Merhabalar arkadaşlar, şimdi birleşim ve kesişim kümelerinin özellikleri inceleyeceğiz.
İlk olarak tek kuvvet özelliği.
İlk olarak kesişimi inceleyecek olursak A kesişim A nasıl yazılır?
x elemandır A ve x elemandır A.
Ne yapıyoruz?
İkisini de A'dan alıyoruz o zaman demek ki x elemandır A şeklimiz bunu tek düşünebiliriz.
O zaman ne olacak sonuç olarak?
x'ler öyle ki A'nın kümesinden oluşuyormuş.
O zaman demek ki biz buraya direkt olarak A'yı yazabiliriz.
A birleşim A, burada x elemandır A veya x elemandır A aynı olduğu için teke düşürebiliriz, teke düşürdüğümüz için en sonda yine tekrardan A olduğunu söylemiş oluruz.
Tek kuvvet özelliği.
Peki değişme özelliği A kesişim B'yi nasıl yazarız?
x'ler öyle ki x elemandır A ve x elemandır B, bunların yerlerini değiştirelim.
x elemandır B ve x elemandır A olur, sonuçta aynı şey.
Bir şey değişmiyor.
O zaman demek ki sonuç olarak B kesişim A'yı elde etmiş oluruz ki kesişimin değişme özelliği vardır.
Birleşime bakalım, A birleşim B, x'ler öyle ki x elemandır A veya x elemandır B.
Yine yerlerini değiştirelim x elemandır B veya x elemandır A olur ki hiçbir şey değişmez.
O zaman demek ki biz burada birleşimin de yine değişmez özelliği olduğunu söyleriz ve A birleşim B, B birleşim A'ya dönmüş olur.
Peki, birleşme özelliği.
Birleşme özelliğinde tek sembol olur arkadaşlar yani kesişim varsa kesişim olacak, birleşim varsa birleşim olacak.
Bu bazen dağılma özelliği ile karıştırılıyor, dağılma özelliğinde iki tane sembol olması gerekir farklı olarak ama birleşmede bir tane olacak.
Şimdi birleşme özelliğinde A kesişim parantez içinde B kesişim C var.
O zaman biz bunu da yine aynı şekilde ortak özellik yöntemi ile yazacak olursak x elemandır A ve parantez içine x elemandır B ve x elemandır C.
Buradaki parantezlerle oynarsak eğer sonuç olarak en son burayı elde etmiş oluruz.
Ee biz ne yapmış oluruz o zaman?
Burada da parantezlerin yerini oynatmış oluyoruz.
En son olarak da A kesişim B kesişim C'yi elde etmiş oluyoruz.
Yani parantezin yerini değiştirmiş olduk burada.
Birleşmede de aynı şey yapacak bu, bir şey değişmez.
A birleşim B birleşim C parantez içinde ise o zaman parantezin yerini değiştirdiğimizde A birleşim B birleşim C haline gelmiş olur.
Buralarda çok fazla zaman kaybetmek istemiyorum.
Peki, dağılma özelliği.
A kesişim B birleşim C.
İlk olarak kesişimin birleşim üstüne dağılmasını göreceğiz.
Şimdi İlk önce bunu ortak özellik yöntemi ile x elemandır A ve x elemandır B veya x elemandır C'yi tekrardan parantez içine yazdık.
Buradaki işlemler devam edecek.
Buradaki işlemler çok uzun olduğu için yazmadım yani bu sayfayı kaplıyor.
Yine öncekiler gibi ilerleyen bir süreci var ve en son olarak biz ne yapmış oluyoruz dağılma özelliğinde?
Aşina olduğumuz bir durum.
A kesişim B birleşim A kesişim C yazacağız yani tek tek dağıtmış olacağız.
İlk önce kesişimi B'ye de atmış olduk, daha sonra kapattık burada birleşim olduğu için birleşme açtık, daha sonra A kesişim C.
En sonunda burada bitirmiş olduk.
Tabii bu soldan dağılma olarak geçer bir de sağdan dağılma var ki sağdan dağılma da benzerdir.
Sağdan dağılmayı da direkt olarak sonucunu yazacak olursak yani bakınız bu sefer kesişim C sağdan dağılacak yani şu şekilde dağıldığını söylemiş olacağız.
O zaman ne olur A kesişim C birleşip birleşim A kesişim C.
Buraya yanlış yazmışız, burası B kesişim C olacak burası olmuş olacak burada.
Peki, birleşimin kesişime dağılması yine aynı şeyler geçerli.
Buradaki gösterim metodu da aynıdır.
O zaman biz buradan dağıtmaya başlayalım bunu.
Ne olur?
A birleşim B olur, daha sonra burada kesişim olduğu için kesişimi koyacağım, daha sonra A birleşim C olacak.
Bu şekilde dağıtmış olduk bu tabi soldan dağılma, sağdan dağılma yine benzerdir ve sağdan dağılmanın direkt olarak sonucunu yazdık.
Sağdan dağılmadan kastım buradaki birleşim C'nin bu taraftan dağılmasıdır ve dağıttığımda A birleşim C gelecek.
Daha sonra burada kesişim olduğu için kesişim ve B birleşim C olarak burada sonuçlanmış olacak.
Peki, birkaç özelliğimiz daha var burada.
Mesela A ile yani herhangi bir kümeyle boş kümeyi kesiştiriyoruz.
Boş kümede herhangi bir eleman yok ama A'da elemanlar olabilir.
Kesiştirdiğimizde herhangi bir kesişimleri gelmeyecektir.
Herhangi bir kesişimlerin gelmemesine biz boş küme ile ifade ederiz.
Peki a ile boş kümeyi birleştiriyoruz.
Boş kümede hiçbir şey yok ama A'da elemanlar var, birleşim hepsini aldığı için o zaman demek ki bu ne yapacak?
A'da ne varsa onu bize önümüze getirecektir.
Peki boş kümeyle boş kümeyi kesiştiriyoruz.
Hiçbir şey olmadığı için sonucunda da yine hiçbir şey gelmeyecektir.
Boş küme ile boş kümeyi birleştiriyoruz.
Burada da yine aynı şekilde hiçbir şey olmadığı için birleştirdiğimizde hiçbir şey gelmeyecektir.
Peki A ve B gibi herhangi iki küme için A birleşim B'nin eleman sayısını bulmaya çalışıyoruz.
Bunun ilk önce formülünü vereyim, daha sonra burada şemaları getirerek anlatacağım.
Bunun formülü normalde şöyle bulunur: İlk önce A'nın eleman sayısıyla B'nin eleman sayısını toplarız, daha sonra kesişimlerinde bulunan eleman sayısını bir kere çıkartırız.
Sebebi hemen burada getirdim.
Bakınız şimdi A kümesi var B kümesi var.
Bunlar ikisini de biz sayarken ne yapıyoruz?
A'yı komple şu şekilde alıyoruz, burayı komple alıyoruz.
E tamam daha sonra B'yi alırken de buraya komple alıyoruz.
Bakınız dikkat ettiyseniz A kesişim B olan şuradaki kısmın üstünden iki kere geçtim.
İki kere geçtiğim için ben buradaki toplamı bozmuş oldum.
O zaman demek ki bir kere çıkartayım ki dengelenmiş olsun.
O yüzden biz burada A ile B'nin eleman sayısını topluyoruz ve eğer kesişimleri varsa kesişimlerini de çıkartıyoruz.
Tabii burada kesişimleri olmak zorunda değil.
Kesişimleri olmadığında da biz ne yaparız?
s(A kesişim B)'nin sıfır olduğunu söyleriz ve direkt olarak zaten A ile B'nin eleman sayılarını topladığımızda sonuca ulaşmış oluruz.
Peki, örnekler.
A, B, C kümeleri verilmiş.
A kesişim B, A kesişim C ve burada sorduğu A kesişim B birleşim C var.
Şimdi dikkat edersek sanki bunu dağıtmış yani dağılma özelliğini sormuş gibi, ben bunu dağıtıyorum o zaman.
Nasıl dağılır?
A kesişim B daha sonra birleşim A kesişim C şeklinde dağılmış olur.
Biz burada buradaki kümeleri bir yazalım A kesişim B burada verilmiş yani 4, 5, 6 olarak daha sonra birleşimde ne var burada?
A kesişim C, o da 6, 7, 8.
Şimdi bakıyoruz burada hepsini almak istiyor birleşim kümesi.
Hepsini alırsak o zaman demek ki ne yapacağız?
alındı bir daha yazmaya gerek yok.
Daha sonra sonuca ulaşırız.
Daha sonra bu örneğimiz.
Ne yapmış?
Burada karışık durumlar var.
Bu ifadenin en sade halini soruyor.
O zaman parantez içlerinden başlamak istiyorum.
İlk olarak A kesişim A, tek kuvvet özelliğinden ne gelecektir?
Yine A'yı getirecektir bize.
Şöyle açmış olalım.
Burası A geldi.
Daha sonra birleşim var.
A ile boş kümeyi birleştir diyor.
A'da ne varsa o gelecektir çünkü boş kümeden hiçbir şey gelmez.
Daha sonra A ile A'yı birleştiriyoruz, tek kuvvet özelliği, yine sadece A'da ne varsa o gelecektir.
tekrardan A ile A'yı kesiştirirsek de burada yine tek kuvvet özelliğinden A gelecektir.
Peki, son örneğimiz.
A ve B birer küme olmak üzere A'nın eleman sayısı B'nin eleman sayısının B'nin eleman sayısını çıkart diyor, bunun sonucunu soruyor.
Peki biz ne yaparız ilk önce?
B'nin eleman sayısına burada x diyecek olursak x tane elemanı varsa bunun 3x elemanının olduğunu söylerim.
Peki A birleşim B'nin eleman sayısını nasıl buluyorduk?
A birleşim B'nin eleman sayısı eşittir A ile B'yi ayrı ayrı topla ve kesişimlerinde olan bu 4'ü bir kere çıkart.
Bunu kümeyle de göstermiştim.
O zaman eşitlik gereği buradaki x'i çözersek soru bitecektir.
Ne olacak?
Burada 4x eksi 4 gelecek Eksi 4'ü aldığımda 24 eşittir 4x'ten her tarafı burada 4'e bölecek olursak burada yerine 6 koyacak olursak 18 olarak buluruz.
B'nin eleman sayısı da zaten 6 olacaktır O zaman 18'den 6'yı çıkartırsak cevabımızı burada 12 olarak bulmuş oluruz.
İlk olarak tek kuvvet özelliği.
İlk olarak kesişimi inceleyecek olursak A kesişim A nasıl yazılır?
x elemandır A ve x elemandır A.
Ne yapıyoruz?
İkisini de A'dan alıyoruz o zaman demek ki x elemandır A şeklimiz bunu tek düşünebiliriz.
O zaman ne olacak sonuç olarak?
x'ler öyle ki A'nın kümesinden oluşuyormuş.
O zaman demek ki biz buraya direkt olarak A'yı yazabiliriz.
A birleşim A, burada x elemandır A veya x elemandır A aynı olduğu için teke düşürebiliriz, teke düşürdüğümüz için en sonda yine tekrardan A olduğunu söylemiş oluruz.
Tek kuvvet özelliği.
Peki değişme özelliği A kesişim B'yi nasıl yazarız?
x'ler öyle ki x elemandır A ve x elemandır B, bunların yerlerini değiştirelim.
x elemandır B ve x elemandır A olur, sonuçta aynı şey.
Bir şey değişmiyor.
O zaman demek ki sonuç olarak B kesişim A'yı elde etmiş oluruz ki kesişimin değişme özelliği vardır.
Birleşime bakalım, A birleşim B, x'ler öyle ki x elemandır A veya x elemandır B.
Yine yerlerini değiştirelim x elemandır B veya x elemandır A olur ki hiçbir şey değişmez.
O zaman demek ki biz burada birleşimin de yine değişmez özelliği olduğunu söyleriz ve A birleşim B, B birleşim A'ya dönmüş olur.
Peki, birleşme özelliği.
Birleşme özelliğinde tek sembol olur arkadaşlar yani kesişim varsa kesişim olacak, birleşim varsa birleşim olacak.
Bu bazen dağılma özelliği ile karıştırılıyor, dağılma özelliğinde iki tane sembol olması gerekir farklı olarak ama birleşmede bir tane olacak.
Şimdi birleşme özelliğinde A kesişim parantez içinde B kesişim C var.
O zaman biz bunu da yine aynı şekilde ortak özellik yöntemi ile yazacak olursak x elemandır A ve parantez içine x elemandır B ve x elemandır C.
Buradaki parantezlerle oynarsak eğer sonuç olarak en son burayı elde etmiş oluruz.
Ee biz ne yapmış oluruz o zaman?
Burada da parantezlerin yerini oynatmış oluyoruz.
En son olarak da A kesişim B kesişim C'yi elde etmiş oluyoruz.
Yani parantezin yerini değiştirmiş olduk burada.
Birleşmede de aynı şey yapacak bu, bir şey değişmez.
A birleşim B birleşim C parantez içinde ise o zaman parantezin yerini değiştirdiğimizde A birleşim B birleşim C haline gelmiş olur.
Buralarda çok fazla zaman kaybetmek istemiyorum.
Peki, dağılma özelliği.
A kesişim B birleşim C.
İlk olarak kesişimin birleşim üstüne dağılmasını göreceğiz.
Şimdi İlk önce bunu ortak özellik yöntemi ile x elemandır A ve x elemandır B veya x elemandır C'yi tekrardan parantez içine yazdık.
Buradaki işlemler devam edecek.
Buradaki işlemler çok uzun olduğu için yazmadım yani bu sayfayı kaplıyor.
Yine öncekiler gibi ilerleyen bir süreci var ve en son olarak biz ne yapmış oluyoruz dağılma özelliğinde?
Aşina olduğumuz bir durum.
A kesişim B birleşim A kesişim C yazacağız yani tek tek dağıtmış olacağız.
İlk önce kesişimi B'ye de atmış olduk, daha sonra kapattık burada birleşim olduğu için birleşme açtık, daha sonra A kesişim C.
En sonunda burada bitirmiş olduk.
Tabii bu soldan dağılma olarak geçer bir de sağdan dağılma var ki sağdan dağılma da benzerdir.
Sağdan dağılmayı da direkt olarak sonucunu yazacak olursak yani bakınız bu sefer kesişim C sağdan dağılacak yani şu şekilde dağıldığını söylemiş olacağız.
O zaman ne olur A kesişim C birleşip birleşim A kesişim C.
Buraya yanlış yazmışız, burası B kesişim C olacak burası olmuş olacak burada.
Peki, birleşimin kesişime dağılması yine aynı şeyler geçerli.
Buradaki gösterim metodu da aynıdır.
O zaman biz buradan dağıtmaya başlayalım bunu.
Ne olur?
A birleşim B olur, daha sonra burada kesişim olduğu için kesişimi koyacağım, daha sonra A birleşim C olacak.
Bu şekilde dağıtmış olduk bu tabi soldan dağılma, sağdan dağılma yine benzerdir ve sağdan dağılmanın direkt olarak sonucunu yazdık.
Sağdan dağılmadan kastım buradaki birleşim C'nin bu taraftan dağılmasıdır ve dağıttığımda A birleşim C gelecek.
Daha sonra burada kesişim olduğu için kesişim ve B birleşim C olarak burada sonuçlanmış olacak.
Peki, birkaç özelliğimiz daha var burada.
Mesela A ile yani herhangi bir kümeyle boş kümeyi kesiştiriyoruz.
Boş kümede herhangi bir eleman yok ama A'da elemanlar olabilir.
Kesiştirdiğimizde herhangi bir kesişimleri gelmeyecektir.
Herhangi bir kesişimlerin gelmemesine biz boş küme ile ifade ederiz.
Peki a ile boş kümeyi birleştiriyoruz.
Boş kümede hiçbir şey yok ama A'da elemanlar var, birleşim hepsini aldığı için o zaman demek ki bu ne yapacak?
A'da ne varsa onu bize önümüze getirecektir.
Peki boş kümeyle boş kümeyi kesiştiriyoruz.
Hiçbir şey olmadığı için sonucunda da yine hiçbir şey gelmeyecektir.
Boş küme ile boş kümeyi birleştiriyoruz.
Burada da yine aynı şekilde hiçbir şey olmadığı için birleştirdiğimizde hiçbir şey gelmeyecektir.
Peki A ve B gibi herhangi iki küme için A birleşim B'nin eleman sayısını bulmaya çalışıyoruz.
Bunun ilk önce formülünü vereyim, daha sonra burada şemaları getirerek anlatacağım.
Bunun formülü normalde şöyle bulunur: İlk önce A'nın eleman sayısıyla B'nin eleman sayısını toplarız, daha sonra kesişimlerinde bulunan eleman sayısını bir kere çıkartırız.
Sebebi hemen burada getirdim.
Bakınız şimdi A kümesi var B kümesi var.
Bunlar ikisini de biz sayarken ne yapıyoruz?
A'yı komple şu şekilde alıyoruz, burayı komple alıyoruz.
E tamam daha sonra B'yi alırken de buraya komple alıyoruz.
Bakınız dikkat ettiyseniz A kesişim B olan şuradaki kısmın üstünden iki kere geçtim.
İki kere geçtiğim için ben buradaki toplamı bozmuş oldum.
O zaman demek ki bir kere çıkartayım ki dengelenmiş olsun.
O yüzden biz burada A ile B'nin eleman sayısını topluyoruz ve eğer kesişimleri varsa kesişimlerini de çıkartıyoruz.
Tabii burada kesişimleri olmak zorunda değil.
Kesişimleri olmadığında da biz ne yaparız?
s(A kesişim B)'nin sıfır olduğunu söyleriz ve direkt olarak zaten A ile B'nin eleman sayılarını topladığımızda sonuca ulaşmış oluruz.
Peki, örnekler.
A, B, C kümeleri verilmiş.
A kesişim B, A kesişim C ve burada sorduğu A kesişim B birleşim C var.
Şimdi dikkat edersek sanki bunu dağıtmış yani dağılma özelliğini sormuş gibi, ben bunu dağıtıyorum o zaman.
Nasıl dağılır?
A kesişim B daha sonra birleşim A kesişim C şeklinde dağılmış olur.
Biz burada buradaki kümeleri bir yazalım A kesişim B burada verilmiş yani 4, 5, 6 olarak daha sonra birleşimde ne var burada?
A kesişim C, o da 6, 7, 8.
Şimdi bakıyoruz burada hepsini almak istiyor birleşim kümesi.
Hepsini alırsak o zaman demek ki ne yapacağız?
alındı bir daha yazmaya gerek yok.
Daha sonra sonuca ulaşırız.
Daha sonra bu örneğimiz.
Ne yapmış?
Burada karışık durumlar var.
Bu ifadenin en sade halini soruyor.
O zaman parantez içlerinden başlamak istiyorum.
İlk olarak A kesişim A, tek kuvvet özelliğinden ne gelecektir?
Yine A'yı getirecektir bize.
Şöyle açmış olalım.
Burası A geldi.
Daha sonra birleşim var.
A ile boş kümeyi birleştir diyor.
A'da ne varsa o gelecektir çünkü boş kümeden hiçbir şey gelmez.
Daha sonra A ile A'yı birleştiriyoruz, tek kuvvet özelliği, yine sadece A'da ne varsa o gelecektir.
tekrardan A ile A'yı kesiştirirsek de burada yine tek kuvvet özelliğinden A gelecektir.
Peki, son örneğimiz.
A ve B birer küme olmak üzere A'nın eleman sayısı B'nin eleman sayısının B'nin eleman sayısını çıkart diyor, bunun sonucunu soruyor.
Peki biz ne yaparız ilk önce?
B'nin eleman sayısına burada x diyecek olursak x tane elemanı varsa bunun 3x elemanının olduğunu söylerim.
Peki A birleşim B'nin eleman sayısını nasıl buluyorduk?
A birleşim B'nin eleman sayısı eşittir A ile B'yi ayrı ayrı topla ve kesişimlerinde olan bu 4'ü bir kere çıkart.
Bunu kümeyle de göstermiştim.
O zaman eşitlik gereği buradaki x'i çözersek soru bitecektir.
Ne olacak?
Burada 4x eksi 4 gelecek Eksi 4'ü aldığımda 24 eşittir 4x'ten her tarafı burada 4'e bölecek olursak burada yerine 6 koyacak olursak 18 olarak buluruz.
B'nin eleman sayısı da zaten 6 olacaktır O zaman 18'den 6'yı çıkartırsak cevabımızı burada 12 olarak bulmuş oluruz.
