Merhabalar arkadaşlar, şimdi küme problemlerini inceleyeceğiz.
Arkadaşlar küme problemleri çözülürken genelde Venn şemaları çizilir.
Biz de o şekilde çizerek daha kolay hale getirmeye çalışacağız.
Şimdi ilk olarak bunlara başlarken yandaki Venn şemasında E yani buradaki dikdörtgen olarak verilen kısım 9 B sınıfındaki öğrencilerin tamamını temsil etsin.
Burada hepsi var F futbol sevenler kümesini, V voleybol sevenler kümesini B de basketbol sevenler kümesini vermiş ve bunun içinde temsil olarak a b c d den h ye kadar giden isimler var.
Genelde bunlara sayılar gelecek ama biz şu anda sadece bunları buradaki örnekleri doldurabilmek için harfler verdik.
Şimdi ilk olarak futbol sevenler, o zaman demek ki sadece futbol sevenlere bakıyorum, bakınız burada içinde neler varsa olacak a b c d.
Biz burada hepsini alırız.
a b c d.
Peki voleybol ve basketbol sevenler, voleybol ve basketbol ikisini ortak olarak sevmesini istiyoruz yani bakınız şu taradığım kısmı istiyoruz.
voleybol ve basketbol da o zaman demek ki orada olan isimler c ve f'dir harfler.
3 sporu da sevenler yani üçünün de tam olarak ortak noktası olacak yani bakınız şurası orada demek ki sadece olduğu için biz buraya c yazabiliriz.
Futbol seven fakat basketbol sevmeyenler futbolu sevecek ama basketbolu sevmeyecek.
O zaman futbol ve basketbol ortak olarak oluşturduğu şuradaki kısmı kapatıyorum ben, burası kapandı buradaki kalanlar artık futbol sevip basketbol sevmeyenler olur yani ne olacak?
Orada a ile d yi biz oluşturmuş olacağız.
a burada d de burada.
En az bir spor dalını sevenler.
Yani bu şunu demeye çalışıyor: Burada üç tane spor dalı var.
En az bir tane dediği için bir tane olabilir iki tane olabilir üç tane olabilir ama hiç sevmeyenler olmayacak değil mi?
O zaman demek ki bu kümede ne yapmalıyız bizim?
Sadece h yi almamamız lazım çünkü geri kalanı en az bir tane spor dalını sevenler olacaktır.
O zaman oraya da ben neleri yazacağım?
a b c d e f ve g yazacağım ki buradaki h dışarıda kalacak çünkü bunlar bunlardan harici olarak dışarıda kalanlar.
Şimdi gelelim örneklerimizi inceleyelim.
Şimdi birinci örneğimiz, futbol ve basketbol oynayanların oluşturduğu 24 kişilik bir grupta 16 kişi futbol, 12 kişi basketbol oynamaktadır.
Buna göre bu grupta hem futbol hem de basketbol oynayan kaç kişi vardır?
Şimdi ilk önce kümlerimiz gelsin geldi.
Şimdi ben diyorum ki sol taraftaki futbol oynayanlar olsun sağ taraftaki de basketbol oynayanlar olsun.
Şimdi bunları direkt olarak yerleştiremem yani 16 kişi buraya direkt olarak yerleştiremem.
Çünkü burada kesişim de var harici olarak sadece futbolu oynayanlar da var o yüzden direkt olarak yazmıyorum buradaki sayıları.
O yüzden ne yapıyorum ben diyorum ki hem futbol hem de basketbol oynayan kaç kişi var dediği için ben buraya x kişi olsun diyorum.
Peki buraya x kişi koyarsam toplamda 16 kişi futbol oynuyorsa demek ki burasıyla beraber komple 16 olması gerektiği için şuraya yani sadece futbol oynayanlara 16 eksi x kişi kalacaktır.
Bu sayıyı ifade ediyor.
Basketbol oynayan da burada ne kadar kişi var?
12 kişi var.
Basketbol oynayanların x'i buradaysa demek ki geri kalan 12 eksi x'i de buraya kalır.
Bunların hepsini topladığımızda ne yapacağız biz?
Tüm kişi sayısını elde edeceğiz yani 24 edeceğiz ve toplarsak bakınız eksi x artı x burada gitti 16 ile 12 yi toplarsak topladığımızda 24 olması gerekiyormuş.
O zaman x'in burada biz 4 olduğunu karar veririz.
Bu grupta hem futbol hem basketbol oynayan kaç kişi var dedi.
Biz tam olarak orada kişi sayısına x dediğimiz için cevabı 4 olarak bulmuş olduk.
Evet şimdi bu örneğimize bakalım, 36 kişilik bir sınıfta herkes beden eğitimi dersini sevmektedir.
Bu sınıfta müzik dersini sevmeyen 11 kişi Matematik dersini sevmeyen 23 kişi ve bu üç dersi de seven 6 kişi olduğuna göre sadece beden eğitimi dersini seven kaç kişi vardır diye bize sormuş.
Bakınız arkadaşlar sevenlerden ve sevmeyenlerden bahsediyoruz o zaman durum birazcık karışık ama biz sevenler üstünden gideceğiz yani şöyle kümelerimiz gelsin, şimdi tabii 2 küme de yetmeyecek bize burada 3.
kümeyi de ben bunun dışına çizmek istiyorum Bu durumu da açıklayacağım.
Diyorum ki arkadaşlar müzik dersini sevenler var ve matematik dersini sevenler var o zaman müzik dersini sevenler buradaki sarı Venn şemasıyla gösterilmiş olsun.
Burada daha sonra arkadaşlar mavi olanda matematik dersi olsun ona da ben K demek istiyorum çünkü M dersem müzikle karışacak ve arkadaşlar bakınız bunlar sevenler kümesi olduğu için herkes beden eğitimi dersini sevdiğinden dolayı ben buradaki moru en dışarı çizmeliyim ki bunların hepsini kapsasın Sınıfta yazdığımız bu 36 kişinin hepsi beden eğitimi dersini seviyor onları da ben buraya koymak istiyorum.
Şimdi arkadaşlar burada şunu söyleyebiliriz yani sayıları doldururken bu üç dersi de seven 6 kişi varmış yani 6 kişi arkadaşlar tam olarak bu ortaya gelecek bakınız, müziği sevdi matematiği sevdi otomatikman beden eğitimini de sevmiş oldu.
Daha sonra arkadaşlar diğerlerini bilmiyorum.
Diğerlerini de artık değişken yazmak istiyorum.
Buraya a yazdım buraya b yazdım ve buraya da c yazdım.
Arkadaşlar c burada sadece beden eğitimi dersini sevenlerdir.
Bakınız zaten bize sorulan da o.
Yani biz arkadaşlar c'yi bulacağız.
Peki buradaki a ile b ne arkadaşlar?
a burada müzik dersi ve beden eğitimi dersini seven, b de matematik ve beden eğitimi dersini sevenlerdir.
Şimdi arkadaşlar bu sınıfta toplamda 36 kişi var.
O zaman demek ki buradakilerin hepsini topladığımda 36'yı elde etmeliyim.
O zaman ben diyorum ki a artı b artı c artı 6 36 ise o zaman demek ki 6'yı karşıya attığımızda a artı b artı c 30 olduğunu söyleriz.
Daha sonra müzik dersini sevmeyen 11 kişi var, o zaman demek ki arkadaşlar müzik dersini sevenlerin üstünü kapattığımızda bakın şöyle sarıyı kapsayan hepsini kapattığımızda geriye kalan buradaki b artı c müzik dersini sevmeyenlerdir.
Onu direkt olarak bunun altına yazıyorum yani b artı c nin 11 olduğunu söylüyorum.
Daha sonra bir tane daha var Matematik dersini sevmeyen de 23 kişi varmış.
Bakınız Matematik dersini sevenlerin üstünü kapattığımızda artık sevmeyenler kalacaktır.
O zaman demek ki a ile c nin burada toplamları da arkadaşlar kaçmış 23 müş.
Şimdi bize buradan c lazım.
O zaman arkadaşlar bakınız burada b artı c nin 11 olduğunu biliyoruz burada da b artı c var.
O zaman demek ki direkt olarak onun yerine yazalım.
Yani şunu yapmak istiyorum ben a artı 11 bakınız b artı c nin yerine 11 yazdım eşittir buradan 30 dedim O zaman demek ki ne yapacağım 11'i de karşıya aldığımda a yı buradan 19 olarak bulmuş olacağım.
Bakınız a yı 19 bulduktan sonra zaten c yi bulabiliyoruz.
O zaman yerine yazıyorum bakınız 19 artı c eşittir eğer burada eğitimi dersini sevenler bakınız burada örneğimiz 40 kişilik bir otobüste bütün koltuklar doludur.
İkram saatinde 28 kişi çay almıştır, 14 kişi kek almıştır, çay ve kek alan kişi sayısı çay veya kek almayan kişi sayısının 2 katıdır.
Buna göre sadece çay alan kaç kişi vardır diye sormuş.
O zaman kümelerimiz bir ilk önce gelsin buraya.
Ben diyorum ki çay alanlar ç ile gösterilsin, kek alanlar da k ile gösterilsin.
Şimdi bu ilk ikisiyle başlayamam çünkü ortak kesişimleri de var.
Sıkıntı yaşarız o yüzden çay ve kek alan kişi sayısı çay veya kek almayan kişi sayısının iki katıdır diyorsa demek ki çay veya kek almayanlar dışardaysa yani sonuçta olmayanlar da olabilir bir otobüste hiçbir şey almayanlar onları da biz burada x ile gösterecek olursak demek ki bunun iki katı ikisini de alanlar olacak yani burası olacak 2x.
Peki ki artık 28 eksi 2x'i buraya kalacak ki 14 eksi 2x'i de buraya kalacak.
Peki burada gördüğümüz tüm x li ifadeleri topladığımızda şurada ilk önce yazarak toplamak istiyorum.
Eksi 2x artı 2x daha sonra 14 eksi 2x.
Daha sonra artı x.
Bu 40 ı veriyormuş daha sonra toplayacak olursak 28 ile 14'ü direkt toplayalım 42 şu eksi 2x ile artı 2x gitti.
Eksi x ile de artı x'i toplarsam eksi x kaldı eşittir 40.
O zaman demek ki buradan bakınız x in 2 geldiğini görürüz.
Peki sadece çay alan kaç kişi vardır diyor.
Bakınız sadece çay alan kişi sayısı 28 eski 2x'tir.
O zaman demek ki ne yapacağız?
28 eksi 2 çarpı x'in yerine de 2 koyacak olursak 28'den 4 çıkarttığımız takdirde biz burada 24 kişinin sadece çay aldığını söyleriz.
Arkadaşlar küme problemleri çözülürken genelde Venn şemaları çizilir.
Biz de o şekilde çizerek daha kolay hale getirmeye çalışacağız.
Şimdi ilk olarak bunlara başlarken yandaki Venn şemasında E yani buradaki dikdörtgen olarak verilen kısım 9 B sınıfındaki öğrencilerin tamamını temsil etsin.
Burada hepsi var F futbol sevenler kümesini, V voleybol sevenler kümesini B de basketbol sevenler kümesini vermiş ve bunun içinde temsil olarak a b c d den h ye kadar giden isimler var.
Genelde bunlara sayılar gelecek ama biz şu anda sadece bunları buradaki örnekleri doldurabilmek için harfler verdik.
Şimdi ilk olarak futbol sevenler, o zaman demek ki sadece futbol sevenlere bakıyorum, bakınız burada içinde neler varsa olacak a b c d.
Biz burada hepsini alırız.
a b c d.
Peki voleybol ve basketbol sevenler, voleybol ve basketbol ikisini ortak olarak sevmesini istiyoruz yani bakınız şu taradığım kısmı istiyoruz.
voleybol ve basketbol da o zaman demek ki orada olan isimler c ve f'dir harfler.
3 sporu da sevenler yani üçünün de tam olarak ortak noktası olacak yani bakınız şurası orada demek ki sadece olduğu için biz buraya c yazabiliriz.
Futbol seven fakat basketbol sevmeyenler futbolu sevecek ama basketbolu sevmeyecek.
O zaman futbol ve basketbol ortak olarak oluşturduğu şuradaki kısmı kapatıyorum ben, burası kapandı buradaki kalanlar artık futbol sevip basketbol sevmeyenler olur yani ne olacak?
Orada a ile d yi biz oluşturmuş olacağız.
a burada d de burada.
En az bir spor dalını sevenler.
Yani bu şunu demeye çalışıyor: Burada üç tane spor dalı var.
En az bir tane dediği için bir tane olabilir iki tane olabilir üç tane olabilir ama hiç sevmeyenler olmayacak değil mi?
O zaman demek ki bu kümede ne yapmalıyız bizim?
Sadece h yi almamamız lazım çünkü geri kalanı en az bir tane spor dalını sevenler olacaktır.
O zaman oraya da ben neleri yazacağım?
a b c d e f ve g yazacağım ki buradaki h dışarıda kalacak çünkü bunlar bunlardan harici olarak dışarıda kalanlar.
Şimdi gelelim örneklerimizi inceleyelim.
Şimdi birinci örneğimiz, futbol ve basketbol oynayanların oluşturduğu 24 kişilik bir grupta 16 kişi futbol, 12 kişi basketbol oynamaktadır.
Buna göre bu grupta hem futbol hem de basketbol oynayan kaç kişi vardır?
Şimdi ilk önce kümlerimiz gelsin geldi.
Şimdi ben diyorum ki sol taraftaki futbol oynayanlar olsun sağ taraftaki de basketbol oynayanlar olsun.
Şimdi bunları direkt olarak yerleştiremem yani 16 kişi buraya direkt olarak yerleştiremem.
Çünkü burada kesişim de var harici olarak sadece futbolu oynayanlar da var o yüzden direkt olarak yazmıyorum buradaki sayıları.
O yüzden ne yapıyorum ben diyorum ki hem futbol hem de basketbol oynayan kaç kişi var dediği için ben buraya x kişi olsun diyorum.
Peki buraya x kişi koyarsam toplamda 16 kişi futbol oynuyorsa demek ki burasıyla beraber komple 16 olması gerektiği için şuraya yani sadece futbol oynayanlara 16 eksi x kişi kalacaktır.
Bu sayıyı ifade ediyor.
Basketbol oynayan da burada ne kadar kişi var?
12 kişi var.
Basketbol oynayanların x'i buradaysa demek ki geri kalan 12 eksi x'i de buraya kalır.
Bunların hepsini topladığımızda ne yapacağız biz?
Tüm kişi sayısını elde edeceğiz yani 24 edeceğiz ve toplarsak bakınız eksi x artı x burada gitti 16 ile 12 yi toplarsak topladığımızda 24 olması gerekiyormuş.
O zaman x'in burada biz 4 olduğunu karar veririz.
Bu grupta hem futbol hem basketbol oynayan kaç kişi var dedi.
Biz tam olarak orada kişi sayısına x dediğimiz için cevabı 4 olarak bulmuş olduk.
Evet şimdi bu örneğimize bakalım, 36 kişilik bir sınıfta herkes beden eğitimi dersini sevmektedir.
Bu sınıfta müzik dersini sevmeyen 11 kişi Matematik dersini sevmeyen 23 kişi ve bu üç dersi de seven 6 kişi olduğuna göre sadece beden eğitimi dersini seven kaç kişi vardır diye bize sormuş.
Bakınız arkadaşlar sevenlerden ve sevmeyenlerden bahsediyoruz o zaman durum birazcık karışık ama biz sevenler üstünden gideceğiz yani şöyle kümelerimiz gelsin, şimdi tabii 2 küme de yetmeyecek bize burada 3.
kümeyi de ben bunun dışına çizmek istiyorum Bu durumu da açıklayacağım.
Diyorum ki arkadaşlar müzik dersini sevenler var ve matematik dersini sevenler var o zaman müzik dersini sevenler buradaki sarı Venn şemasıyla gösterilmiş olsun.
Burada daha sonra arkadaşlar mavi olanda matematik dersi olsun ona da ben K demek istiyorum çünkü M dersem müzikle karışacak ve arkadaşlar bakınız bunlar sevenler kümesi olduğu için herkes beden eğitimi dersini sevdiğinden dolayı ben buradaki moru en dışarı çizmeliyim ki bunların hepsini kapsasın Sınıfta yazdığımız bu 36 kişinin hepsi beden eğitimi dersini seviyor onları da ben buraya koymak istiyorum.
Şimdi arkadaşlar burada şunu söyleyebiliriz yani sayıları doldururken bu üç dersi de seven 6 kişi varmış yani 6 kişi arkadaşlar tam olarak bu ortaya gelecek bakınız, müziği sevdi matematiği sevdi otomatikman beden eğitimini de sevmiş oldu.
Daha sonra arkadaşlar diğerlerini bilmiyorum.
Diğerlerini de artık değişken yazmak istiyorum.
Buraya a yazdım buraya b yazdım ve buraya da c yazdım.
Arkadaşlar c burada sadece beden eğitimi dersini sevenlerdir.
Bakınız zaten bize sorulan da o.
Yani biz arkadaşlar c'yi bulacağız.
Peki buradaki a ile b ne arkadaşlar?
a burada müzik dersi ve beden eğitimi dersini seven, b de matematik ve beden eğitimi dersini sevenlerdir.
Şimdi arkadaşlar bu sınıfta toplamda 36 kişi var.
O zaman demek ki buradakilerin hepsini topladığımda 36'yı elde etmeliyim.
O zaman ben diyorum ki a artı b artı c artı 6 36 ise o zaman demek ki 6'yı karşıya attığımızda a artı b artı c 30 olduğunu söyleriz.
Daha sonra müzik dersini sevmeyen 11 kişi var, o zaman demek ki arkadaşlar müzik dersini sevenlerin üstünü kapattığımızda bakın şöyle sarıyı kapsayan hepsini kapattığımızda geriye kalan buradaki b artı c müzik dersini sevmeyenlerdir.
Onu direkt olarak bunun altına yazıyorum yani b artı c nin 11 olduğunu söylüyorum.
Daha sonra bir tane daha var Matematik dersini sevmeyen de 23 kişi varmış.
Bakınız Matematik dersini sevenlerin üstünü kapattığımızda artık sevmeyenler kalacaktır.
O zaman demek ki a ile c nin burada toplamları da arkadaşlar kaçmış 23 müş.
Şimdi bize buradan c lazım.
O zaman arkadaşlar bakınız burada b artı c nin 11 olduğunu biliyoruz burada da b artı c var.
O zaman demek ki direkt olarak onun yerine yazalım.
Yani şunu yapmak istiyorum ben a artı 11 bakınız b artı c nin yerine 11 yazdım eşittir buradan 30 dedim O zaman demek ki ne yapacağım 11'i de karşıya aldığımda a yı buradan 19 olarak bulmuş olacağım.
Bakınız a yı 19 bulduktan sonra zaten c yi bulabiliyoruz.
O zaman yerine yazıyorum bakınız 19 artı c eşittir eğer burada eğitimi dersini sevenler bakınız burada örneğimiz 40 kişilik bir otobüste bütün koltuklar doludur.
İkram saatinde 28 kişi çay almıştır, 14 kişi kek almıştır, çay ve kek alan kişi sayısı çay veya kek almayan kişi sayısının 2 katıdır.
Buna göre sadece çay alan kaç kişi vardır diye sormuş.
O zaman kümelerimiz bir ilk önce gelsin buraya.
Ben diyorum ki çay alanlar ç ile gösterilsin, kek alanlar da k ile gösterilsin.
Şimdi bu ilk ikisiyle başlayamam çünkü ortak kesişimleri de var.
Sıkıntı yaşarız o yüzden çay ve kek alan kişi sayısı çay veya kek almayan kişi sayısının iki katıdır diyorsa demek ki çay veya kek almayanlar dışardaysa yani sonuçta olmayanlar da olabilir bir otobüste hiçbir şey almayanlar onları da biz burada x ile gösterecek olursak demek ki bunun iki katı ikisini de alanlar olacak yani burası olacak 2x.
Peki ki artık 28 eksi 2x'i buraya kalacak ki 14 eksi 2x'i de buraya kalacak.
Peki burada gördüğümüz tüm x li ifadeleri topladığımızda şurada ilk önce yazarak toplamak istiyorum.
Eksi 2x artı 2x daha sonra 14 eksi 2x.
Daha sonra artı x.
Bu 40 ı veriyormuş daha sonra toplayacak olursak 28 ile 14'ü direkt toplayalım 42 şu eksi 2x ile artı 2x gitti.
Eksi x ile de artı x'i toplarsam eksi x kaldı eşittir 40.
O zaman demek ki buradan bakınız x in 2 geldiğini görürüz.
Peki sadece çay alan kaç kişi vardır diyor.
Bakınız sadece çay alan kişi sayısı 28 eski 2x'tir.
O zaman demek ki ne yapacağız?
28 eksi 2 çarpı x'in yerine de 2 koyacak olursak 28'den 4 çıkarttığımız takdirde biz burada 24 kişinin sadece çay aldığını söyleriz.
