Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemi

Merhabalar arkadaşlar, kümelerde işlemler konusuna devam ediyoruz.
İlk olarak kümelerde kesişim işlemini göreceğiz.
A ve B kümelerinin ortak olan tüm elemanlarından oluşan kümeye A ve B kümelerinin kesişim kümesi diyeceğiz biz çünkü ikisinde de bulunan elemanlardan bahsediyoruz yani kesişimlerinden bahsediyoruz.
Derdimiz burada ortak olması Peki bu kesişim kümesini nasıl göstereceğiz biz?
A kümesi B kümesi çizildi orta tarafına bu şekilde bir sembol çizdiğimizde bu güzel kesişimi hatırlatacak.
A, B kümelerinin kesişim kümesi ortak özellik yöntemi ile şöyle gösterilir: A kesişim B x öyle ki x elemandır A ve x elemandır B yani buradaki ve den biz ne anlıyoruz bir x elemanı varsa hem A'da olacak hem B'de olacak.
İkisi de olursa o zaman demek ki kesişim kümesinde bu vardır denir.
Bunu Venn şemasıyla biraz daha iyi göreceğimizi düşünüyorum.
A kümesi verilmiş B kümesi verilmiş bakınız kümelerde ikisini de böyle iç içe alan durum var yani burada bir kesişim var.
İşte bu taranan kısım tam olarak bizim kesişim kümemizi ifade eder.
Yani buraya A kesişim B kısmı yazabiliriz.
Mesela ben buraya bir x elemanı koymak istiyorum bakınız x elemanı koydum bu x elemanı hem ne olmuş oldu A'nın elemanı olmuş oldu hem de B'nin elemanı olmuş oldu.
O yüzden biz bu x elemanına A kesişim B kümesinin elemanı diyebiliriz.
Şimdi birleşim kümesine bakalım arkadaşlar, A ve B kümelerinin elemanlarının tümünden oluşan kümeye bakınız burası önemlidir tümünden A ve B kümelerinin arkadaşlar birleşim kümesi denir.
Birleşim kümesi denir.
Arkadaşlar biz bunu A B orta tarafa bu şekilde u sembolünü çizerek gösteririz.
Bu bize A birleşim B kümesini hatırlatacak.
Peki şimdi onu ortak özellik yöntemi ile ve Venn şeması yöntemiyle de görelim.
A ve B kümelerinin birleşim kümesi ortak özellik yöntemi ile arkadaşlar şöyle olacak x öyle ki x elemandır A veya x elemandır B arkadaşlar veya olduğunda ne olabilir?
A'da bulunabilir B'de bulunabilir veya ikisinde de bulunabilir değil mi?
Venn şeması yöntemiyle peki bunu nasıl göstereceğiz?
Arkadaşlar biz A birleşim B'den kastımız bunların içindeki elemanların tümü olduğu için biz burada ne varsa tarayacağız arkadaşlar yani içeride ne eleman varsa bizim onların hepsini almamız lazım, yani mesela bir tane x elemanı olsun x elemandır A veya x elemandır B mevzusunu açıklayalım.
Mesela burada olmuş olsun o x elemanı, bakınız bu birleşim kümesinin içinde olur veya x elemanı arkadaşlar B'de olmuş olsun o yine aynı şekilde birleşim kümesinin içinde olur veya arkadaşlar ikisinde birden olsun yani buradaki kesişim kısmında olsun o zaman da yine birleşim kümesinin içine dahil olacak.
Peki bunlarla alakalı örneklerimize bakalım, bir A kümesi verilmiş B kümesi verilmiş daha sonra diyor ki buna göre A kesişim B ve A birleşim B kümelerini bulunuz.
Şimdi ilk önce bunları bulmadan önce kümelerin içindeki elemanları bir liste yöntemi göstermek istiyorum ben, o zaman nasıl oluşacak?
A kümesini şöyle açtım x 4 ile 12 arasındaki doğal sayılar diyor.
4 ve 12 dahil değil.
O zaman demek ki 5'ten başlatıyorum ve 5 6 7 8 9 10 11 e kadar gidecek.
12 dahil değil.
Peki ben burada bir de şöyle burasını da turuncu yapmış olalım.
Bir de B kümesini oluşturmak istiyorum.
Peki B kümesinde neler var?
1 ile 7 arasındaki doğal sayılar, 1 dahil 7 dahil değil.
Peki 1'i aldık 2'yi 3'ü 4'ü 5'i 6'yı ve bitirdik.
Peki bu kadar, şimdi ilk önce A kesişim B kümesini oluşturalım A kesişim B'de ne olacak?
İkisinin de ortak olan bundan elemanlar olacak.
İkisinde ortak olanlar neler sadece?
Bakın sadece burada ki kesişim kümesinde sadece bu ikisi olacaktır.
Peki birleşim kümesi birleşim kümesi hepsini alacak, ne varsa alacak burada 1 2 3 4 5 6 hepsini alacak daha sonra 5 6 yı zaten almıştı.
Buradan sonra 7'den 11'e kadar hepsini alacak.
O zaman biz buraya ne varsa yazacağız 1 2 3 4 5 Birleşim kümesine hepsini ister, kesişim ise sadece ortak olanları ister.
Evet, diğer bir örneğimiz.
A ve B iki kümedir.
A kesişim B'nin eleman sayısı 4, A birleşim B'nin eleman sayısı 16 olduğuna göre A'nın eleman sayısıyla B'nin eleman sayısının toplamı kaçtır?
Şimdi bu tarz kesişim birleşim veya ileride göreceğimiz fark gibi kümenin eleman sayılarından bahsettiğinde genelde Venn şemasıyla çözmek çok daha işimizi kolaylaştıracaktır, ben o şekilde çözmek istiyorum şu anda.
Önceden çizdiğimiz buradaki Venn şemalarını getirdim.
Şimdi A kümesi B kümesi verilmiş olsun burada ilk önce A kesişim B'nin eleman sayısı şurada olduğunu söylemiştik.
O zaman demek ki ben tam olarak bu ortasına 4 elemanını koymalıyım.
Yani aslında burada dört tane eleman var demek istiyorum 4'ü koyarak, şimdi A birleşim B 16.
Yani aslında tamamının haricinde kalan elemanları veya B'nin de A'dan farklı olan buradaki kısımları bilmiyorum.
O yüzden oraları ben bir değişken kullanmak istiyorum diyorum ki şurada da A kadar eleman olsun, burada B kadar eleman olsun.
Şimdi A birleşim B ne diyor?
Buradakilerin hepsinin toplamı diyor.
O zaman topluyorum A artı B artı 4 buradan 16 olacaktır değil mi?
Peki 4'ü karşı attığımızda biz burada A artı B'nin 12 olduğuna ulaşmış oluyoruz.
Peki buradan sonra bir şey yapılamaz.
Ne yapacağız?
A'nın eleman sayısıyla B'nin eleman sayısını göstermeye çalışalım.
A'nın eleman sayısı nedir?
Buradaki mavi olanın içinde kalan kısım yani A artı 4.
Tamam yazıyorum, A'nın eleman sayısı burada A artı O da sarının içinde kalan kısımlar olacak.
Buradaki elemanları temsil edecek yani B artı 4 ve onları da yazdım ne yapmış ne yapmamızı istiyor bunların ikisini toplamamızı istiyor.
Ben o zaman demek ki topluyorum bunları A'nın eleman sayısıyla burada B'nin eleman sayısını toplarsak a artı b artı 8 gelecektir.
Bakınız a artı b'yi zaten 12 bulmuştuk.
O zaman demek ki direkt olarak yerine yazdığımızda sonuca ulaşmış oluruz.
12 artı 8'den burada cevabımız 20 olacaktır.
Peki son örneğimiz, A kümesi verilmiş bunu inceleyeceğiz B'yi de inceleyeceğiz.
Daha sonra A kesişim B'nin eleman sayısının kaç olduğunu soruyor.
A kümesine bakalım içinde neler var, ilk önce onu bir bulmaya çalışalım diyor ki x öyle ki x 0 ile 60 arasında 5'in katı olan sayılar diyor.
O zaman demek ki A kümesinde şunlar var 0 dahil 5 10 15 bu şekilde en son kaça kadar gidecek 60 dahil olduğu için 60'a kadar giden elemanlar mevcut.
Peki B'ye de bir karar verelim daha sonra kesişimine geçeriz.
B'de de neler var burada?
0 ile 90 arasındaki 3'ün katı olan sayılardan bahsediyoruz burada gidecek.
E peki en son kaça kadar gidiyor?
olur?
Bakınız ben burada aslında 3'ün katları yazarken biraz daha devam etmiş olsaydım şunu yazacaktım 12 yazacaktım daha sonra nelerle başlıyor?
İlk olarak 0'la başlıyor.
Şimdi A kesişim B'de ilk olarak Burada 5 10 15 diye gidiyor burada da 3 6 9 12 15 diye gidiyor.
Bakınız burada 15'ler var.
Şimdi demek ki biz buradan şunu söylemez miyiz?
miyiz?
0 15 bu saatten sonra ne gelecek?
30 gelecek.
Daha sonra 45 gelecek.
Daha sonra 60 gelecek ve burada bitecek.
Neden bitecek çünkü için demek ki 60'ta bitmek zorundadır.
Demek ki burada en son bu kadar eleman olduğunu söyleriz.
O zaman eleman sayısının kaç olduğunu söylüyoruz?
s(A) kesişim B diyecek olursak