Merhabalar arkadaşlar, örneğimize bakalım.
Bir A kümesi verilmiş içinde a, b, c, d, e elemanları var.
Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde ilk olarak a elemanı bulunur?
Bu şekilde bir sorumuz var.
Şimdi normalde özel bir şart olmasa biz bunun alt kümelerinin sayısının 2 üzeri 5'ten 32 tane olduğunu söyleriz ve bunların da nasıl oluşturulduğunu zaten tabloda göstermiştik bundan önceki videomuzda.
Tamam şimdi özel bir şartımız var bu alt kümelerde a elemanının bulunmasını istiyoruz.
O zaman bu alt kümelerde a elemanının bulunmasını istiyorsak yani şunu kesin olarak alacaksak geriye dört tane eleman kalır.
O zaman demek ki bu dört tane elemanın alt küme sayısını bulursak biz demek ki oluşturduğumuz kümelerin içinde kesinlikle a elemanının olduğunu söylemiş oluruz.
Yani toplamda 16 tanesinde vardır.
Şimdi aslında a elemanının bulunmaz olan kısmını ise iki farklı şekilde yapabiliriz.
Birincisi şöyle, a elemanı bulunmaz diyorsa o zaman demek ki ilk olarak bunu yok ederim.
Şimdi bunu yok ettikten sonra geriye yine dört tane eleman kaldı.
Bunun alt kümelerini bulursak iş bitmiş demektir.
O zaman demek ki toplamda 16 tane olur bu veya nasıl olur?
a elemanının bulunmasını burada 16 olarak bulmuştuk.
E tamamı da 32'ydi.
Tamamından bunları çıkartırsak bulunmayanlar da kalacaktır.
Bu şekilde de bunu söyleyebiliriz.
C'ye bakalım.
"a elemanı bulunur, d elemanı bulunmaz" diyor.
Şimdi d elemanını hiç istemiyoruz yani d elemanını burada yok edelim, görmeyelim onu.
a elemanının da bulunmasını istiyoruz, onu da aldık.
Geriye kaç tane eleman kaldı?
b, c ve e olacak şekilde üç tane kaldı.
O zaman demek ki bunlarla isteğimizi yerine getirmiş oluruz.
Peki d, "a ve d elemanları birlikte bulunur" diyor.
Tamam a ve d elemanlarını birlikte bulunmasını istiyorum.
İkisini de aldım ve geriye bir iki üç tane eleman kaldı.
Ve bu üç tane elemanla o zaman ben alt kümeler oluşturursam iş bitmiş demektir yani 8'e ulaşırız yine aynı şekilde.
"a veya d elemanları bulunur" demiş.
Şimdi bu birazcık daha zor gibi gözüküyor çünkü ihtimaller fazla yani a bulunabilir, d bulunabilir, a ve d bulunabilir yani buradaki alt kümelerinin sayısı fazla zaten.
Şimdi bunu üç farklı şekilde incelemek yerine şöyle yapalım: Tamamından a ve d'nin bulunmadıklarını çıkartalım.
Çünkü a ve d'nin bulunmadıklarını çıkartırsak geriye kalanlarda bu isteğimiz gerçekleşmiş olur.
Yani şöyle a ve d'nin peki bulunmadıkları kaç?
Şimdi a ve d'nin bulunmadıklarını istiyorsak biz a ve d'yi yok ederiz, ikisini de yok ettik kaldı üç tane eleman.
2 üzeri 3'ten normalde 8 tanesinde a ve d elemanları bulunmaz.
E tamamı da 32 tane.
32 tanesinden bu sekiz tanesini çıkartırsak geriye a veya d elemanları bulunan alt kümeler kalır yani toplamda 24 tane kalmış olur burada.
Diğer bir örneğimiz.
A kümesi verilmiş, B kümesi verilmiş.
"Buna göre A alt küme K alt küme B koşulu sağlayan kaç tane K kümesi vardır?
" diyor.
Şimdi A alt küme K ve alt küme B istiyorsak o zaman demek ki K kümesinde kesinlikle şuradaki 1, 2 ve 3 elemanları bulunmak zorundadır çünkü bunlar a elemanında vardır.
O zaman 1, 2, 3'ü ben artık bunu yerleştirdim yani K kümesine koydum.
Peki, bundan sonra da yanına elemanlar da gelebilir ya da bu şekilde de kalabilir.
Yani buradan sonra biz bu kümeyi kapattığımızda da aslında bu şartı sağlatabiliyoruz.
Peki nasıl yaparız?
Şimdi B'nin de alt kümesi olması lazım.
O zaman demek ki B'nin elemanlarından oluşması lazım.
Zaten yaparız?
Bu beş tane elemanla alt kümeler oluştursak k'nın içine de bunları yerleştirmiş oluruz yani demek ki 2 üzeri 5'ten toplamda biz 32 tane burada K kümesi yazabiliriz.
Diğer bir örneğimiz.
A kümesi verilmiş alt kümesinde en az bir çift sayı bulunur?
" diyor.
Yani en az bir çift sayı demek içinde bir çift sayı olabilir, iki çift sayı olabilir, üç çift sayı olabilir bu şekilde artarak gidebilir.
Peki şimdi bunun içindeki biz bir çift sayıları belirleyelim, kaç tane var?
Çift sayıları ben yazmak istiyorum buraya.
0, 2 yazalım bunun içinde bulunan.
1, 3 ve 5.
Şimdi diyorum ki bir ilk önce hiçbir şart olmadan kaç tane alt kümesi olduğunu bulalım.
Kaç tane alt kümesi olduğunu bulmak için ne yaparız?
Eleman sayısı burada yedi tane toplamda deriz ki 2 üzeri 7'den burada 128 tane alt kümesi vardır, herhangi bir şart yok burada bütün hepsi burada.
Şimdi en az bir çift demek işi zorlaştırır çünkü bir çift olabilir, ikisi olabilir, üçü olabilir dördü olabilir.
Bunlarla oluşturulan alt kümeleri incelemek uzun sürer.
O yüzden biz şöyle yapalım: Hiç içinde çift sayı bulunmayan alt kümeleri bulalım yani sadece şunlardan oluşan alt kümeleri bulalım ve daha sonra tamamından çıkartalım.
Biz tamamından hiç içinde çift sayı bulunmayan alt kümelerinin sayısının çıkartırsak geriye o zaman en az bir tane çift sayı bulunan alt kümeleri elde etmiş oluruz.
Bunlarla oluşturacağım alt küme sayısı ne kadardır?
3 tane eleman olduğu için 2 üzeri 3'ten 8 tanedir.
E ne yapalım 128 den 8'i burada çıkartalım.
Çıkartırsak söylemiş oluruz.
Evet son örneğimiz.
A ve B birer küme olmak üzere s(A) - 1 s(B) demiş.
Eleman sayıları hakkında burada bir eşitlik var.
A kümesinin alt kümelerinin sayısıyla B kümesinin alt kümelerinin sayısının toplamı 24 olduğuna göre s(B) değeri kaçtır yani B kümesinin eleman sayısını soruyor.
Şimdi biz o zaman buradaki eşitlikten şöyle yapalım diyelim ki B'nin eleman sayısını zaten soruyor.
Sorduğuna değişken verelim.
Yani bunun eleman sayısı n tane olsun yani şurada not almış olalım.
s(B) eşittir n olsun.
O zaman demek ki buradan s(A)'nın ne olduğunu söyleriz?
Eksi 1'i bu tarafa aldığımda n artı 1 olur değil mi eleman sayısı?
O zaman bunun da eleman sayısının n artı kümelerinden gitmek istiyoruz o zaman A'nın alt kümelerinin sayısı nasıl bulunur?
İki üzeri n artı bir ile bulunur.
Eleman sayısını yukarı yazdım, artı toplama diyor çünkü B kümesinin alt kümelerinin sayısı.
O da 2 üzeri n ile bulunur ve bunları topladığımda ne oluyormuş?
24 oluyormuş, o zaman demek ki buradaki soruyu artık işlemleri yaparak bitirebiliriz.
Şimdi şuraya 2 üzeri n çarpı 2 üzeri 1 diye ayırdım.
Burası zaten 2 üzeri n olarak duruyor.
bunları, çarpı burada 2 kaldı burada 1 kaldı toplarsan 3 oluyor.
Burası 24 yapmış oldu.
O zaman demek ki ne olacak?
Her tarafı O zaman 2 üzeri n eşittir 8 ise 2'nin kaçıncı kuvveti 8?
3.
kuvveti.
O zaman n burada 3 olduğunu söyleriz.
B'nin eleman sayısını soruyordu.
Biz zaten B'nin eleman sayısına n dedik.
Demek ki bunun eleman sayısını
Bir A kümesi verilmiş içinde a, b, c, d, e elemanları var.
Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde ilk olarak a elemanı bulunur?
Bu şekilde bir sorumuz var.
Şimdi normalde özel bir şart olmasa biz bunun alt kümelerinin sayısının 2 üzeri 5'ten 32 tane olduğunu söyleriz ve bunların da nasıl oluşturulduğunu zaten tabloda göstermiştik bundan önceki videomuzda.
Tamam şimdi özel bir şartımız var bu alt kümelerde a elemanının bulunmasını istiyoruz.
O zaman bu alt kümelerde a elemanının bulunmasını istiyorsak yani şunu kesin olarak alacaksak geriye dört tane eleman kalır.
O zaman demek ki bu dört tane elemanın alt küme sayısını bulursak biz demek ki oluşturduğumuz kümelerin içinde kesinlikle a elemanının olduğunu söylemiş oluruz.
Yani toplamda 16 tanesinde vardır.
Şimdi aslında a elemanının bulunmaz olan kısmını ise iki farklı şekilde yapabiliriz.
Birincisi şöyle, a elemanı bulunmaz diyorsa o zaman demek ki ilk olarak bunu yok ederim.
Şimdi bunu yok ettikten sonra geriye yine dört tane eleman kaldı.
Bunun alt kümelerini bulursak iş bitmiş demektir.
O zaman demek ki toplamda 16 tane olur bu veya nasıl olur?
a elemanının bulunmasını burada 16 olarak bulmuştuk.
E tamamı da 32'ydi.
Tamamından bunları çıkartırsak bulunmayanlar da kalacaktır.
Bu şekilde de bunu söyleyebiliriz.
C'ye bakalım.
"a elemanı bulunur, d elemanı bulunmaz" diyor.
Şimdi d elemanını hiç istemiyoruz yani d elemanını burada yok edelim, görmeyelim onu.
a elemanının da bulunmasını istiyoruz, onu da aldık.
Geriye kaç tane eleman kaldı?
b, c ve e olacak şekilde üç tane kaldı.
O zaman demek ki bunlarla isteğimizi yerine getirmiş oluruz.
Peki d, "a ve d elemanları birlikte bulunur" diyor.
Tamam a ve d elemanlarını birlikte bulunmasını istiyorum.
İkisini de aldım ve geriye bir iki üç tane eleman kaldı.
Ve bu üç tane elemanla o zaman ben alt kümeler oluşturursam iş bitmiş demektir yani 8'e ulaşırız yine aynı şekilde.
"a veya d elemanları bulunur" demiş.
Şimdi bu birazcık daha zor gibi gözüküyor çünkü ihtimaller fazla yani a bulunabilir, d bulunabilir, a ve d bulunabilir yani buradaki alt kümelerinin sayısı fazla zaten.
Şimdi bunu üç farklı şekilde incelemek yerine şöyle yapalım: Tamamından a ve d'nin bulunmadıklarını çıkartalım.
Çünkü a ve d'nin bulunmadıklarını çıkartırsak geriye kalanlarda bu isteğimiz gerçekleşmiş olur.
Yani şöyle a ve d'nin peki bulunmadıkları kaç?
Şimdi a ve d'nin bulunmadıklarını istiyorsak biz a ve d'yi yok ederiz, ikisini de yok ettik kaldı üç tane eleman.
2 üzeri 3'ten normalde 8 tanesinde a ve d elemanları bulunmaz.
E tamamı da 32 tane.
32 tanesinden bu sekiz tanesini çıkartırsak geriye a veya d elemanları bulunan alt kümeler kalır yani toplamda 24 tane kalmış olur burada.
Diğer bir örneğimiz.
A kümesi verilmiş, B kümesi verilmiş.
"Buna göre A alt küme K alt küme B koşulu sağlayan kaç tane K kümesi vardır?
" diyor.
Şimdi A alt küme K ve alt küme B istiyorsak o zaman demek ki K kümesinde kesinlikle şuradaki 1, 2 ve 3 elemanları bulunmak zorundadır çünkü bunlar a elemanında vardır.
O zaman 1, 2, 3'ü ben artık bunu yerleştirdim yani K kümesine koydum.
Peki, bundan sonra da yanına elemanlar da gelebilir ya da bu şekilde de kalabilir.
Yani buradan sonra biz bu kümeyi kapattığımızda da aslında bu şartı sağlatabiliyoruz.
Peki nasıl yaparız?
Şimdi B'nin de alt kümesi olması lazım.
O zaman demek ki B'nin elemanlarından oluşması lazım.
Zaten yaparız?
Bu beş tane elemanla alt kümeler oluştursak k'nın içine de bunları yerleştirmiş oluruz yani demek ki 2 üzeri 5'ten toplamda biz 32 tane burada K kümesi yazabiliriz.
Diğer bir örneğimiz.
A kümesi verilmiş alt kümesinde en az bir çift sayı bulunur?
" diyor.
Yani en az bir çift sayı demek içinde bir çift sayı olabilir, iki çift sayı olabilir, üç çift sayı olabilir bu şekilde artarak gidebilir.
Peki şimdi bunun içindeki biz bir çift sayıları belirleyelim, kaç tane var?
Çift sayıları ben yazmak istiyorum buraya.
0, 2 yazalım bunun içinde bulunan.
1, 3 ve 5.
Şimdi diyorum ki bir ilk önce hiçbir şart olmadan kaç tane alt kümesi olduğunu bulalım.
Kaç tane alt kümesi olduğunu bulmak için ne yaparız?
Eleman sayısı burada yedi tane toplamda deriz ki 2 üzeri 7'den burada 128 tane alt kümesi vardır, herhangi bir şart yok burada bütün hepsi burada.
Şimdi en az bir çift demek işi zorlaştırır çünkü bir çift olabilir, ikisi olabilir, üçü olabilir dördü olabilir.
Bunlarla oluşturulan alt kümeleri incelemek uzun sürer.
O yüzden biz şöyle yapalım: Hiç içinde çift sayı bulunmayan alt kümeleri bulalım yani sadece şunlardan oluşan alt kümeleri bulalım ve daha sonra tamamından çıkartalım.
Biz tamamından hiç içinde çift sayı bulunmayan alt kümelerinin sayısının çıkartırsak geriye o zaman en az bir tane çift sayı bulunan alt kümeleri elde etmiş oluruz.
Bunlarla oluşturacağım alt küme sayısı ne kadardır?
3 tane eleman olduğu için 2 üzeri 3'ten 8 tanedir.
E ne yapalım 128 den 8'i burada çıkartalım.
Çıkartırsak söylemiş oluruz.
Evet son örneğimiz.
A ve B birer küme olmak üzere s(A) - 1 s(B) demiş.
Eleman sayıları hakkında burada bir eşitlik var.
A kümesinin alt kümelerinin sayısıyla B kümesinin alt kümelerinin sayısının toplamı 24 olduğuna göre s(B) değeri kaçtır yani B kümesinin eleman sayısını soruyor.
Şimdi biz o zaman buradaki eşitlikten şöyle yapalım diyelim ki B'nin eleman sayısını zaten soruyor.
Sorduğuna değişken verelim.
Yani bunun eleman sayısı n tane olsun yani şurada not almış olalım.
s(B) eşittir n olsun.
O zaman demek ki buradan s(A)'nın ne olduğunu söyleriz?
Eksi 1'i bu tarafa aldığımda n artı 1 olur değil mi eleman sayısı?
O zaman bunun da eleman sayısının n artı kümelerinden gitmek istiyoruz o zaman A'nın alt kümelerinin sayısı nasıl bulunur?
İki üzeri n artı bir ile bulunur.
Eleman sayısını yukarı yazdım, artı toplama diyor çünkü B kümesinin alt kümelerinin sayısı.
O da 2 üzeri n ile bulunur ve bunları topladığımda ne oluyormuş?
24 oluyormuş, o zaman demek ki buradaki soruyu artık işlemleri yaparak bitirebiliriz.
Şimdi şuraya 2 üzeri n çarpı 2 üzeri 1 diye ayırdım.
Burası zaten 2 üzeri n olarak duruyor.
bunları, çarpı burada 2 kaldı burada 1 kaldı toplarsan 3 oluyor.
Burası 24 yapmış oldu.
O zaman demek ki ne olacak?
Her tarafı O zaman 2 üzeri n eşittir 8 ise 2'nin kaçıncı kuvveti 8?
3.
kuvveti.
O zaman n burada 3 olduğunu söyleriz.
B'nin eleman sayısını soruyordu.
Biz zaten B'nin eleman sayısına n dedik.
Demek ki bunun eleman sayısını
