Evet arkadaşlar, alt kümenin özellikleriyle devam ediyoruz.
İlk özelliğimiz boş küme her kümenin alt kümesidir.
Evet, bunu nasıl gösteririz?
Bir tane boş küme çizeriz bir tane de kümemiz olsun, A kümesi olmuş olsun.
O zaman ne deriz?
Boş küme her kümenin alt kümesi ise o zaman demek ki araya da alt küme sembolü koyarız.
Her küme kendisinin alt kümesidir.
Evet, çünkü biz ne istiyoruz alt küme olmasında?
Tüm elemanların üstündeki kümede de olmasını istiyoruz.
Her küme zaten kendisinin alt kümesi olması çok daha normaldir burada.
O zaman demek ki A kümesi olduğunu söylersek A'nın kendisinin alt kümesi olduğunu bu şekilde göstermiş oluruz.
Diğer bir özelliğimiz A, B, C birer küme olmak üzere burada nasıl yazacağız A eğer B'nin alt kümesi ise ve B de C'nin alt kümesi ise o zaman demek ki biz A'nın C'nin alt kümesi olduğunu söylemiş oluruz.
Bunu Venn şemasıyla göstermek istiyorum Mesela bakınız, iç içe çizildi bunlar.
A, B ve C kümeler, var.
A burada B'nin alt kümesi.
B de burada C'nin alt kümesi.
Bakınız otomatikman A burada C'nin alt kümesi olmuş oluyor yani buradaki geçişlilik özelliğini Venn şemasıyla da göstermiş oluyoruz.
Tekrar edecek olursak boş küme her kümenin alt kümesidir, bunu unutmayacağız.
Her küme kendisinin de alt kümesidir, bunu da unutmamamız gerekiyor.
Şimdi alt küme sayısını bulma ile alakalı burada ilk önce tabloyu dolduracağız, daha sonra buradaki formüllere yazmak istiyorum mesela şimdi A kümesi verilmiş, boş küme.
içinde herhangi bir eleman yok.
O zaman demek ki ki bunun da alt kümelerinde ne olacak?
Sadece boş küme olacaktır.
Alt küme sayısı ne olmuş oldu?
1 olmuş oldu.
Peki şimdi B kümesi a elemanını içeren bir küme.
Demek ki bunun alt kümelerini yazacak olursak boş küme her kümenin alt kümesi olduğu için bir kere boş küme yazılacak.
Daha sonra bir de sadece a olduğu için kendisi de yazılmış olacak.
Hem burada iki tane özelliği de görmüş oluyoruz.
Boş küme her kümenin alt kümesi ve her küme kendisinin alt kümesi oluyor .
Burada da iki tane alt küme olduğunu söylemiş oluyoruz.
Peki 2 eleman olursa o zaman ne olacak?
1 tane boş küme olacak.
Daha sonra ayrı ayrı elemanlarımızın olduğu kümede ne olacak yani a ve b diye bir de en son olarak ne olacak a ve b'nin ikisinin de bulunduğu küme olacak.
E kaç tane olmuş oldu?
Dört tane olmuş oldu.
3 elemanlı olursa şimdi ilk başta boş küme var, daha sonra tek tek elemanlarımız olacak burada küme içerisinde alınmış b daha sonra c.
Daha sonra artık ikili ikili olur mesela a ile b gelir daha sonra b ile c gelir daha sonra a ile c gelir.
Bir de en son olarak onu da şuraya alt tarafına yazmış oluyorum.
En son olarak da kendisini yazmış oluruz yani a b c.
saydığımızda kaç tane oluyor?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Burada 8 tane olduğunu söylemiş oluruz.
Şimdi bakınız bağlantı kurmaya çalışalım hiç eleman yokken alt küme sayısı bir tane, bir tane eleman varken iki tane olmuş oldu.
Yani aslında burada iki üzeri bir göstermiş oluruz, daha sonra iki tane eleman olduğunda dört tane oldu yani bunu ikinin karesi şeklinde yazabiliriz.
Bakınız daha sonra üç tane eleman olduğunda 8 tane alt kümesi oldu o zaman bunu da 2 üzeri 3 şeklinde yazmış olur.
O zaman demek ki eleman sayısı kaç tane ise onu 2'nin üssüne yazıyormuşuz.
Demek ki n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı nasıl göstereceğiz biz?
2 üzeri n ile bulmuş olacağız ve öz alt küme sayısı da buradaki öz alt küme sayısını biz ilk önce bir söyleyelim.
Nedenini de açıklayalım 2 üzeri n eksi 1'dir.
Öz alt kümeden kastımız arkadaşlar sadece kümenin kendisini çıkartıyoruz yani mesela burada a, b, c elemanını içeren D kümesini biz burada çıkarttığımız anda geri kalanlar öz alt küme sayısı ver C için a ile b'yi direkt olarak çıkarttığımız anda geri kalanlar öz alt küme sayısı verir.
O yüzden biz ne yapıyoruz?
Alt küme sayısından sadece 1'i burada çıkartıyoruz.
Peki, örneğimiz.
"6 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı kaçtır?
" diyor.
Formülü öğrendik, formül 2 üzeri n ile bulunacak ve 6 elemanlı olduğu için 2 üzeri 6 olacak bu.
Bu alt küme sayısını verir öz alt küme sayısını da 2 üzeri 6 eksi 1 verecektir bize.
O zaman demek ki bunların toplamını soruyor 2 üzeri 6ların 64 olduğunu biliyoruz.
Daha sonra eksi 1'den burası ne olur?
128 den bir çıkarttığımız takdirde 127 olarak bulunmuş olur.
Diğer bir örneğimiz bir kümenin eleman sayısı 2 arttırıldığında alt küme sayısı 96 artmaktadır.
"Buna göre bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
" diyor.
Şimdi kümenin eleman sayısını bilmiyoruz n elemanlı olmuş olsun, o zaman bunun alt küme sayısı nasıl bulunacak?
2 üzeri n ile bulunacak.
E bunun eleman sayısını 2 arttıralım.
Kümenin eleman sayısı n'di.
O zaman 2 artırırsak ne yapmış oluyoruz?
İki üzeri n artı 2'ye getirmiş oluyoruz toplamda alt küme sayısını.
Eleman sayısı da n artı 2 olmuş oluyor.
E buradan buraya 96 artıyormuş.
O zaman demek ki ne yapacağız?
96 eklediğimiz takdirde en son halini ulaşmış olacağız.
yapalım.
Burayı da 2 üzeri n çarpı 2 üzeri 2 diye ayırıyorum üslü sayıların kuralları gereği.
Daha sonra bu da eksi 2 üzeri n olarak geçmiş oldu.
O zaman demek ki 96 eşittir burada 2'nin karesinden 4 gelecek şurada -1 gelecek.
Daha sonra iki üzeri n burada duruyor.
O zaman demek ki her tarafı 3'e böldüğümüzde burada 32 kalacaktır.
32, 2 üzeri n'e eş ise demek ki burada n'in 5 olduğunu söylemiş oluruz yani demek ki kümenin eleman sayısı 5'tir.
Diğer bir örneğimiz.
A kümesi verilmiş bunu inceleriz.
Bu kümenin alt küme sayısının kaç olduğunu bize soruyor.
Şimdi bakalım kümeyi incelersek x öyle ki diyor x eksi 5 ile 4 aralığında, eksi 5 ile 4 dahil, x 2'nin katı, k'lar da tam sayılardan seçilecek.
Yani şunu yapmaya çalışacağız biz burada.
Eksi 5 ile 4 aralığındaki 2'nin katlarını bulmaya çalışacağız.
o zaman ilk önce A kümesini bir oluşturalım.
A kümesinde neler var?
2'nin katı olan ilk önce en küçüğünü yazacak olursak eksi 5'ten büyük olan eksi 4 vardır.
Daha sonra eksi 2, daha sonra 0, daha sonra dahil.
O zaman demek ki A kümesinin elemanları bunlarmış, bunun alt küme sayısını soruyor O zaman demek ki bize s(A)nın ne olduğunu söylüyoruz.
Eleman sayısının beş tane olduğunu söylüyoruz o zaman demek ki eleman sayısı beş tane ise alt kümesi de 2 üzeri 5 tane olacaktır 2 üzeri 5'in sonucu da
İlk özelliğimiz boş küme her kümenin alt kümesidir.
Evet, bunu nasıl gösteririz?
Bir tane boş küme çizeriz bir tane de kümemiz olsun, A kümesi olmuş olsun.
O zaman ne deriz?
Boş küme her kümenin alt kümesi ise o zaman demek ki araya da alt küme sembolü koyarız.
Her küme kendisinin alt kümesidir.
Evet, çünkü biz ne istiyoruz alt küme olmasında?
Tüm elemanların üstündeki kümede de olmasını istiyoruz.
Her küme zaten kendisinin alt kümesi olması çok daha normaldir burada.
O zaman demek ki A kümesi olduğunu söylersek A'nın kendisinin alt kümesi olduğunu bu şekilde göstermiş oluruz.
Diğer bir özelliğimiz A, B, C birer küme olmak üzere burada nasıl yazacağız A eğer B'nin alt kümesi ise ve B de C'nin alt kümesi ise o zaman demek ki biz A'nın C'nin alt kümesi olduğunu söylemiş oluruz.
Bunu Venn şemasıyla göstermek istiyorum Mesela bakınız, iç içe çizildi bunlar.
A, B ve C kümeler, var.
A burada B'nin alt kümesi.
B de burada C'nin alt kümesi.
Bakınız otomatikman A burada C'nin alt kümesi olmuş oluyor yani buradaki geçişlilik özelliğini Venn şemasıyla da göstermiş oluyoruz.
Tekrar edecek olursak boş küme her kümenin alt kümesidir, bunu unutmayacağız.
Her küme kendisinin de alt kümesidir, bunu da unutmamamız gerekiyor.
Şimdi alt küme sayısını bulma ile alakalı burada ilk önce tabloyu dolduracağız, daha sonra buradaki formüllere yazmak istiyorum mesela şimdi A kümesi verilmiş, boş küme.
içinde herhangi bir eleman yok.
O zaman demek ki ki bunun da alt kümelerinde ne olacak?
Sadece boş küme olacaktır.
Alt küme sayısı ne olmuş oldu?
1 olmuş oldu.
Peki şimdi B kümesi a elemanını içeren bir küme.
Demek ki bunun alt kümelerini yazacak olursak boş küme her kümenin alt kümesi olduğu için bir kere boş küme yazılacak.
Daha sonra bir de sadece a olduğu için kendisi de yazılmış olacak.
Hem burada iki tane özelliği de görmüş oluyoruz.
Boş küme her kümenin alt kümesi ve her küme kendisinin alt kümesi oluyor .
Burada da iki tane alt küme olduğunu söylemiş oluyoruz.
Peki 2 eleman olursa o zaman ne olacak?
1 tane boş küme olacak.
Daha sonra ayrı ayrı elemanlarımızın olduğu kümede ne olacak yani a ve b diye bir de en son olarak ne olacak a ve b'nin ikisinin de bulunduğu küme olacak.
E kaç tane olmuş oldu?
Dört tane olmuş oldu.
3 elemanlı olursa şimdi ilk başta boş küme var, daha sonra tek tek elemanlarımız olacak burada küme içerisinde alınmış b daha sonra c.
Daha sonra artık ikili ikili olur mesela a ile b gelir daha sonra b ile c gelir daha sonra a ile c gelir.
Bir de en son olarak onu da şuraya alt tarafına yazmış oluyorum.
En son olarak da kendisini yazmış oluruz yani a b c.
saydığımızda kaç tane oluyor?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Burada 8 tane olduğunu söylemiş oluruz.
Şimdi bakınız bağlantı kurmaya çalışalım hiç eleman yokken alt küme sayısı bir tane, bir tane eleman varken iki tane olmuş oldu.
Yani aslında burada iki üzeri bir göstermiş oluruz, daha sonra iki tane eleman olduğunda dört tane oldu yani bunu ikinin karesi şeklinde yazabiliriz.
Bakınız daha sonra üç tane eleman olduğunda 8 tane alt kümesi oldu o zaman bunu da 2 üzeri 3 şeklinde yazmış olur.
O zaman demek ki eleman sayısı kaç tane ise onu 2'nin üssüne yazıyormuşuz.
Demek ki n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı nasıl göstereceğiz biz?
2 üzeri n ile bulmuş olacağız ve öz alt küme sayısı da buradaki öz alt küme sayısını biz ilk önce bir söyleyelim.
Nedenini de açıklayalım 2 üzeri n eksi 1'dir.
Öz alt kümeden kastımız arkadaşlar sadece kümenin kendisini çıkartıyoruz yani mesela burada a, b, c elemanını içeren D kümesini biz burada çıkarttığımız anda geri kalanlar öz alt küme sayısı ver C için a ile b'yi direkt olarak çıkarttığımız anda geri kalanlar öz alt küme sayısı verir.
O yüzden biz ne yapıyoruz?
Alt küme sayısından sadece 1'i burada çıkartıyoruz.
Peki, örneğimiz.
"6 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı kaçtır?
" diyor.
Formülü öğrendik, formül 2 üzeri n ile bulunacak ve 6 elemanlı olduğu için 2 üzeri 6 olacak bu.
Bu alt küme sayısını verir öz alt küme sayısını da 2 üzeri 6 eksi 1 verecektir bize.
O zaman demek ki bunların toplamını soruyor 2 üzeri 6ların 64 olduğunu biliyoruz.
Daha sonra eksi 1'den burası ne olur?
128 den bir çıkarttığımız takdirde 127 olarak bulunmuş olur.
Diğer bir örneğimiz bir kümenin eleman sayısı 2 arttırıldığında alt küme sayısı 96 artmaktadır.
"Buna göre bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
" diyor.
Şimdi kümenin eleman sayısını bilmiyoruz n elemanlı olmuş olsun, o zaman bunun alt küme sayısı nasıl bulunacak?
2 üzeri n ile bulunacak.
E bunun eleman sayısını 2 arttıralım.
Kümenin eleman sayısı n'di.
O zaman 2 artırırsak ne yapmış oluyoruz?
İki üzeri n artı 2'ye getirmiş oluyoruz toplamda alt küme sayısını.
Eleman sayısı da n artı 2 olmuş oluyor.
E buradan buraya 96 artıyormuş.
O zaman demek ki ne yapacağız?
96 eklediğimiz takdirde en son halini ulaşmış olacağız.
yapalım.
Burayı da 2 üzeri n çarpı 2 üzeri 2 diye ayırıyorum üslü sayıların kuralları gereği.
Daha sonra bu da eksi 2 üzeri n olarak geçmiş oldu.
O zaman demek ki 96 eşittir burada 2'nin karesinden 4 gelecek şurada -1 gelecek.
Daha sonra iki üzeri n burada duruyor.
O zaman demek ki her tarafı 3'e böldüğümüzde burada 32 kalacaktır.
32, 2 üzeri n'e eş ise demek ki burada n'in 5 olduğunu söylemiş oluruz yani demek ki kümenin eleman sayısı 5'tir.
Diğer bir örneğimiz.
A kümesi verilmiş bunu inceleriz.
Bu kümenin alt küme sayısının kaç olduğunu bize soruyor.
Şimdi bakalım kümeyi incelersek x öyle ki diyor x eksi 5 ile 4 aralığında, eksi 5 ile 4 dahil, x 2'nin katı, k'lar da tam sayılardan seçilecek.
Yani şunu yapmaya çalışacağız biz burada.
Eksi 5 ile 4 aralığındaki 2'nin katlarını bulmaya çalışacağız.
o zaman ilk önce A kümesini bir oluşturalım.
A kümesinde neler var?
2'nin katı olan ilk önce en küçüğünü yazacak olursak eksi 5'ten büyük olan eksi 4 vardır.
Daha sonra eksi 2, daha sonra 0, daha sonra dahil.
O zaman demek ki A kümesinin elemanları bunlarmış, bunun alt küme sayısını soruyor O zaman demek ki bize s(A)nın ne olduğunu söylüyoruz.
Eleman sayısının beş tane olduğunu söylüyoruz o zaman demek ki eleman sayısı beş tane ise alt kümesi de 2 üzeri 5 tane olacaktır 2 üzeri 5'in sonucu da
