Merhabalar arkadaşlar şimdi bir kümenin tümleyenini göreceğiz.
A kümesi E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere A kümesinde bulunmayıp da E kümesinde bulunan tüm elemanlardan oluşan kümeye A kümesinin tümleyeni adını vereceğiz.
tümleyeni yani aslında buradan kastımız şu: A'nın dışındakilerle ilgileniyoruz.
A'nın dışındakiler bunun tümleyeni adını alır.
Peki tümleyeni nasıl göstereceğiz?
A'nın üstüne kesme işaretini attığımızda yani şu şekilde çizgi çizdiğimizde biz onun tümleyeninin olduğunu zihnimize getireceğiz.
Peki A kümesinin tümleyenini ortak özellik yöntemi ile nasıl gösteririz?
A kümesinin tümleyeni x öyle ki x'ler A'nın elemanı değil ama bu x'ler evrensel kümenin elemanı.
Zaten A'nın elemanı değilse evrensel kümenin elemanı olmak zorunda yani A'nın dışında olmak zorunda, buradaki cümle bize onu söylüyor.
A'nın elemanı olmasın, evrenselin elemanı olsun yani A'nın dışında olsun.
Venn şemasıyla bu durumu gösterecek olursak E evrensel kümesi A kümesi A kümesi bunun içinde.
Tümleyeni gösterecek olursak bakınız bunun dışında kalan kısım olacaktır.
Bunun dışında kalan kısım ne kadar varsa onların hepsi A'nın tümleyenini verir yani şuralar.
Burasının hepsi burada ne kadar eleman varsa A'nın tüm değilini verecektir, bakınız bunu zihnimizde tuttuktan sonra arka taraftaki özellikler de çok kolay bir şekilde gelecektir.
Şimdi mesela buradaki özelliklerimiz.
İlk özelliğimiz çok kolay, A'nın tümleyeninin tümleyeni.
Bu zaten bize başa döndürdüğünü biliyoruz, A'ya tekrardan geri döndürür.
A ile A'nın tümleyeni yani A ile A'nın dışındaki şeyler kesiştiriyoruz, elemanları kesiştiriyoruz.
A ile A'nın dışındaki elemanları kesiştirmek demek orta tarafa hiçbir şey çıkartmamak demek.
Yani boş küme olması demek ama A ile A'nın dışındaki elemanları birleştirirsek o bize evrenselin içinde ne varsa hepsini verecektir çünkü hem A'yı alıyoruz hem de dışındaki elemanları alırsak birleşiminde bütün evrensel gelecektir.
Evrensel kümenin tümleyeni evrensel tamamını kapsıyorsa o zaman onun tümleyeni burada boş kümeyi verecektir.
Aynı şekilde o zaman boş kümenin tümleyeni de bize evrensel kümeyi verecektir.
Peki A'nın tümleyeninden farkı A içeride tümleyeni dışarıda A'nın dışarıdakilerden farkı ne olacak?
Kendisi olacaktır değil mi?
O zaman demek ki A'yı buraya koymuş oluruz E'nin A'dan farkı yani evrenselin A'dan farkı.
Evrensel dışarıda şöyle ben dışarıya çizmiş olursam evrenselin A'dan farkı da onun dışındakiler olacaktır yani A'ya dokunmadan dışındakileri dolacaktır.
O zaman Demek ki buraya da A'nın tümleyeni deriz.
Peki A'nın evrenselden farkı A içeride Evrensel dışarıda içeride olduğu için herhangi bir farkı oluşmayacaktır.
O zaman boş küme oluşacaktır.
Bakınız bunları ben de ezberlemiyorum ama bu şekilde düşünerek getirebiliyoruz Bu da peki ama burada bir kuralımız var.
Şimdi A'nın eleman sayısı ile A'nın tümleyeninin eleman sayısını toplarsak evrenselin eleman sayısını verecektir.
Neden?
Çünkü biz ne yaptık, A ile A'nın tümleyenini birleştirdiğimizde evrensel küme elde ettiysek o zaman eleman sayısında da aynısını yapmış oluruz.
Yine burayı inceleyecek olursak bakınız A burada Evrensel de dışarıda, topladığımız anda evrenseli elde etmiş oluruz.
A'nın tümleyeni dışarıda demek istedim burada.
Peki buraya bakacak olursak buradakiler farklı özellikler.
A fark B'yi biz ekstra olarak şöyle gösterebiliriz şimdi A fark B demek ne demekti?
A'da bulunacak elemanlar B'de bulunmayacak.
O zaman biz şöyle yazarız: A kesişim B'nin tümleyeni ile gösterebiliriz bunu.
Yani A'da bulunsun, B'nin dışındakilerle kesiştirelim B'de bulunmasın.
peki B fark A o zaman ne olacak?
Baştaki sabit duracak yani B, yanındaki A'nın da tümleyeni alacak yani B kesişim A'nın tümleyeni olacak.
Burada de Morgan kuralları mantıklı olduğu gibi burada da aynıdır ve aynı işlevi görür.
Ne olacak?
A birleşim B'nin tümleyeni varsa takla attıracak bunlara ve tabi takla attırması buradaki sadece sembole takla attıracak.
Buradaki kümelerin üstlerine sadece tümleyenleri gelecek, kesişim B'nin tümleyeni olacak.
Aynı şekilde burada da yine A'nın tümleyeni birleşim B'nin tümleyeni gelecektir yani buradakilerin sadece sembollerini değiştirmiş oluyoruz ve burada ekstra olarak da kümelerin değillerini almış oluyoruz.
Şimdi bakınız hem özellikleri hem de buradaki bazı örnekleri halletmiş olalım.
Yukarıda verilen şemaya göre aşağıdaki örnekleri cevaplayınız demiş.
A kümesi verilmiş, dışarıda da elemanlar var ve evrensel kümenin alt kümesi A'nın tümleyeni kümesini bulunuz demiş.
A'nın tümleyeni kümesini bulacak olursak A'nın dışındakileri bulacağız demektir.
A'nın dışında sadece k, l ve m bulunuyor.
Peki A'nın tümleyeninin tümleyeni kendisini verecektir Yani direkt olarak A'nın elemanlarını yazabiliriz burada.
O zaman ben direkt olarak x, y, z, t burada yazmış oluyorum.
A kesişim A'nın tümleyeni.
Bakınız A burada tümleyeni dışarıda.
Herhangi bir kesişim var mı?
Yok.
Olmadığı için o zaman demek ki biz buraya direkt olarak boş küme diyebiliriz.
A ile A'nın tümleyeninin birleşimi.
A burada, tümleyeni dışarıda, hepsini birleştirirsen evrenseli verecektir.
Yani burada ne eleman görüyorsam hepsini yazacağım.
x y z t ve k l m.
E'nin tümleyeninin boş küme olduğunu söylemiştik.
E'nin A'dan farkı ve A'nın E'den farkı.
Şimdi A'nın E'den farkı yoktur çünkü A burada içeride olduğu için evrenselin alt kümesidir.
O zaman fark olmayacağı için bu direkt olarak zaten boş kümedir ama E'nin A'dan farkı neyi verecek bize?
A'nın tümleyenini verecek ve A'nın tümleyenini de biz nasıl yazarız?
A'nın dışındakilere yazarız yani burada k, l, m'yi yazmış oluruz.
Peki, A'nın eleman sayısıyla A'nın tümleyeninin eleman sayısının toplamını soruyor.
O da neyi verecekti?
Evrenselin eleman sayısını verecekti.
O zaman 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Burada toplamda 7 tane eleman olduğunu söylemiş oluruz.
Evet şimdi bu örneğimizle devam ediyoruz.
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere A kesişim B fark A İfadesinin en sade halini bulunuz.
Şimdi ilk olarak o zaman şöyle yapalım: A kesişim buradaki B fark A'ya şunu yazabiliriz B kesişim A'nın tümleyeni yazabiliriz.
Peki burada birleşme ve değişme özelliklerini kullanacak olursak en son şu hale getirebiliriz A kesişim A'nın tümleyeni kesişim burada B.
A ile A'nın tümleyenini kesiştirdiğimizde biz boş küme geleceğini biliyoruz.
Boş kümeyle B'yi kesiştirirsek de burada sonuç olarak en sonda boş küme gelecektir.
Peki son örneğimiz.
A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin birer alt kümesi olmak üzere A'nın eleman sayısı ile B'nin tümleyeninin eleman sayısını toplamış 12, A'nın tümleyeninin eleman sayısıyla B'nin eleman sayısını toplamış kaç olduğunu soruyor.
Şimdi diyorum ki bunları şöyle alt alta toplasak şu gelmez mi?
A'nın eleman sayısı artı A'nın tümleyeninin eleman sayısı artı B'nin eleman sayısı artı B'nin tümleyeninin eleman sayısı ve sağ taraftan da 12 ile 18'i toplarsak 30.
Biz şöyle dedik: A'nın eleman sayısı ile onun tümleyeninin eleman sayısını toplarsak evrenselin eleman sayısını verir.
Aynı şekilde B gibi bir kümeyle de onun tümleyeninin eleman sayısını toplarsak o da yine aynı şekilde evrenselin eleman sayısını verecektir ki bu 30'a eşitmiş O zaman demek ki iki tane evrenselin eleman sayısı burada 30'sa demek ki biz evrenselin eleman sayısının burada 15 olduğunu söyleriz yani zaten bize onu soruyordu, cevap da
A kümesi E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere A kümesinde bulunmayıp da E kümesinde bulunan tüm elemanlardan oluşan kümeye A kümesinin tümleyeni adını vereceğiz.
tümleyeni yani aslında buradan kastımız şu: A'nın dışındakilerle ilgileniyoruz.
A'nın dışındakiler bunun tümleyeni adını alır.
Peki tümleyeni nasıl göstereceğiz?
A'nın üstüne kesme işaretini attığımızda yani şu şekilde çizgi çizdiğimizde biz onun tümleyeninin olduğunu zihnimize getireceğiz.
Peki A kümesinin tümleyenini ortak özellik yöntemi ile nasıl gösteririz?
A kümesinin tümleyeni x öyle ki x'ler A'nın elemanı değil ama bu x'ler evrensel kümenin elemanı.
Zaten A'nın elemanı değilse evrensel kümenin elemanı olmak zorunda yani A'nın dışında olmak zorunda, buradaki cümle bize onu söylüyor.
A'nın elemanı olmasın, evrenselin elemanı olsun yani A'nın dışında olsun.
Venn şemasıyla bu durumu gösterecek olursak E evrensel kümesi A kümesi A kümesi bunun içinde.
Tümleyeni gösterecek olursak bakınız bunun dışında kalan kısım olacaktır.
Bunun dışında kalan kısım ne kadar varsa onların hepsi A'nın tümleyenini verir yani şuralar.
Burasının hepsi burada ne kadar eleman varsa A'nın tüm değilini verecektir, bakınız bunu zihnimizde tuttuktan sonra arka taraftaki özellikler de çok kolay bir şekilde gelecektir.
Şimdi mesela buradaki özelliklerimiz.
İlk özelliğimiz çok kolay, A'nın tümleyeninin tümleyeni.
Bu zaten bize başa döndürdüğünü biliyoruz, A'ya tekrardan geri döndürür.
A ile A'nın tümleyeni yani A ile A'nın dışındaki şeyler kesiştiriyoruz, elemanları kesiştiriyoruz.
A ile A'nın dışındaki elemanları kesiştirmek demek orta tarafa hiçbir şey çıkartmamak demek.
Yani boş küme olması demek ama A ile A'nın dışındaki elemanları birleştirirsek o bize evrenselin içinde ne varsa hepsini verecektir çünkü hem A'yı alıyoruz hem de dışındaki elemanları alırsak birleşiminde bütün evrensel gelecektir.
Evrensel kümenin tümleyeni evrensel tamamını kapsıyorsa o zaman onun tümleyeni burada boş kümeyi verecektir.
Aynı şekilde o zaman boş kümenin tümleyeni de bize evrensel kümeyi verecektir.
Peki A'nın tümleyeninden farkı A içeride tümleyeni dışarıda A'nın dışarıdakilerden farkı ne olacak?
Kendisi olacaktır değil mi?
O zaman demek ki A'yı buraya koymuş oluruz E'nin A'dan farkı yani evrenselin A'dan farkı.
Evrensel dışarıda şöyle ben dışarıya çizmiş olursam evrenselin A'dan farkı da onun dışındakiler olacaktır yani A'ya dokunmadan dışındakileri dolacaktır.
O zaman Demek ki buraya da A'nın tümleyeni deriz.
Peki A'nın evrenselden farkı A içeride Evrensel dışarıda içeride olduğu için herhangi bir farkı oluşmayacaktır.
O zaman boş küme oluşacaktır.
Bakınız bunları ben de ezberlemiyorum ama bu şekilde düşünerek getirebiliyoruz Bu da peki ama burada bir kuralımız var.
Şimdi A'nın eleman sayısı ile A'nın tümleyeninin eleman sayısını toplarsak evrenselin eleman sayısını verecektir.
Neden?
Çünkü biz ne yaptık, A ile A'nın tümleyenini birleştirdiğimizde evrensel küme elde ettiysek o zaman eleman sayısında da aynısını yapmış oluruz.
Yine burayı inceleyecek olursak bakınız A burada Evrensel de dışarıda, topladığımız anda evrenseli elde etmiş oluruz.
A'nın tümleyeni dışarıda demek istedim burada.
Peki buraya bakacak olursak buradakiler farklı özellikler.
A fark B'yi biz ekstra olarak şöyle gösterebiliriz şimdi A fark B demek ne demekti?
A'da bulunacak elemanlar B'de bulunmayacak.
O zaman biz şöyle yazarız: A kesişim B'nin tümleyeni ile gösterebiliriz bunu.
Yani A'da bulunsun, B'nin dışındakilerle kesiştirelim B'de bulunmasın.
peki B fark A o zaman ne olacak?
Baştaki sabit duracak yani B, yanındaki A'nın da tümleyeni alacak yani B kesişim A'nın tümleyeni olacak.
Burada de Morgan kuralları mantıklı olduğu gibi burada da aynıdır ve aynı işlevi görür.
Ne olacak?
A birleşim B'nin tümleyeni varsa takla attıracak bunlara ve tabi takla attırması buradaki sadece sembole takla attıracak.
Buradaki kümelerin üstlerine sadece tümleyenleri gelecek, kesişim B'nin tümleyeni olacak.
Aynı şekilde burada da yine A'nın tümleyeni birleşim B'nin tümleyeni gelecektir yani buradakilerin sadece sembollerini değiştirmiş oluyoruz ve burada ekstra olarak da kümelerin değillerini almış oluyoruz.
Şimdi bakınız hem özellikleri hem de buradaki bazı örnekleri halletmiş olalım.
Yukarıda verilen şemaya göre aşağıdaki örnekleri cevaplayınız demiş.
A kümesi verilmiş, dışarıda da elemanlar var ve evrensel kümenin alt kümesi A'nın tümleyeni kümesini bulunuz demiş.
A'nın tümleyeni kümesini bulacak olursak A'nın dışındakileri bulacağız demektir.
A'nın dışında sadece k, l ve m bulunuyor.
Peki A'nın tümleyeninin tümleyeni kendisini verecektir Yani direkt olarak A'nın elemanlarını yazabiliriz burada.
O zaman ben direkt olarak x, y, z, t burada yazmış oluyorum.
A kesişim A'nın tümleyeni.
Bakınız A burada tümleyeni dışarıda.
Herhangi bir kesişim var mı?
Yok.
Olmadığı için o zaman demek ki biz buraya direkt olarak boş küme diyebiliriz.
A ile A'nın tümleyeninin birleşimi.
A burada, tümleyeni dışarıda, hepsini birleştirirsen evrenseli verecektir.
Yani burada ne eleman görüyorsam hepsini yazacağım.
x y z t ve k l m.
E'nin tümleyeninin boş küme olduğunu söylemiştik.
E'nin A'dan farkı ve A'nın E'den farkı.
Şimdi A'nın E'den farkı yoktur çünkü A burada içeride olduğu için evrenselin alt kümesidir.
O zaman fark olmayacağı için bu direkt olarak zaten boş kümedir ama E'nin A'dan farkı neyi verecek bize?
A'nın tümleyenini verecek ve A'nın tümleyenini de biz nasıl yazarız?
A'nın dışındakilere yazarız yani burada k, l, m'yi yazmış oluruz.
Peki, A'nın eleman sayısıyla A'nın tümleyeninin eleman sayısının toplamını soruyor.
O da neyi verecekti?
Evrenselin eleman sayısını verecekti.
O zaman 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Burada toplamda 7 tane eleman olduğunu söylemiş oluruz.
Evet şimdi bu örneğimizle devam ediyoruz.
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere A kesişim B fark A İfadesinin en sade halini bulunuz.
Şimdi ilk olarak o zaman şöyle yapalım: A kesişim buradaki B fark A'ya şunu yazabiliriz B kesişim A'nın tümleyeni yazabiliriz.
Peki burada birleşme ve değişme özelliklerini kullanacak olursak en son şu hale getirebiliriz A kesişim A'nın tümleyeni kesişim burada B.
A ile A'nın tümleyenini kesiştirdiğimizde biz boş küme geleceğini biliyoruz.
Boş kümeyle B'yi kesiştirirsek de burada sonuç olarak en sonda boş küme gelecektir.
Peki son örneğimiz.
A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin birer alt kümesi olmak üzere A'nın eleman sayısı ile B'nin tümleyeninin eleman sayısını toplamış 12, A'nın tümleyeninin eleman sayısıyla B'nin eleman sayısını toplamış kaç olduğunu soruyor.
Şimdi diyorum ki bunları şöyle alt alta toplasak şu gelmez mi?
A'nın eleman sayısı artı A'nın tümleyeninin eleman sayısı artı B'nin eleman sayısı artı B'nin tümleyeninin eleman sayısı ve sağ taraftan da 12 ile 18'i toplarsak 30.
Biz şöyle dedik: A'nın eleman sayısı ile onun tümleyeninin eleman sayısını toplarsak evrenselin eleman sayısını verir.
Aynı şekilde B gibi bir kümeyle de onun tümleyeninin eleman sayısını toplarsak o da yine aynı şekilde evrenselin eleman sayısını verecektir ki bu 30'a eşitmiş O zaman demek ki iki tane evrenselin eleman sayısı burada 30'sa demek ki biz evrenselin eleman sayısının burada 15 olduğunu söyleriz yani zaten bize onu soruyordu, cevap da
