Küme Kavramı

Merhabalar arkadaşlar, şimdi kümeler konusuna giriş yapıyoruz.
Arkadaşlar ilk önce buraları okuyarak buradaki boşlukları dolduralım.
Şimdi kümeler diyor ki bize, iyi tanımlanmış birbirinden farklı nesneler topluluğuna biz arkadaşlar küme diyeceğiz.
Buradaki şartımız arkadaşlar iyi tanımlanmış olması yani aslında biz burada nesnellik arıyoruz.
Çok nesnellik olmadığında öznellik olduğunda biz ona küme diyemeyiz.
Bir kümeyi oluşturan nesnelerin her birine ne diyoruz?
Kümenin bir elemanı diyoruz.
Kümenin bir elemanı.
Bununla alakalı sorular mevcuttur çok fazla kez karşılaşırız eleman kavramıyla.
Peki kümeler nasıl gösteriyormuş?
Kümeler diyor büyük harflerle gösterilir arkadaşlar.
A, B, C bu şekilde devam edebilir hangi harf olduğunun bir önemi yok ama büyük harfle gösterilmesi gerekir arkadaşlar.
Kümelerin bir a elemanı A kümesine ait ise biz bu sefer diyeceğiz ki a elemanıdır A diyeceğiz.
Buradaki eleman anlamını katar sol taraftaki buradaki küçük harfin ya da sayının herhangi bir şey fark etmez sağ taraftaki kümenin içinde olduğunu söyler.
Bu şekilde gösterilir.
Eğer ait değilse yani a elemanı A kümesine ait değilse bu sefer de nasıl göstereceğiz?
a eleman değildir A diyeceğiz yani hep üstüne çizgi çektiğimiz gibi burada da üstüne çizgi çektiğimizde bu da bize olumsuzluğu hatırlatacak.
Bir A kümesinin eleman sayısı ise bu da s(A) ile gösterilir, buraya da sayı anlamını katan s'den aklımıza getirebiliriz.
Bu da kümenin içinde ne kadar eleman varsa onun adedini bize söyleyecektir.
Şimdi kümelerin gösterilişini inceleyelim.
Kümeler farklı farklı gösterebilirler.
3 farklı şekilde gösterebiliyoruz biz kümeleri.
Şimdi bunları inceleyelim bakalım.
Kümeye ait elemanlar küme parantezi olan şu şekildeki bu şekil içerisine aralarına virgül konularak yazılmasına biz arkadaşlar liste yöntemi ile gösterim diyeceğiz.
Liste yöntemiyle gösterimdir.
Peki buna örnek burada arkadaşlar mesela bakınız A kümesi parantezi açmış ve aralarına virgül koyarak burada 1'den 9'a kadar olan sayıları yazmış bu şekildeki gösterime biz liste yöntemiyle gösterim diyoruz.
Kümeye ait her elemanın özelliği yazılarak yapılan gösterim biçimi ise arkadaşlar ortak özellik yöntemi ile gösterim biçimidir.
Ortak özellik yöntemidir.
Peki bu nedir mesela bakınız burada biz ne demişiz A kümesine açmışız parantez içine yine aynı şekilde.
x, şurada bir çizgi var ve x tek rakam yani biz ne yapıyoruz ayrı ayrı tek rakamları yazmak yerine onların hepsinin tek rakam olduğunu görüyorsak aynı şeyleri sağladığını görüyorsak o zaman kısaca bu şekilde yazabiliyoruz ve arkadaşlar şuradaki sembol yani buradaki sembol, bunun yerine farklı olarak iki nokta üst üste konulabilir bu öyle ki anlamına gelir arkadaşlar yani şunu demeye çalışıyor: sol tarafta yazdığım buradaki değişken sağ taraftakileri sağlıyor yani sağ tarafta ne yazıldıysa onlardan ibaret anlamına gelir ve öyle ki şeklinde okunur yani bunun okunuşu şöyle olacak: x öyle ki x'ler tek rakamlardan oluşur gibi yani tek rakamları da burada söyleyecek olursak mesela 1 işte 3, 5, 7, 9 bunların mesela bizim aklımıza gelmesi gerekir.
Dediğimiz gibi illa uzun çizgi olmasına gerek yok iki nokta üst üste de burada gelebilir arkadaşlar.
Peki, son gösterim şekli.
Bu da Venn şemasıyla gösterim.
Kümenin elemanları kapalı bir eğri içine elemanların yanında nokta yazarak gösterilmesine biz ne diyoruz arkadaşlar?
Venn şeması diyoruz.
Venn şeması ile gösterim yöntemidir.
Peki mesela burada bir tane örnek verdik burada bir elips çizilmiş, kümenin ismi sol üst tarafına yazılmış.
Tabii yine yazıldığının çok da bir önemi yok ama büyük harfle yazılması lazım.
Farklı farklı harfler gelebilir ve içini rastgele bir şekilde dağıtmışız.
İlla burada elipsin çizilmesine gerek yok burada farklı farklı işte ne bileyim kareler çizilebilir veya dikdörtgen çizilebilir üçgen çizilebilir bunun bir önemi yok.
Önemli olan kapalı bir eğri içine yanına nokta koyarak elemanları yazmaktır.
Peki şimdi ilk örneğimize bakalım.
Aşağıda verilen burada birkaç tane ifade var hangilerini küme belirttiğini soruyor yani biz ne yapacağız, iyi tanımlanmış nesneler topluluğu bulmaya çalışacağız.
Birazcık da nesnellik arayacağız burada.
Mesela birincisinde 5'in tam katı olan doğal sayılar.
Evet bu bir küme belirtir.
Ben hatta bunun bakın örneklerini yazabiliyorum bir karışıklık oluşturmadığı için biz buna da ne deriz?
Biz buna küme belirtir deriz.
Burada tiki attık.
İkincisi "matematik kelimesinin harfleri" diyor.
Evet bu da bir küme belirtir arkadaşlar, hatta biz bunun kümesini yazabiliriz.
Matematik kelimesinde hangi harfler varsa onları yazacağız.
Tabi bir kere yazacağız bunları.
Mesela m'den iki kere var.
Biz bunu bir kere yazacağız ve sırasının aslında çok da bir önemi yok ama şu şekilde devam eder bu: M, A, T, E, ...
bu şekilde devam edecektir.
hepsini doldurmayalım ama bunun da küme belirttiğini söyleyebiliriz.
En güzel şehirler.
şimdi bunun hakkında bir ton şey vardır değil mi yani mesela kimi İstanbul beğenir, kimi Ankara'yı beğenir, herhangi bir nesnellik yok.
İyi tanımlanmışlık yok.
O zaman demek ki biz bu tarz ifadelere küme diyemeyiz.
kafayı karıştırıyor olabilir.
Şimdi sıfırdan küçük doğal sayı var mı?
Yok.
Şimdi yok diye biz buna küme belirtmiyor diyemeyiz.
Sıfırdan küçük doğal sayıların olmaması bunun küme verilmeyeceğini göstermez.
Sonuçta bu da bir küme belirtir ama boş küme belirtir ki biz hatta bunu ileride göstermiş olacağız bu şekilde iki parantezin içine hiçbir şey yazmayarak biz bunun boş küme olduğunu da söylemiş olacağız yani bu da dediğimiz gibi küme belirtir.
Evet, bir örnek daha inceleyelim.
Aşağıdaki şekilde A kümesinin Venn aşaması ile gösterimi verilmiştir.
Eksi gidilmiş.
Bunlar yanına nokta koyularak gösterilmiş "Buna göre A kümesi ile ilgili olarak verilenlerden hangileri doğrudur?
" diyor.
Şimdi inceleyelim bakalım.
"A eşittir eksi 3, eksi 2, eksi 1, 0, 1, 2, 3 şeklinde liste yöntemi ile gösterilebilir." diyor.
Evet arkadaşlar gösterebilir bu.
Venn şemasıyla gösterime biz ne yaparız?
Aralarına virgülü koyarak yazdığımızda biz bunu liste yöntemiyle göstermiş oluruz.
İkincisi A eşittir diyor ki x öyle ki x kare küçüktür yöntemi ile gösterilir diyor.
Evet bu şekilde gösterebilir çünkü x karenin 10'dan küçük olup tam sayı olması bana tam olarak buradaki sayıları verir mesela.
Arkadaşlar buraya 3'ü koyun 3'ün karesi 9.
10'dan küçük.
yani her türlü buradaki hepsini ben aynı şekilde sağlatabiliyorum.
O zaman demek ki bunu da ortak özellik yöntemi ile gösterebilir diyoruz biz.
"s(A) eşittir 7" diyor yani bunun içinde yedi tane eleman vardır diyor sayalım 1 olduğu için biz bunun da yine aynı şekilde doğru olduğunu söyleriz.
2 ve 3 bunun elemanıdır diyor.
Bakalım, 2 3 var mı?
Evet burada iki üç elemanları var o zaman demek ki bunları biz eleman olarak kabul edebiliriz.
Sonuncusu kümenin içine 2'yi yazmış ve elemandır A demiş.
Şimdi bu çok sıkıntılı bir durum şimdi kümenin içinde 2 var diyorsa biz bunu aynı şekilde şemanın içinde de görmeliydik yani şurada bir yerde mesela şöyle bir şey görseydik bu olurdu.
Şöyle bir şey olsaydı eleman olarak kabul edebilirdik ama böyle bir şey görmediğimiz için biz buna eleman diyemeyiz.
İleride göstereceğiz biz bunu, alt küme diyebiliriz.
O zaman biz bunu yanlış olarak kabul etmiş oluruz.