Merhabalar arkadaşlar, şimdi son örneklerimizi çözelim alt küme kavramı ile alakalı.
Şimdi bu örneğimizde A boş kümeden farklı bir küme ve A, B'nin alt kümesidir diyor.
Burada bir eşitlik var.
Beş tane A'nın eleman sayısı artı iki tane B'nin eleman sayısı eşittir 20 diyor.
Olduğuna göre B'nin eleman sayısı ile A'nın eleman sayısının çarpımı sonucu kaçtır?
Şimdi ilk önce buraya baktığımızda aslında hani karışık işlemler var gibi.
Şimdi ilk önce şuralara bir bakalım.
A boş kümeden farklı ve A, B'nin alt kümesi.
O zaman demek ki şunları söyleyebiliriz: A boş kümeden farklıysa eleman sayısı sıfır olamaz.
Buradan bunu söyleyebiliriz çünkü burada eleman sayısını sıfır yaparak da bu eşitliği sağlatabiliriz.
Bunun önüne geçiyor.
A'nın eleman sayısı sıfırdan farklı.
Şuradaki ise diyor ki: A, B'nin alt kümesidir.
Yani aslında burada şunu söylemeye çalışıyor A'nın eleman sayısını B'nin eleman sayısının üstüne çıkartamazsın.
Çünkü çıkartabildiğin eşitlik de var burada.
Mesela burada A'nın eleman sayısına 4 dersek burada ya sıfır dersek bu eşitlik yine sağlar ama bu bunun da önüne geçiyor.
Peki bu şartları sağlayan şu iki şartı da sağlayan hangi sayılar olabilir burada?
Tek bir şart var ona göre yazıldı soru.
Şimdi nasıl yapabiliriz?
A'ya burada mesela eleman sayısına 1 desek çıktığında 15 kalır ki 2'nin bir katı değil dikkat edersek.
O zaman A'nın eleman sayısına 2 demek istiyorum ben.
2 dersem burada 5 ile B'nin eleman sayısı eşittir 20'den 10'u da buraya aldığımda 2 çarpı B'nin eleman sayısı burada 10 kalır ki B'nin eleman sayısını da bakınız burada 5 buluyoruz.
E şimdi sıkıntı var mı diye bakalım şimdi A'nın eleman sayısı 2 B'nin eleman sayısı 5.
Evet bu ihtimal olabilir çünkü A B'nin alt kümesi ise eleman sayıları zaten bu şekilde bir büyüklük küçüklük mevzusu olması lazım.
Bu sağlıyor.
Peki başka sağlayan var mı burada?
A'nın eleman sayısına 3 derseniz çıktığında 5 kalır.
Burası zaten sağlamıyor buraya zaten en son ihtimal 4 verebiliyorsunuz ki o da zaten olmaz, burayı çünkü sıfır yapamayız.
B'nin eleman sayısı A'dan fazla olmalı çünkü A, B'nin alt kümesi.
O zaman demek ki tek şart bu şekilde oluyor yani A'nın eleman sayısı 2 B'nin eleman sayısı 5.
O zaman demek ki yerlerine yazarsak 2 ile 5'i burada çarpacağız Bir K kümesi verilmiş.
a, b, c, x, y, z elemanları var.
"Buna göre K kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a veya x elemanı bulunur?
" diyor.
Bu tarz bir soruyu tekrardan koyduk şimdi a veya x elemanının bulunması nasıl gerçekleşiyordu?
a olabilir, x olabilir, a ve x.
İkisi aynı anda bulunabilir alt kümelerde.
O zaman demek ki ne yapalım?
Bu uzun işlem olduğu için biz tamamından a ve x'in bulunmadıklarını çıkartıyorduk.
Şimdi a ve x'in bulunmadıkları bir alt kümelerini buluşturalım.
Bulunmadıkları Nasıl yaparız?
a'yı ve x'i buradaki kümeden yok ettiğimizde geriye kalanların alt kümelerinden biz bunun sonucunu bulmuş oluruz.
1, 2, 3, 4 tane eleman var O zaman dört tane eleman alt kümelerinin sayısıyla biz buradaki a ve x'in bulunmadıklarını söylemiş oluruz, yani 16 tane.
Ee burada bir de tamamını bulalım, kaç tane eleman var burada?
6 tane eleman var ve altı tane elemanla toplamda 256 tane alt küme oluşacaktır yani toplamda bulunmadıklarını çıkarttığımızda sonuca ulaşmış oluyoruz.
64'ten 16'yı çıkartırsak -64'ten 16'yı çıkartıyorum- burada 48 cevabı gelmiş olur.
Peki, son sorumuz.
A eşittir 4, 5, 6.
Bu 4, 5, 6 elemanları var A kümesinin içinde.
Bu kümenin tüm alt kümelerindeki elemanların toplamı kaçtır?
Şimdi bunun kısa bir yöntemi de var ama biz uzun çözelim ki hem burada alt kümeyi de tekrar etmiş oluruz.
Şimdi bunun ben tüm alt kümelerini oluşturmak istiyorum, elemanlarını bu şekilde toplayacağım.
Tüm alt kümelerini oluştursam ilk önce boş küme var, daha sonra 4'ü içeren bir küme, daha sonra 5'i içeren, daha sonra 6'yı içeren, daha sonra artık ikililer yani 4 ve 5'i içeren, daha sonra 4 ve 6'yı içeren, daha sonra 5 ve mesela 4 sayısı burada şimdi hepsini toplayacağımız için 4lerden kaç tane var?
1, 2, 3, 4.
Yani burada 4 tane 4 elemanı var bunların toplamları 4 kere 4 şekilde gelecektir.
Daha sonra tane var, burada 1, 2, 3, 4.
Yani aynı şekilde buradakileri topladığımızda sonuç olarak neye ulaşmış oluyoruz 16, 20, 4 kere 6'dan 24.
Yani aslında bunların toplamlarından farklı bir yöntemi var.
O da şöyle şimdi bunun alt kümelerinin sayısı nasıl bulunuyor normalde?
İki üzeri 3'ten bulunuyor.
İşte bunun kısa yönteminde bunun üstünü 1 azaltıyoruz.
Yani 3 tane eleman varsa bir tanesini azalttık.
Toplamda nunun cevabı ne geldi?
2'nin karesinden 4 geldi.
Bakınız şimdi buradaki 4'leri bulmuş olduk aslında.
Ve ne yapıyoruz?
Buradaki elemanları topluyoruz.
burada bulduğumuz 4'ü çarparsak yine aynı şekilde buradaki cevap olarak 60'a ulaşmış oluruz, bu da ikinci bir yöntem olarak verilmiş olur.
Şimdi bu örneğimizde A boş kümeden farklı bir küme ve A, B'nin alt kümesidir diyor.
Burada bir eşitlik var.
Beş tane A'nın eleman sayısı artı iki tane B'nin eleman sayısı eşittir 20 diyor.
Olduğuna göre B'nin eleman sayısı ile A'nın eleman sayısının çarpımı sonucu kaçtır?
Şimdi ilk önce buraya baktığımızda aslında hani karışık işlemler var gibi.
Şimdi ilk önce şuralara bir bakalım.
A boş kümeden farklı ve A, B'nin alt kümesi.
O zaman demek ki şunları söyleyebiliriz: A boş kümeden farklıysa eleman sayısı sıfır olamaz.
Buradan bunu söyleyebiliriz çünkü burada eleman sayısını sıfır yaparak da bu eşitliği sağlatabiliriz.
Bunun önüne geçiyor.
A'nın eleman sayısı sıfırdan farklı.
Şuradaki ise diyor ki: A, B'nin alt kümesidir.
Yani aslında burada şunu söylemeye çalışıyor A'nın eleman sayısını B'nin eleman sayısının üstüne çıkartamazsın.
Çünkü çıkartabildiğin eşitlik de var burada.
Mesela burada A'nın eleman sayısına 4 dersek burada ya sıfır dersek bu eşitlik yine sağlar ama bu bunun da önüne geçiyor.
Peki bu şartları sağlayan şu iki şartı da sağlayan hangi sayılar olabilir burada?
Tek bir şart var ona göre yazıldı soru.
Şimdi nasıl yapabiliriz?
A'ya burada mesela eleman sayısına 1 desek çıktığında 15 kalır ki 2'nin bir katı değil dikkat edersek.
O zaman A'nın eleman sayısına 2 demek istiyorum ben.
2 dersem burada 5 ile B'nin eleman sayısı eşittir 20'den 10'u da buraya aldığımda 2 çarpı B'nin eleman sayısı burada 10 kalır ki B'nin eleman sayısını da bakınız burada 5 buluyoruz.
E şimdi sıkıntı var mı diye bakalım şimdi A'nın eleman sayısı 2 B'nin eleman sayısı 5.
Evet bu ihtimal olabilir çünkü A B'nin alt kümesi ise eleman sayıları zaten bu şekilde bir büyüklük küçüklük mevzusu olması lazım.
Bu sağlıyor.
Peki başka sağlayan var mı burada?
A'nın eleman sayısına 3 derseniz çıktığında 5 kalır.
Burası zaten sağlamıyor buraya zaten en son ihtimal 4 verebiliyorsunuz ki o da zaten olmaz, burayı çünkü sıfır yapamayız.
B'nin eleman sayısı A'dan fazla olmalı çünkü A, B'nin alt kümesi.
O zaman demek ki tek şart bu şekilde oluyor yani A'nın eleman sayısı 2 B'nin eleman sayısı 5.
O zaman demek ki yerlerine yazarsak 2 ile 5'i burada çarpacağız Bir K kümesi verilmiş.
a, b, c, x, y, z elemanları var.
"Buna göre K kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a veya x elemanı bulunur?
" diyor.
Bu tarz bir soruyu tekrardan koyduk şimdi a veya x elemanının bulunması nasıl gerçekleşiyordu?
a olabilir, x olabilir, a ve x.
İkisi aynı anda bulunabilir alt kümelerde.
O zaman demek ki ne yapalım?
Bu uzun işlem olduğu için biz tamamından a ve x'in bulunmadıklarını çıkartıyorduk.
Şimdi a ve x'in bulunmadıkları bir alt kümelerini buluşturalım.
Bulunmadıkları Nasıl yaparız?
a'yı ve x'i buradaki kümeden yok ettiğimizde geriye kalanların alt kümelerinden biz bunun sonucunu bulmuş oluruz.
1, 2, 3, 4 tane eleman var O zaman dört tane eleman alt kümelerinin sayısıyla biz buradaki a ve x'in bulunmadıklarını söylemiş oluruz, yani 16 tane.
Ee burada bir de tamamını bulalım, kaç tane eleman var burada?
6 tane eleman var ve altı tane elemanla toplamda 256 tane alt küme oluşacaktır yani toplamda bulunmadıklarını çıkarttığımızda sonuca ulaşmış oluyoruz.
64'ten 16'yı çıkartırsak -64'ten 16'yı çıkartıyorum- burada 48 cevabı gelmiş olur.
Peki, son sorumuz.
A eşittir 4, 5, 6.
Bu 4, 5, 6 elemanları var A kümesinin içinde.
Bu kümenin tüm alt kümelerindeki elemanların toplamı kaçtır?
Şimdi bunun kısa bir yöntemi de var ama biz uzun çözelim ki hem burada alt kümeyi de tekrar etmiş oluruz.
Şimdi bunun ben tüm alt kümelerini oluşturmak istiyorum, elemanlarını bu şekilde toplayacağım.
Tüm alt kümelerini oluştursam ilk önce boş küme var, daha sonra 4'ü içeren bir küme, daha sonra 5'i içeren, daha sonra 6'yı içeren, daha sonra artık ikililer yani 4 ve 5'i içeren, daha sonra 4 ve 6'yı içeren, daha sonra 5 ve mesela 4 sayısı burada şimdi hepsini toplayacağımız için 4lerden kaç tane var?
1, 2, 3, 4.
Yani burada 4 tane 4 elemanı var bunların toplamları 4 kere 4 şekilde gelecektir.
Daha sonra tane var, burada 1, 2, 3, 4.
Yani aynı şekilde buradakileri topladığımızda sonuç olarak neye ulaşmış oluyoruz 16, 20, 4 kere 6'dan 24.
Yani aslında bunların toplamlarından farklı bir yöntemi var.
O da şöyle şimdi bunun alt kümelerinin sayısı nasıl bulunuyor normalde?
İki üzeri 3'ten bulunuyor.
İşte bunun kısa yönteminde bunun üstünü 1 azaltıyoruz.
Yani 3 tane eleman varsa bir tanesini azalttık.
Toplamda nunun cevabı ne geldi?
2'nin karesinden 4 geldi.
Bakınız şimdi buradaki 4'leri bulmuş olduk aslında.
Ve ne yapıyoruz?
Buradaki elemanları topluyoruz.
burada bulduğumuz 4'ü çarparsak yine aynı şekilde buradaki cevap olarak 60'a ulaşmış oluruz, bu da ikinci bir yöntem olarak verilmiş olur.
