Merhabalar arkadaşlar, şimdi kesişim ve birleşim ile alakalı birazcık daha ayrıntıya inmek istiyorum.
Mesela şimdi biz kümeleri hep ne yapıyorduk?
Bir kesişimleri oluyordu ve yan yana çiziyorduk ama şimdi hep böyle olmak zorunda değil.
Ne olur?
Mesela alt küme şeklinde verebilir bu şekilde iç içe veya hiç alakaları olmaz bu şekilde de gelebilirler o zaman bunlarda ne yapacağız, bunları inceleyelim.
Şimdi mesela A burada B'nin alt kümesi çünkü A, B'nin içine çizilmiş.
Peki A, B'nin alt kümesi ise bunu illa çizmek zorunda değil matematiksel olarak da yazıp sorabilir.
O zaman A birleşim B ne olacak?
Birleşim dediği için bunların ikisinin tümünden oluşacak ve tümünden oluşacaksa B burada daha kapsamlı.
Demek ki ne yapacak?
B bunun tamamını dolduracaktır.
Yani birleşim soruluyor ise demek ki dışarıdaki alınmalıdır.
Peki kesişim sorulursa A yine B'nin alt kümesi.
Kesişim sorulduğunda ne olacak?
Ortak olan elemanlar olacak.
Ortak olan elemanları da sadece burada A kısıtlayacaktır.
O zaman demek ki burada sadece A'nın içini alacağız.
Demek ki kesişimde de buranın A olduğunu söylemiş oluruz.
Peki böyle komple birbirlerinden ayrıklarsa zaten dediğimiz gibi ayrık kümeler adını alır, yani bakınız hiçbir bağlantıları yok.
Hiçbir bağlantıları yoksa o zaman demek ki ne olur?
Kesişimleri de boş küme olur.
Kesişimleri boş küme olduğu için biz bunların hiç ortak elemanlarının bulunmadığını ve iç ortak elemanlarının bulunmadığı için de ayrık kümeler ismini aldığını söyleriz.
Birleşimlerini sorarsa ne yapacağız?
B'yi ayrıca alacağız ve A'yı da ayrıca alacağız.
Daha sonra bunları birleştireceğiz.
Peki, örneğimize bakalım.
A ve B kümeleri için A'nın eleman sayısı 6, B'nin eleman sayısı 4 olarak veriliyor.
Buna göre A birleşim B'nin ve A kesişim B'nin alabileceği buradaki eleman sayılarının alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulunuz diye sorular bize sorulmuş.
Peki şimdi A birleşim B'nin ve A kesişim B'nin herhangi bir şartı yoksa en büyük ve en küçük değerleri iki farklı şekilde incelenebilir.
En büyük ve en küçük değerleri incelerken şu şekilde ben bir ayrık kümeler çizmek istiyorum.
Bir de iç içe kümeler çizmek istiyorum çünkü en büyüklüğüne ve en küçüklüğüne bu ikisi karar verecektir.
Şimdi B'nin eleman sayısı A'nın eleman sayısından daha düşük olduğu için ben B'yi buraya A'yı buraya yazdım, burada ise temsili olarak bu daha büyük gözüküyor.
Buraya A yazdım buraya da B yazdım, peki burada var.
Burada 4 tane eleman var.
Ne yapmış olduk?
Aynı zamanda A'nın içine de 4 eleman yazmış olduk.
Demek ki B'nin dışında kalan A'nın eleman sayısını tamamlayabilmek adına 2 eleman daha kalır.
Toplamda 6 eleman oluşmuş oldu.
Peki şimdi A birleşim B'nin alabileceği en büyük değer nasıl olur?
A birleşim B'nin alabileceği en büyük değer ayrık kümelerle olur yani bu ikisi birbirlerinden çok bağımsızsa bu şekilde hiç ortak eleman olmaz, ortak eleman olmadığında da eleman sayısı azalmaz birleşim kümesinin.
O zaman 6 ile 4'ü topladığımızda direkt olarak burada 10'u buluruz.
Peki en küçük değer?
En küçük değerlere bakınız burada iç içe olduğumuzda zaten B, A'nın çoğu elemanını kapsıyor, kısıtlamış oluyor.
O zaman demek ki birleşimde de toplam zaten burada en fazla 6 tane getirebiliriz.
O yüzden demek ki en küçük değeri de burada kesişimde alabilecekleri en büyük değer için ne yapacağız?
Yine iç içe olma durumuna bakmamız lazım çünkü iç içe olduğunda B zaten çoğunu alıyor.
B burada ne yapmış oldu?
Dört tanesini zaten alabildi.
Yani kendi eleman sayısı kadar A'dan koparabildi.
O zaman demek ki biz burada en büyük olarak dört tane olduğunu söyleriz, en küçük olarak ise bakınız ayrık kümeler.
En küçük olduğunda yani A kesişim B'nin en küçük olması durumu burada ayrık kümelerin olmasıyla olur çünkü ayrık kümelerin kesişimleri boş kümedir.
Boş küme olduğundan dolayı burada da eleman sayısına hiçbir katkı sunmayacağından dolayı biz burada 0 olduğunu söylemiş oluruz.
Peki diğer örneğimiz.
A kümesinin kendisi dışındaki alt küme sayısı A ile B ayrık olmayan kümeler olduğuna göre A birleşim B'nin eleman sayısının en çok kaç olduğunu soruyor.
Şimdi burada durum biraz daha farklı çünkü ayrık olmayan bir durum var.
Peki A kümesinin kendisi dışındaki alt küme sayısı 31 demek ne demek?
Yani aslında öz alt kümeleri demek.
A'nın biz eleman sayısına eğer n diyecek olursak o zaman burada söylenen 2 üzeri n eksi 1'in burada 31 olur, evet attık karşıya 32 oldu.
n'nin de buradan 5 olduğunu söylemiş oluruz.
Peki B kümesinin alt küme sayısı da zaten 64 ise buradan direkt olarak 2 üzeri k'nın 64'e eşit olduğunu -k burada B'nin eleman sayısını temsil eder- k'nın da buradan direkt olarak 6 olduğunu söylemiş oluruz.
Peki şimdi A'da 5 tane eleman var, B'de 6 tane eleman var ve bu kümeler birbirlerinden ayrık değiller yani komple bağımsız değiller Normalde A birleşim B'nin en çok olması durumu.
Biz ne yaparız?
Şu şekilde ayrık kümeler çizeriz daha sonra buraya A deriz buraya B deriz buraya 5'i burada 6'yı yazdığımızda en fazla 11 olduğunu burada söyleriz ama ayrık olmayan diyorsa ayrık olmayan diyorsa o zaman demek ki mutlaka bunların bir kesişimleri var demektir.
Ben çok fazla kesişim istemiyorum çünkü birleşim kümesinin eleman sayısını tavana çıkartmak istiyorum.
O zaman demek ki ne yaparım?
Minimum buraya 1 tane kesişim koyarım.
Sonuçta bu benim elimde olan bir şey.
A'nın bir tanesini kullanırsak o zaman A'nın B'de olmayan kısmına yani şuraya kısmına 1 tane burada olduğu için 5 tane de burada kalacaktır.
Bakınız çok fazla etkilemedi eleman sayısını, o zaman toplam birleşimin eleman sayısı ne oldu?
onu vermiş oldu.
Bakınız üstteki durumdan sadece bir eksikle bu işi kurtarmış olduk.
Diğer örneğimiz.
A, B, C kümeleri verilmiş bu şekilde şekilli sorular gelecektir.
A, B ve C kümelerinin Venn şeması ile gösterimi verilmiştir.
Buna göre taralı bölge aşağıdakilerden hangisiyle gösterebilir?
Burada direkt olarak kendiniz bulmaya çalışmayınız, şıkları incelemek daha kolay olacaktır buradan.
Şimdi A kesişim B kesişim C diyor, nasıl gösterebiliriz biz?
Sadece şurasıdır A kesişim B kesişim C, hepsinin ortak olduğu kısım ama bakınız orayı göstermiyor.
O zaman demek ki bu olmaz.
A ile C'nin kesişimi bunun zaten olmayacağı bariz belli çünkü A ile bakınız C'yi kesiştirdiğimde burası geliyor ki çok alakasız bir yer.
B ile C, A ile C ile aynı mantıkta.
B ile C'yi birleştirirseniz burası olacaktır yani kesiştirirseniz, o zaman demek ki burası da olmaz.
Peki şunlar, şu ikisi karışık.
C kesişim A birleşim B, şimdi ilk önce A birleşim B'yi almaya çalışsak A ile B'nin tamamını alacağız, daha sonra C ile kesiştireceğiz.
Bakınız A ile B'nin tamamını alıp C ile kesiştirmeye çalıştığımızda sanki şurasını elde ediyoruz gibi geliyor bana.
Umarım orayı takip edebildik, bakınız sadece bu yeşil kısım geliyor ama bizim istediğimiz yine burası değil.
O zaman demek ki burada ortadan kaldırıyorum demek ki bu da değil, bu olacak.
Neden?
A ile C birleştirelim, bakınız A ile C'yi birleştiriyorum şöyle birleştirdim bunu da B ile kesiştiriyorum.
B ile kesişen kısımlar neresi?
B'nin de dahil olduğu kısımlar yani tam olarak burada soruda bize verilen kısım.
O zaman yeşil olan kısmı verdiği için Edirne doğru olacaktır cevap E.
Mesela şimdi biz kümeleri hep ne yapıyorduk?
Bir kesişimleri oluyordu ve yan yana çiziyorduk ama şimdi hep böyle olmak zorunda değil.
Ne olur?
Mesela alt küme şeklinde verebilir bu şekilde iç içe veya hiç alakaları olmaz bu şekilde de gelebilirler o zaman bunlarda ne yapacağız, bunları inceleyelim.
Şimdi mesela A burada B'nin alt kümesi çünkü A, B'nin içine çizilmiş.
Peki A, B'nin alt kümesi ise bunu illa çizmek zorunda değil matematiksel olarak da yazıp sorabilir.
O zaman A birleşim B ne olacak?
Birleşim dediği için bunların ikisinin tümünden oluşacak ve tümünden oluşacaksa B burada daha kapsamlı.
Demek ki ne yapacak?
B bunun tamamını dolduracaktır.
Yani birleşim soruluyor ise demek ki dışarıdaki alınmalıdır.
Peki kesişim sorulursa A yine B'nin alt kümesi.
Kesişim sorulduğunda ne olacak?
Ortak olan elemanlar olacak.
Ortak olan elemanları da sadece burada A kısıtlayacaktır.
O zaman demek ki burada sadece A'nın içini alacağız.
Demek ki kesişimde de buranın A olduğunu söylemiş oluruz.
Peki böyle komple birbirlerinden ayrıklarsa zaten dediğimiz gibi ayrık kümeler adını alır, yani bakınız hiçbir bağlantıları yok.
Hiçbir bağlantıları yoksa o zaman demek ki ne olur?
Kesişimleri de boş küme olur.
Kesişimleri boş küme olduğu için biz bunların hiç ortak elemanlarının bulunmadığını ve iç ortak elemanlarının bulunmadığı için de ayrık kümeler ismini aldığını söyleriz.
Birleşimlerini sorarsa ne yapacağız?
B'yi ayrıca alacağız ve A'yı da ayrıca alacağız.
Daha sonra bunları birleştireceğiz.
Peki, örneğimize bakalım.
A ve B kümeleri için A'nın eleman sayısı 6, B'nin eleman sayısı 4 olarak veriliyor.
Buna göre A birleşim B'nin ve A kesişim B'nin alabileceği buradaki eleman sayılarının alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulunuz diye sorular bize sorulmuş.
Peki şimdi A birleşim B'nin ve A kesişim B'nin herhangi bir şartı yoksa en büyük ve en küçük değerleri iki farklı şekilde incelenebilir.
En büyük ve en küçük değerleri incelerken şu şekilde ben bir ayrık kümeler çizmek istiyorum.
Bir de iç içe kümeler çizmek istiyorum çünkü en büyüklüğüne ve en küçüklüğüne bu ikisi karar verecektir.
Şimdi B'nin eleman sayısı A'nın eleman sayısından daha düşük olduğu için ben B'yi buraya A'yı buraya yazdım, burada ise temsili olarak bu daha büyük gözüküyor.
Buraya A yazdım buraya da B yazdım, peki burada var.
Burada 4 tane eleman var.
Ne yapmış olduk?
Aynı zamanda A'nın içine de 4 eleman yazmış olduk.
Demek ki B'nin dışında kalan A'nın eleman sayısını tamamlayabilmek adına 2 eleman daha kalır.
Toplamda 6 eleman oluşmuş oldu.
Peki şimdi A birleşim B'nin alabileceği en büyük değer nasıl olur?
A birleşim B'nin alabileceği en büyük değer ayrık kümelerle olur yani bu ikisi birbirlerinden çok bağımsızsa bu şekilde hiç ortak eleman olmaz, ortak eleman olmadığında da eleman sayısı azalmaz birleşim kümesinin.
O zaman 6 ile 4'ü topladığımızda direkt olarak burada 10'u buluruz.
Peki en küçük değer?
En küçük değerlere bakınız burada iç içe olduğumuzda zaten B, A'nın çoğu elemanını kapsıyor, kısıtlamış oluyor.
O zaman demek ki birleşimde de toplam zaten burada en fazla 6 tane getirebiliriz.
O yüzden demek ki en küçük değeri de burada kesişimde alabilecekleri en büyük değer için ne yapacağız?
Yine iç içe olma durumuna bakmamız lazım çünkü iç içe olduğunda B zaten çoğunu alıyor.
B burada ne yapmış oldu?
Dört tanesini zaten alabildi.
Yani kendi eleman sayısı kadar A'dan koparabildi.
O zaman demek ki biz burada en büyük olarak dört tane olduğunu söyleriz, en küçük olarak ise bakınız ayrık kümeler.
En küçük olduğunda yani A kesişim B'nin en küçük olması durumu burada ayrık kümelerin olmasıyla olur çünkü ayrık kümelerin kesişimleri boş kümedir.
Boş küme olduğundan dolayı burada da eleman sayısına hiçbir katkı sunmayacağından dolayı biz burada 0 olduğunu söylemiş oluruz.
Peki diğer örneğimiz.
A kümesinin kendisi dışındaki alt küme sayısı A ile B ayrık olmayan kümeler olduğuna göre A birleşim B'nin eleman sayısının en çok kaç olduğunu soruyor.
Şimdi burada durum biraz daha farklı çünkü ayrık olmayan bir durum var.
Peki A kümesinin kendisi dışındaki alt küme sayısı 31 demek ne demek?
Yani aslında öz alt kümeleri demek.
A'nın biz eleman sayısına eğer n diyecek olursak o zaman burada söylenen 2 üzeri n eksi 1'in burada 31 olur, evet attık karşıya 32 oldu.
n'nin de buradan 5 olduğunu söylemiş oluruz.
Peki B kümesinin alt küme sayısı da zaten 64 ise buradan direkt olarak 2 üzeri k'nın 64'e eşit olduğunu -k burada B'nin eleman sayısını temsil eder- k'nın da buradan direkt olarak 6 olduğunu söylemiş oluruz.
Peki şimdi A'da 5 tane eleman var, B'de 6 tane eleman var ve bu kümeler birbirlerinden ayrık değiller yani komple bağımsız değiller Normalde A birleşim B'nin en çok olması durumu.
Biz ne yaparız?
Şu şekilde ayrık kümeler çizeriz daha sonra buraya A deriz buraya B deriz buraya 5'i burada 6'yı yazdığımızda en fazla 11 olduğunu burada söyleriz ama ayrık olmayan diyorsa ayrık olmayan diyorsa o zaman demek ki mutlaka bunların bir kesişimleri var demektir.
Ben çok fazla kesişim istemiyorum çünkü birleşim kümesinin eleman sayısını tavana çıkartmak istiyorum.
O zaman demek ki ne yaparım?
Minimum buraya 1 tane kesişim koyarım.
Sonuçta bu benim elimde olan bir şey.
A'nın bir tanesini kullanırsak o zaman A'nın B'de olmayan kısmına yani şuraya kısmına 1 tane burada olduğu için 5 tane de burada kalacaktır.
Bakınız çok fazla etkilemedi eleman sayısını, o zaman toplam birleşimin eleman sayısı ne oldu?
onu vermiş oldu.
Bakınız üstteki durumdan sadece bir eksikle bu işi kurtarmış olduk.
Diğer örneğimiz.
A, B, C kümeleri verilmiş bu şekilde şekilli sorular gelecektir.
A, B ve C kümelerinin Venn şeması ile gösterimi verilmiştir.
Buna göre taralı bölge aşağıdakilerden hangisiyle gösterebilir?
Burada direkt olarak kendiniz bulmaya çalışmayınız, şıkları incelemek daha kolay olacaktır buradan.
Şimdi A kesişim B kesişim C diyor, nasıl gösterebiliriz biz?
Sadece şurasıdır A kesişim B kesişim C, hepsinin ortak olduğu kısım ama bakınız orayı göstermiyor.
O zaman demek ki bu olmaz.
A ile C'nin kesişimi bunun zaten olmayacağı bariz belli çünkü A ile bakınız C'yi kesiştirdiğimde burası geliyor ki çok alakasız bir yer.
B ile C, A ile C ile aynı mantıkta.
B ile C'yi birleştirirseniz burası olacaktır yani kesiştirirseniz, o zaman demek ki burası da olmaz.
Peki şunlar, şu ikisi karışık.
C kesişim A birleşim B, şimdi ilk önce A birleşim B'yi almaya çalışsak A ile B'nin tamamını alacağız, daha sonra C ile kesiştireceğiz.
Bakınız A ile B'nin tamamını alıp C ile kesiştirmeye çalıştığımızda sanki şurasını elde ediyoruz gibi geliyor bana.
Umarım orayı takip edebildik, bakınız sadece bu yeşil kısım geliyor ama bizim istediğimiz yine burası değil.
O zaman demek ki burada ortadan kaldırıyorum demek ki bu da değil, bu olacak.
Neden?
A ile C birleştirelim, bakınız A ile C'yi birleştiriyorum şöyle birleştirdim bunu da B ile kesiştiriyorum.
B ile kesişen kısımlar neresi?
B'nin de dahil olduğu kısımlar yani tam olarak burada soruda bize verilen kısım.
O zaman yeşil olan kısmı verdiği için Edirne doğru olacaktır cevap E.
