Kümelerde Fark İşlemi

Merhabalar arkadaşlar, kümelerde fark işlemine devam ediyoruz.
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A kümesinde olup B kümesinde olmayan tüm elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin B kümesinden farkı denir.
Zaten de Türkçe olarak da burada söylenen şeyin aslında fark olduğu bariz ortada.
Farkı adı verilir ve nasıl gösterecek iki farklı şekilde gösterilebilir.
İkisi de karşınıza gelir ya bu şekilde göstereceğiz ya da şu şekilde göstereceğiz ki bu daha genel bir kullanımdır.
A fark B ikisi de aynı anlama gelmektedir.
Peki A ve B kümelerinin fark kümelerini ortak özellik yöntemi ile nasıl gösteririz?
A fark B ve B fark A bakınız bunların ikisini de ayrı ayrı olarak gösteriyoruz.
Bunun da özellikleri karşımıza gelecek.
Normalde biz burada sadece bir tanesini gösteriyorduk.
A fark B nasıl gösterilecek?
x'ler öyle ki x'ler A'nın elemanı ve o x'ler B elemanı değil.
B fark A'da da x'ler öyle ki x'ler B'nin elemanı ama A'nın elemanı değil.
Bakınız bunların ikisi de farklı.
Venn şemasıyla buradaki mevzuyu açmak istiyorum.
A ve B kümeleri var sonuçta kesişimleri de olabilir o yüzden çizilmiştir.
İlk önce A fark B'yi oluşturalım, A burada mavi ile çizilmiş B'den farkı yani B'nin dışında kalan kısım bakınız şurası değil midir?
Farklı olan kısmı burası.
O zaman işte biz buraya ne deriz?
Buraya A fark B kümesi deriz, daha sonra ne yapacağız?
B'nin de A'dan farkı.
O da ne olacak?
Orayı da şöyle taramak istiyorum bakınız bu da B'nin A'dan farklı olan kısımlarıdır.
Buraya da biz B'nin A'dan farkı deriz.
İkisinin farklı olduğunu burada görebiliyoruz yani A fark B ile B fark A aynı değiller.
Peki özelliklerine bakalım.
Diyoruz ki A ile B eğer eşit değillerse A ile B eşit değillerse o zaman A'nın B'den farkıyla B'nin A'dan farkı da eşit olmak zorunda değildir.
Yani aslında burada değişme özelliği yoktur demeye çalışıyoruz.
Peki A'nın A'dan farkı.
A'nın A'dan farkı var mıdır, yoktur değil mi?
Boş küme A direkt olarak A'ya eşittir burada.
A'nın evrensel kümeden farkı yani A'nın aslında evrensel kümesinin alt kümesi.
Fark olabilir mi?
Hayır olamaz.
Çünkü zaten içinde bulunuyor.
A'nın boş kümeden farkı, A'nın boş kümeden farkı boş kümenin içinde hiçbir şey yok ve A'da elemanlar var.
Farkı o zaman ne olacak?
A'da ne varsa o olacaktır, bunları bu şekilde yorumlayarak yapabiliriz ya da şemaları zihnimizde canlandırabiliriz.
Peki A ve B eşit iki küme ise o zaman ne olacak?
A fark B ile B fark A eşit olacak burada ama neye eşit olacaklar?
Boş kümeye çünkü A ile B eğer eşit kümelerse bunların birbirlerinden farkı yoktur demeye çalışıyoruz birbirlerinden farkı yoksa demek ki kümelerde biz bunu boş kümeyle gösteririz.
Peki örneklerimiz.
A kümesi verildi, B kümesi verildi A fark B birleşim B fark A bu şekilde gelebilir demiştik.
Bunları oluşturup birleşim kümesini yapalım.
Şimdi ilk önce ben A fark B kümesini oluşturmak istiyorum.
A fark B kümesinde neler var?
Elemanları tek tek inceleyeceğim.
A'da olacak B'de olmayacak derdim bu.
a elemanı burada var ama burada da var.
O zaman demek ki a elemanını fark kümesine koyamam.
b'ye geldim b burada var burada yok o zaman b buraya dair olacaktır.
Peki hepsi bu mantıkla giderse c burada yok 1 var burada 2 yok daha sonra x burada var alınmadı.
O zaman demek ki şöyle kapatmış olduk.
Peki bir de aynı şekilde B fark A'yı oluşturmak istiyorum buradan birbirlerinin aynısı olmadığını da görmüş olacağız.
1 burada var 3 burada yok 3 alındı, daha sonra a burada var, x burada var, k burada yok k alındı, biraz daha güzel yazalım onu.
k da alındı, daha sonra t.
t burada olmadığı için t de alındı.
O zaman demek ki bakınız bunlar birbirlerine aynı gelmediler.
O zaman birleşimlerini oluşturuyorum, bunların ikisinin birleşiminden oluşturacak olursak direkt olarak yazmak istiyorum.
3, k, t ve daha sonra b, c, 2, d bunların hepsi gelmiş olur.
Bu da birleşim kümesini ifade eder.
Peki, E evrensel kümesi verilmiş.
İçinde A, B, C kümeleri var Daha sonra bize diyor ki buna göre buradaki kümeleri bulmamız isteniyor.
Şimdi ilk önce incelemeye başlayalım bakalım, A fark A kesişim B'yi soruyor.
Şimdi ilk önce A kesişim B'ye bakalım ki A'nın ondan farkını buluruz.
A kesişim B'ye bakacak olursak şurası.
A kesişim B'de eleman yok, eleman yoksa o zaman demek ki A fark A kesişim B'yi soruyorsa direkt olarak A'da ne varsa odur.
Yani direkt olarak x, y, z elemanları var burada onları benim almam gerekir kümenin içine.
O zaman demek ki x, y, z elemanlarından oluşacaktır bu.
Peki b'ye geldik.
A fark B birleşim B fark C.
Şimdi ilk önce A fark B'yi oluşturmak istiyorum.
A'nın B'den farkı.
A'nın B'den farkını şu şekilde yapıyorduk bakınız buraya taradığımda içinde x, y, z'ler kaldı.
O zaman demek ki şöyle onları götüreyim İlk önce x, y, z.
Bunu aldık daha sonra birleşim var, daha sonra B'nin C'den farkını almak istiyorum yani mavi ile burada morun farkı.
Bakınız orayı da tarayacak olursam B fark C de bundan oluşur.
Demek ki sadece t kaldı bunun içinde.
Demek ki burada ne yapacağım ben?
İlk önce sadece t elemanını yazmış olacağım ve bunların birleşimi soruyor.
O zaman demek ki biz bunları birleşimlerini eğer oluşturacak olursak ne yapacağız?
x, y, z, t bu şekilde oluşturmuş oluruz.
Peki c: A fark C fark B fark C.
Şimdi ilk önce A fark C'yi oluşturalım.
A'nın C'den farkı şurada taradığım kısım.
Peki o zaman sadece x ile y giriyor bunun içine.
O zaman x y aldık.
Daha sonra fark B'nin C'den farkı B'nin C'den farkını zaten yukarıda yazmıştık, sadece t var.
E bize sorduğu şey x ile y elemanı olan bir kümenin t elemanı olan bir kümeden farkı.
Sadece x ile y elemanı gelecektir o zaman.
Buraya da cevabımızı bunu yazmış oluruz.
Evet son örneğimiz.
A ve B birer küme olmak üzere burada eleman sayıları ile alakalı bir eşitlik var olduğuna göre A kümesinin eleman sayısının kaç olduğunu soruyor.
Fark, kesişim, birleşim gibi işlemleri olan bir soruda biz burada şemaları çizersek çok daha rahat ederiz, o yüzden şemaları getirelim.
Getirdik, şimdi ne yapalım burada?
Burada kesişimlerinin üç tane eleman olduğunu söylüyor.
Ben 3 tane elemanı buraya koymak istiyorum.
Daha sonra burada A fark B'nin eleman sayısıyla B fark A'nın eleman sayısı arasında bir eşitlik var o yüzden ben diyorum ki A fark B'nin eleman sayısı eğer x olursa yani şurası burada x tane eleman olursa o zaman B fark A'nın da eleman sayısı 4x eksi 3 olmaz mı?
Yani şurası 4x eksi 3 olmaz mı B'nin A'dan farkı.
Tamam bunları yerleştirdiğimize göre artık birleşim kümesinden gidebiliriz.
Buradaki elemanların tamamını topla gel demek.
4x eksi 3 ile x artı 3'ü eğer toplayacak olursak sadece 5x gelecektir ve o da 35'e eşitmiş O zaman burada x'in biz kaç olduğunu buluyoruz?
eleman sayısının kaç olduğunu soruyor.
Şimdi A kümesinin eleman sayısını da şurada bir 7 var, x'in yerine yazdım bir de burada 3 var bakınız mavinin içinde kalan kısım.
eleman olduğunu söylemiş oluruz.