Kök içerisinde farklı ayrı uzunluklarının kareleri toplamıyla yani a kare artı b kare artı c kare kök içerisinde eşittir.
Cisim köşegeni eşittir on beş kök iki verilmiş.
Ben a'yı b'yi c'yi k'li olarak yazabiliyorum.
E yazalım o zaman a'nın karesi, 3k'nin karesi dokuz tane k'nin karesi.
b'nin karesi, 4k'nin karesi etti on altı tane k'nin karesi.
C'nin karesi.
5k'nin karesi 25 tane k'in karesi etti 15 kök 2.
9 16 25 25 elli tane k kare kök içerisinde.
50 tane 50 dışarı nasıl çıkar?
5 kök iki.
k kare dışarı nasıl çıkar?
k diye.
Bu neye eşitmiş?
15 kök iki.
Kök ikiler gitti.
15 ve 5 de sadeleşti.
3.
Bu çok güzel.
En uzun ayrıt uzunluğu en uzun, en uzun ayrıt uzunluğu.
Burada gördüğünüz C değil midir?
Evet C dediğimiz.
5k.
O zaman 5 çarpı 3'ten 15 santim buluruz arkadaşlar.
Evet geçelim diğer bir örneğimize.
Şimdi şekilde bize bir küp verilmiş.
HBF açısı a kadarsa cosinüs A değeri nedir?
diye soruyor.
Şimdi böyle bu sorularda dostlar cosinüs a dediğim değeri ben kolaylıkla nasıl hesaplarım?
Dik bir üçgen içersinde ise rahat hesaplıyordum Komşusunu ve hipotenüsünü biliyorsam o dik üçgen içerisinde rahatlıkla hesaplayıp önüne verirdim.
Ama şimdi ne yapmam lazım dostlar bunu bir dik üçgenin içerisini acaba geliştirebiliyor muyum ya da öyle bir üçgen içerisinde mi diye kontrol etmem, bakmam lazım.
Şimdi bu sorularda şurayı iyi takip ediniz.
Şu verdiği harfleri iyi takip ediniz.
HBF demiş.
Şu HBF'ye bir bakalım, bir birleştirelim.
H ile B'yi birleştiriyorum.
B ile F'yi birleştiriyorum.
Sonra da H ile F'yi birleştiriyorum.
Şimdi bakıyorum acaba burası bir dik üçgen mi?
Bana cosinüs a'yı sormuş da dik üçgenin içerisinde mi?
Rahatlıkla bulabiliyor muyum?
Şimdi ben bu dikliği gördüm de siz gördünüz mü dostlar?
Şimdi şuradaki açının geniş olduğuna aldanmayın.
Geniş olmayabilir, üç boyutlu düşünüyoruz dostlar artık iki boyutlu düşünüp böyle sayfa düzlemine şurada yukarıdan bakıp hocam burası geniştir diye düşünmeyelim.
Artık düzlemsel, farklı, düzlemsel düşüncelerimiz gelişmesi lazım.
Şimdi burada konular kısmında da göstermiştim.
Şurayı tamamlıyorum, dostlar, H ve D'yi birleştirdim.
D ve B'yi birleştirdim.
Sizin bu içeride oluşturduğunuz düzlem şöyle sarı ile göstereyim.
Bu oluşturduğunuz düzlem bir dikdörtgensel şekildedir.
Dikdörtgen şeklin benim için önemi ne derseniz, dostlar dikdörtgenin önemi neydi?
Dikdörtgen neydi?
Karşılıklı kenar uzunlukları eşit, karşılıklı kenarları paralel ve her bir iç açısı 90 derece idi.
O zaman şu gördüğünüz açı 90 dır.
Şu gördüğünüz açı 90 dır.
Bakın geniş gibi görünebilir ama 90.
Bu açı dar gibi görünebilir ama 90 derece.
Şurada gördüğünüz bu açı geniş gibi görülebilir.
90.
Burada gördüğünüz açı dar gibi görünebilir ama hayır öyle değil.
90 derece dostlar tamam mı?
Bunu şuraya tekrar göstereyim.
Konular kısmında da dikkat çekmek istemiştim.
Buraya rastgele bir tane küp çiziyorum.
Tamam çizdim.
Hatta şu iç kısımlarında gösterelim.
Burada aldığınız düzlemlerin şekline dikkat etmenizi istemiştim.
Mesela şöyle bir düzlemsel kesit aldığınız zaman şurada gördüğünüz düzlem bir dikdörtgensel şekil belirtmekte idi.
Şu düzlemden bahsediyorum.
Bana ne demeyiniz?
Çünkü buranın 90 derece olduğu görülmeyebilir.
Ama siz buranın oluşturacağı şeklin dikdörtgen olduğunu bildikten sonra bu açının 90 derece olduğunu bilirsiniz.
Yani şurası verilmeseydi siz şöyle bir üçgen içerisinde işte bu çizdiğim şu açının 90 derece olduğunu bilecektiniz dostlar, İşte önemi burada.
Ve buraya baktığınız zaman da siz artık HBF üçgenin de F köşesinin 90 derece olduğunu biliyorsunuz.
Yani A aslında HBF üçgeni içerisinde yani bir dik üçgen içerisinde yer almakta.
Yani siz aslında HBF üçgenini çizerseniz bakın h, b, f.
Şimdi nerenin f olduğunu bilmeliyim dik köşeye f harfini getirmeliyiö.
Yani buraya f yazmalıyım.
Diğer taraflar H ve B.
Burası dik açım.
Nerede HBF.
Yani burada a'yı buraya koydum.
Şimdi artık neyi bulmam lazım?
Kenar uzunlukları yazmam lazım.
Şimdi küpe dair herhangi bir kenar uzunluğu belirtmiş mi?
Vermemiş o zaman x diyerek başlayın bir kenara.
X dedim.
Kenar uzunluğu x olsun, küpün ayrıt uzunluğu diyelim.
Ayrıt uzunluğu x olsun.
Şimdi burada BD uzunluğu dediğim karenin ortasında alt taban kare olduğu için şöyle gösterelim.
Karenin ortasında köşegen değil midir?
B ve d ve tepeden baktığınız düşünün dostlar a, b, c, d buna tepeden şöyle bir bakış atıyorsunuz tamam mı?
Alt yüzde göreceğiniz şekil nedir?
Bir karedir.
Küpten bahsediyoruz.
Küp ise alt tarafta kare oluştu.
Tamam, B ve D'yi birleştirirsek bir köşegen oluşturdu.
Ben bir ayrıta X dedim.
O zaman BD dediğimi nasıl hesaplarım?
x kök 2.
BD dediğim nerede?
Dostlar BD dediğim üst taraftaki HF ediyor dostlar.
Bakın şurada bir ayrıt uzunluğu gibi düşünmeyin bunu.
Bakın bir ayrıt uzunluğunun kök iki katı.
Şöyle şu açının 90 derece olduğunu görürsek.
x Burası.
x Burası.
HF dediğim uzunluk.
x Kök iki ya da BD dediğim uzunluk x kök iki.
Şuraya x Kök 2'yi yazdık.
Tamam ne kaldı dostlar?
HB.
HB'yi bulabilir miyim şimdi?
BF dediğim şey bir ayrıt uzunluğu.
Burası kolay.
HF'yi bulabilir miyim?
HB'yi bulabilir miyim?
Aslında zaten buranın cisim köşegeni olduğunu görüyorum.
B ve H'yi birleştirdiği için cisim köşegenidir.
Küpte cisim köşegeni neydi?
Kök 3 çarpı kenar uzunluğuydu.
Ayrıt uzunluğu kök 3 çarpı x.
Yani x kök 3 sizin cisim köşegeniniz.
Yani B ve H'yi birleştiren uzunluğunuz eder.
Siz burada artık dik bir üçgen içerisine koydunuz mu bu şeklinizi, bir açınızı?
Evet, o zaman cosinüs a'yı hesaplayabilirsiniz.
Cosinüs a nedir?
Dik üçgen içerisinde komşu dik kenar yani x bölü hipotenüs yani x kök 3.
Yani bir bölü kök 3 ya da kök üç bölü üçtür dostlar.
Şimdi ilk örneğimiz bir düzgün altıgen dik prizmanın yüksekliği 20 santim, yanal alanı 240 santimetre kare ise hacmi kaçtır?
Şimdi benim aklıma hiçbir şey gelmiyor.
Hocam bir şekil ilerleyin diyorum.
Şöyle şöyle şöyle tamam tamam altıgen çizdim.
Atıyorum böyle devam ediyor aşağı kadar falan filan.
Evet ne biliyorum yüksekliğini?
H eşittir yirmi.
Başka neyi biliyorum?
Yanal alanı.
Neyi bilmiyorum?
Alttaki, alttaki ya da üst tabandaki nedir?
Düzgün bir altıgen yani düzgünün mantığı nedir?
Kenar uzunlukları eşit.
Yani ben kenar uzunluğunu bilmiyorum.
Mesela A dedim bilmediğim bir şey ama harf verdim tanımladım.
Yanal alan 240 santimetre kare verilmiş.
Siz yanal alanı nasıl hesaplıyordunuz?
Düzgün tabanlı, düzgün, çokgen tabanlı bir dik prizmada taban çevresi çarpı yükseklik eşittir yanal alan dostlar ve taban çevresini rahatlıkla hesaplayabilir miyim?
Evet, bir kenarı kaç?
A.
Kaç tane kenarı var?
Altıgen 6 tane.
6 çarpı a düzgün çokgen olmanın en güzel tarafı.
Rahatlıkla hesapladım.
Yüksekliğimi vermiş zaten 20 eşittir 240.
Bu kadar.
Buradan 120 etti, A eşittir 2 santimetre a'yı buldum.
Neyi buldum?
Bu düzgün dediğim çokgenin bir kenar uzunluğunu buldum.
Diyor ki hacmi kaçtır?
Bir düzgün çokgen, tabanında düzgün bir çokgen olan dik bir prizmanın hacmini dik prizmanın hacmini nasıl hesaplıyorduk?
Taban alanı çarpı yükseklik eşittir hacimdi dostlar.
Siz taban alanını hesaplayabilir misiniz?
Hesaplarım.
Neden?
Bir tane kenar uzunluğunu bildiğim altıgen alanı neydi?
Altı çarpı a kare kök üç bölü dört a yerine 2 yazıyoruz.
2'nin karesi 4 mü etti?
Evet bu dördü götürdü.
O zaman taban alanı altı kök üç oldu.
Dostlar yazalım.
Altı kök üç çarpı yükseklik yüksekliğini verdi zaten.
Geldi bana 120 kök 3 santimetre küp.
Hacmi bu kadardır işte dostlar.
İkinci sorumuza bakalım.
Gördüğünüz gibi bir dikdörtgen dik prizma verilmiş.
Cisim köşegen uzunluğu 15 kök iki santimmiş.
Tamam, ABC ayrıtlarını görüyorum.
Bunlar arasında da bir oran varmış.
Bunu vermiş bize.
Demiş ki a 3'le orantılı, B 4 de orantılı, C de 5'le orantılı.
Yani siz a'ya 3k, b'ye 4k ve c'ye de 5k verebilirsiniz.
Oranlar bu şekilde olmalı diyor.
Tamam, yani buna k katı verdiyseniz buna da 4'le çarparak 4k.
Bunu da 5'le çarparak 5k yazmalısınız diyor.
Tamam şimdi cisim köşegenini niye vermiş?
Şu işlemi yapıp k'yi bulalım diye vermiş.
Peki cisim köşegenini nasıl hesaplıyordum dikdörtgen dik prizmada?
Kök içerisinde farklı ayrı uzunluklarının kareleri toplamıyla yani a kare artı b kare artı c kare kök içerisinde eşittir.
Cisim köşegeni eşittir on beş kök iki verilmiş.
Ben a'yı b'yi c'yi k'li olarak yazabiliyorum.
E yazalım o zaman a'nın karesi, 3k'nin karesi dokuz tane k'nin karesi.
b'nin karesi, 4k'nin karesi etti on altı tane k'nin karesi.
C'nin karesi.
5k'nin karesi 25 tane k'in karesi etti 15 kök 2.
9 16 25 25 elli tane k kare kök içerisinde.
50 tane 50 dışarı nasıl çıkar?
5 kök iki.
k kare dışarı nasıl çıkar?
k diye.
Bu neye eşitmiş?
15 kök iki.
Kök ikiler gitti.
15 ve 5 de sadeleşti.
3.
Bu çok güzel.
En uzun ayrıt uzunluğu en uzun, en uzun ayrıt uzunluğu.
Burada gördüğünüz C değil midir?
Evet C dediğimiz.
5k.
O zaman 5 çarpı 3'ten 15 santim buluruz arkadaşlar.
Evet geçelim diğer bir örneğimize.
Şimdi şekilde bize bir küp verilmiş.
HBF açısı a kadarsa cosinüs A değeri nedir?
diye soruyor.
Şimdi böyle bu sorularda dostlar cosinüs a dediğim değeri ben kolaylıkla nasıl hesaplarım?
Dik bir üçgen içersinde ise rahat hesaplıyordum Komşusunu ve hipotenüsünü biliyorsam o dik üçgen içerisinde rahatlıkla hesaplayıp önüne verirdim.
Ama şimdi ne yapmam lazım dostlar bunu bir dik üçgenin içerisini acaba geliştirebiliyor muyum ya da öyle bir üçgen içerisinde mi diye kontrol etmem, bakmam lazım.
Şimdi bu sorularda şurayı iyi takip ediniz.
Şu verdiği harfleri iyi takip ediniz.
HBF demiş.
Şu HBF'ye bir bakalım, bir birleştirelim.
H ile B'yi birleştiriyorum.
B ile F'yi birleştiriyorum.
Sonra da H ile F'yi birleştiriyorum.
Şimdi bakıyorum acaba burası bir dik üçgen mi?
Bana cosinüs a'yı sormuş da dik üçgenin içerisinde mi?
Rahatlıkla bulabiliyor muyum?
Şimdi ben bu dikliği gördüm de siz gördünüz mü dostlar?
Şimdi şuradaki açının geniş olduğuna aldanmayın.
Geniş olmayabilir, üç boyutlu düşünüyoruz dostlar artık iki boyutlu düşünüp böyle sayfa düzlemine şurada yukarıdan bakıp hocam burası geniştir diye düşünmeyelim.
Artık düzlemsel, farklı, düzlemsel düşüncelerimiz gelişmesi lazım.
Şimdi burada konular kısmında da göstermiştim.
Şurayı tamamlıyorum, dostlar, H ve D'yi birleştirdim.
D ve B'yi birleştirdim.
Sizin bu içeride oluşturduğunuz düzlem şöyle sarı ile göstereyim.
Bu oluşturduğunuz düzlem bir dikdörtgensel şekildedir.
Dikdörtgen şeklin benim için önemi ne derseniz, dostlar dikdörtgenin önemi neydi?
Dikdörtgen neydi?
Karşılıklı kenar uzunlukları eşit, karşılıklı kenarları paralel ve her bir iç açısı 90 derece idi.
O zaman şu gördüğünüz açı 90 dır.
Şu gördüğünüz açı 90 dır.
Bakın geniş gibi görünebilir ama 90.
Bu açı dar gibi görünebilir ama 90 derece.
Şurada gördüğünüz bu açı geniş gibi görülebilir.
90.
Burada gördüğünüz açı dar gibi görünebilir ama hayır öyle değil.
90 derece dostlar tamam mı?
Bunu şuraya tekrar göstereyim.
Konular kısmında da dikkat çekmek istemiştim.
Buraya rastgele bir tane küp çiziyorum.
Tamam çizdim.
Hatta şu iç kısımlarında gösterelim.
Burada aldığınız düzlemlerin şekline dikkat etmenizi istemiştim.
Mesela şöyle bir düzlemsel kesit aldığınız zaman şurada gördüğünüz düzlem bir dikdörtgensel şekil belirtmekte idi.
Şu düzlemden bahsediyorum.
Bana ne demeyiniz?
Çünkü buranın 90 derece olduğu görülmeyebilir.
Ama siz buranın oluşturacağı şeklin dikdörtgen olduğunu bildikten sonra bu açının 90 derece olduğunu bilirsiniz.
Yani şurası verilmeseydi siz şöyle bir üçgen içerisinde işte bu çizdiğim şu açının 90 derece olduğunu bilecektiniz dostlar, İşte önemi burada.
Ve buraya baktığınız zaman da siz artık HBF üçgenin de F köşesinin 90 derece olduğunu biliyorsunuz.
Yani A aslında HBF üçgeni içerisinde yani bir dik üçgen içerisinde yer almakta.
Yani siz aslında HBF üçgenini çizerseniz bakın h, b, f.
Şimdi nerenin f olduğunu bilmeliyim dik köşeye f harfini getirmeliyiö.
Yani buraya f yazmalıyım.
Diğer taraflar H ve B.
Burası dik açım.
Nerede HBF.
Yani burada a'yı buraya koydum.
Şimdi artık neyi bulmam lazım?
Kenar uzunlukları yazmam lazım.
Şimdi küpe dair herhangi bir kenar uzunluğu belirtmiş mi?
Vermemiş o zaman x diyerek başlayın bir kenara.
X dedim.
Kenar uzunluğu x olsun, küpün ayrıt uzunluğu diyelim.
Ayrıt uzunluğu x olsun.
Şimdi burada BD uzunluğu dediğim karenin ortasında alt taban kare olduğu için şöyle gösterelim.
Karenin ortasında köşegen değil midir?
B ve d ve tepeden baktığınız düşünün dostlar a, b, c, d buna tepeden şöyle bir bakış atıyorsunuz tamam mı?
Alt yüzde göreceğiniz şekil nedir?
Bir karedir.
Küpten bahsediyoruz.
Küp ise alt tarafta kare oluştu.
Tamam, B ve D'yi birleştirirsek bir köşegen oluşturdu.
Ben bir ayrıta X dedim.
O zaman BD dediğimi nasıl hesaplarım?
x kök 2.
BD dediğim nerede?
Dostlar BD dediğim üst taraftaki HF ediyor dostlar.
Bakın şurada bir ayrıt uzunluğu gibi düşünmeyin bunu.
Bakın bir ayrıt uzunluğunun kök iki katı.
Şöyle şu açının 90 derece olduğunu görürsek.
x Burası.
x Burası.
HF dediğim uzunluk.
x Kök iki ya da BD dediğim uzunluk x kök iki.
Şuraya x Kök 2'yi yazdık.
Tamam ne kaldı dostlar?
HB.
HB'yi bulabilir miyim şimdi?
BF dediğim şey bir ayrıt uzunluğu.
Burası kolay.
HF'yi bulabilir miyim?
HB'yi bulabilir miyim?
Aslında zaten buranın cisim köşegeni olduğunu görüyorum.
B ve H'yi birleştirdiği için cisim köşegenidir.
Küpte cisim köşegeni neydi?
Kök 3 çarpı kenar uzunluğuydu.
Ayrıt uzunluğu kök 3 çarpı x.
Yani x kök 3 sizin cisim köşegeniniz.
Yani B ve H'yi birleştiren uzunluğunuz eder.
Siz burada artık dik bir üçgen içerisine koydunuz mu bu şeklinizi, bir açınızı?
Evet, o zaman cosinüs a'yı hesaplayabilirsiniz.
Cosinüs a nedir?
Dik üçgen içerisinde komşu dik kenar yani x bölü hipotenüs yani x kök 3.
Yani bir bölü kök 3 ya da kök üç bölü üçtür dostlar.
