Merhabalar arkadaşlar, şimdi kartezyen çarpımın grafiğini göreceğiz.
R, gerçek sayılar kümesi olmak üzere burada gerçel veya reel sayılar da denilebilir.
R iki R kartezyen R, x virgül y'ler öyle ki x elemandır reel sayılar ve y elemandır reel sayılar.
Buradaki kümelerinin oluşturduğu düzleme biz dik koordinat düzlemi diyoruz.
Dik koordinat düzlemi, buraya da yazmış olalım.
Dik koordinat düzlemi denir.
Peki bu dik koordinat düzleminden kastımız nedir?
x ekseni yatay ekseni olmak üzere y ekseni dikey ekseni olmak üzere bu şekilde bunların dik kesilmesiyle oluşturulan bir düzlemdir.
Burada arkadaşlar birinci bileşen x ekseninden, ikinci bileşen de y ekseninden seçilerek bunların tam olarak ortak olarak birleştirildiği nokta bizim işte noktamızı belirtecek yani oradaki sıralı ikilimizi belirtecek.
Biz buradaki kısma şu şekilde yazabiliriz: x virgül y şeklinde yazabiliriz.
Peki biz bunu normal bizim bildiğimiz A kartezyen B veya B kartezyen A şeklinde nasıl yapacağız?
Onu da arka taraftaki örnekle gösterelim.
Şimdi örneğimiz A kümesi verilmiş, B kümesi verilmiş.
Buna göre A kartezyen B ve B kartezyen A kümelerini grafikte gösteriniz demiş.
Şimdi önce A kartezyen B ve B kartezyen A'yı ben hemen şuraya oluşturmak istiyorum hızlıca.
A kartezyen B'yi oluşturacak olursam ilk bileşenleri A'dan, ikinci bileşenleri B'den seçilecek.
Hızlıca yazmak istiyorum eksi 1 eksi 2 daha sonra eksi 1'e burada 2 olacak.
Daha sonra sonra 1'e eksi 2 ve en son da 1'e burada 2 olmuş olacak.
Tüm sıralı ikililerden oluşturduk.
B kartezyen A'yı da oluşturalım, ne olacak?
Sıralı ikililer bu sefer birinci bileşen B kümesinden seçilecek, ikinci bileşenler de A kümesinden seçilecek.
O zaman şöyle olacak: Eksi 2'ye eksi 1, daha sonra eksi 2'ye 0, daha sonra eksi 2'ye 1 olacak.
Daha sonra aynısını 2 için de yapacağız, 2'ye eksi 1, burada 2'ye 0 ve daha sonra 2'ye de 1 olmuş olacak bunları oluşturduk.
Tamam şimdi bunları grafiklerde gösterelim.
Şimdi A kartezyen B'yi oluşturmak istiyorum ilk önce, A kartezyen B diyorsam buradaki birinci yazılanı x eksenine yerleştireceğim demektir yani yatay eksene ikincisini de düşey eksene yani dikey eksene yerleştireceğim demektir.
O zaman demek ki A'yı buraya koydum, B'yi de buraya koymuş oldum.
Şimdi tüm sıralı ikililere artık biz bu grafikte göstermiş olacağız.
Burada -2, -1, 1, 2 ve -2,-1,1,2 şekilde gösterilmiş oldu.
Şimdi ne yapalım mesela -1'e -2, -1 burada -2 de burada.
İlk önce ne yapacağız?
Bunların ikisini şöyle birleştireceğiz ve içini tarayacağız.
Daha sonra eksi 1'e 2, yani yukarı tarafa gitmem söyleniyor.
O zaman burada olacak.
Daha sonra Burası 0'a 0 noktasıdır.
0'a -2 tam olarak geldiğinde şurada birleşecektir.
Daha sonra 0'a 2, tam tersi yukarı gidecek.
Burada birleşecek üstünü taradım.
yani yukarı gideceğim.
Şöyle birleştirmiş oldum.
Bu bize A kartezyen B'yi gösterir ve bu şekilde biz buradaki noktaları oluşturmuş oluruz.
Peki B kartezyen A'yı oluşturalım.
Şimdi B kartezyen A diyorsak o zaman demek ki burası B olacak burası da A olmuş olacak.
Şimdi B o zaman eksi 2 ve 2lerden oluşuyor İlk önce eksi 2'yi eksi 1'e götürelim.
O zaman demek ki eksi 2 ile eksi 1'i birleştirdiğimizde burada oluyor, birazcık karışabilir burası.
Eksi sonra 2'ye eksi 1, o zaman yine aynı şekilde şurada olacak, birleştirdim.
2'ye 0 burada olacak çünkü şurası orijin noktası yani 0'a 0.
Daha sonra yukarı gittiğimizde de burada 2'ye 1'i oluşturmuş oluyoruz daha sonra bunları şu şekilde kapatarak biz A kartezyen B'yi ve B kartezyen A'yı oluşturmuş oluyoruz.
Peki şimdi diğer örneğimiz, bir A kümesi verilmiş bir B kümesi verilmiş Buna göre B kartezyen A kümesinin grafiğini çizip grafiğin elemanları açıkta bırakmayan en küçük çaplı çemberin çapı bulunuz demiş.
Şimdi burada çemberimiz burada halihazırda duruyor.
Ben önceden burada B kartezyen A'yı oluşturdum çünkü bu bizim çok fazla zamanımızı yiyecek.
O yüzden bunu direkt olarak buraya getirdim, bakınız B'yi x eksenine yani yatay eksene yerleştirdim.
A'yı da düşey eksene yani dikey eksene yerleştirdim ve daha sonra buradaki noktaları belirttim.
Önceden yaptığım için birazcık daha düzenli gözüküyor bu.
Şimdi ne yapıyorum?
Bakınız buradakilerin hepsini içine alacak şekilde ben buradaki çemberi getiriyorum, şimdi çemberi tam olarak yerleştirmeye çalışacağım ama yine çizim olduğu için tam olarak yerleşmeyebilir ama şu anda tam olarak oturttuğumu düşünüyorum.
Evet, bakınız şimdi burada bir çemberi hiçbir elemanı dışarıda bırakmayacak şekilde yerleştirmiş olduk.
Bize çapı soruyor şimdi.
O zaman çapı ne yaparız?
Bakınız çapı şuradan şuraya birleştirdiğimizde çapı bulmuş oluruz hatta bunun üçgenden yani pisagordan da ne kadar uzunlukta olduğu bulabiliriz.
Bakınız onu da oluşturmak istiyorum.
Mesela şurası ne kadar uzunluktadır?
6 uzunluğundadır şurası 8 uzunluğundadır.
Çünkü eksi diye şurası 6 olacak, şurası 8 olacak bakınız burada bir dik oluşmuş oldu yani uzunluğunu da burada bulmuş oluruz.
R, gerçek sayılar kümesi olmak üzere burada gerçel veya reel sayılar da denilebilir.
R iki R kartezyen R, x virgül y'ler öyle ki x elemandır reel sayılar ve y elemandır reel sayılar.
Buradaki kümelerinin oluşturduğu düzleme biz dik koordinat düzlemi diyoruz.
Dik koordinat düzlemi, buraya da yazmış olalım.
Dik koordinat düzlemi denir.
Peki bu dik koordinat düzleminden kastımız nedir?
x ekseni yatay ekseni olmak üzere y ekseni dikey ekseni olmak üzere bu şekilde bunların dik kesilmesiyle oluşturulan bir düzlemdir.
Burada arkadaşlar birinci bileşen x ekseninden, ikinci bileşen de y ekseninden seçilerek bunların tam olarak ortak olarak birleştirildiği nokta bizim işte noktamızı belirtecek yani oradaki sıralı ikilimizi belirtecek.
Biz buradaki kısma şu şekilde yazabiliriz: x virgül y şeklinde yazabiliriz.
Peki biz bunu normal bizim bildiğimiz A kartezyen B veya B kartezyen A şeklinde nasıl yapacağız?
Onu da arka taraftaki örnekle gösterelim.
Şimdi örneğimiz A kümesi verilmiş, B kümesi verilmiş.
Buna göre A kartezyen B ve B kartezyen A kümelerini grafikte gösteriniz demiş.
Şimdi önce A kartezyen B ve B kartezyen A'yı ben hemen şuraya oluşturmak istiyorum hızlıca.
A kartezyen B'yi oluşturacak olursam ilk bileşenleri A'dan, ikinci bileşenleri B'den seçilecek.
Hızlıca yazmak istiyorum eksi 1 eksi 2 daha sonra eksi 1'e burada 2 olacak.
Daha sonra sonra 1'e eksi 2 ve en son da 1'e burada 2 olmuş olacak.
Tüm sıralı ikililerden oluşturduk.
B kartezyen A'yı da oluşturalım, ne olacak?
Sıralı ikililer bu sefer birinci bileşen B kümesinden seçilecek, ikinci bileşenler de A kümesinden seçilecek.
O zaman şöyle olacak: Eksi 2'ye eksi 1, daha sonra eksi 2'ye 0, daha sonra eksi 2'ye 1 olacak.
Daha sonra aynısını 2 için de yapacağız, 2'ye eksi 1, burada 2'ye 0 ve daha sonra 2'ye de 1 olmuş olacak bunları oluşturduk.
Tamam şimdi bunları grafiklerde gösterelim.
Şimdi A kartezyen B'yi oluşturmak istiyorum ilk önce, A kartezyen B diyorsam buradaki birinci yazılanı x eksenine yerleştireceğim demektir yani yatay eksene ikincisini de düşey eksene yani dikey eksene yerleştireceğim demektir.
O zaman demek ki A'yı buraya koydum, B'yi de buraya koymuş oldum.
Şimdi tüm sıralı ikililere artık biz bu grafikte göstermiş olacağız.
Burada -2, -1, 1, 2 ve -2,-1,1,2 şekilde gösterilmiş oldu.
Şimdi ne yapalım mesela -1'e -2, -1 burada -2 de burada.
İlk önce ne yapacağız?
Bunların ikisini şöyle birleştireceğiz ve içini tarayacağız.
Daha sonra eksi 1'e 2, yani yukarı tarafa gitmem söyleniyor.
O zaman burada olacak.
Daha sonra Burası 0'a 0 noktasıdır.
0'a -2 tam olarak geldiğinde şurada birleşecektir.
Daha sonra 0'a 2, tam tersi yukarı gidecek.
Burada birleşecek üstünü taradım.
yani yukarı gideceğim.
Şöyle birleştirmiş oldum.
Bu bize A kartezyen B'yi gösterir ve bu şekilde biz buradaki noktaları oluşturmuş oluruz.
Peki B kartezyen A'yı oluşturalım.
Şimdi B kartezyen A diyorsak o zaman demek ki burası B olacak burası da A olmuş olacak.
Şimdi B o zaman eksi 2 ve 2lerden oluşuyor İlk önce eksi 2'yi eksi 1'e götürelim.
O zaman demek ki eksi 2 ile eksi 1'i birleştirdiğimizde burada oluyor, birazcık karışabilir burası.
Eksi sonra 2'ye eksi 1, o zaman yine aynı şekilde şurada olacak, birleştirdim.
2'ye 0 burada olacak çünkü şurası orijin noktası yani 0'a 0.
Daha sonra yukarı gittiğimizde de burada 2'ye 1'i oluşturmuş oluyoruz daha sonra bunları şu şekilde kapatarak biz A kartezyen B'yi ve B kartezyen A'yı oluşturmuş oluyoruz.
Peki şimdi diğer örneğimiz, bir A kümesi verilmiş bir B kümesi verilmiş Buna göre B kartezyen A kümesinin grafiğini çizip grafiğin elemanları açıkta bırakmayan en küçük çaplı çemberin çapı bulunuz demiş.
Şimdi burada çemberimiz burada halihazırda duruyor.
Ben önceden burada B kartezyen A'yı oluşturdum çünkü bu bizim çok fazla zamanımızı yiyecek.
O yüzden bunu direkt olarak buraya getirdim, bakınız B'yi x eksenine yani yatay eksene yerleştirdim.
A'yı da düşey eksene yani dikey eksene yerleştirdim ve daha sonra buradaki noktaları belirttim.
Önceden yaptığım için birazcık daha düzenli gözüküyor bu.
Şimdi ne yapıyorum?
Bakınız buradakilerin hepsini içine alacak şekilde ben buradaki çemberi getiriyorum, şimdi çemberi tam olarak yerleştirmeye çalışacağım ama yine çizim olduğu için tam olarak yerleşmeyebilir ama şu anda tam olarak oturttuğumu düşünüyorum.
Evet, bakınız şimdi burada bir çemberi hiçbir elemanı dışarıda bırakmayacak şekilde yerleştirmiş olduk.
Bize çapı soruyor şimdi.
O zaman çapı ne yaparız?
Bakınız çapı şuradan şuraya birleştirdiğimizde çapı bulmuş oluruz hatta bunun üçgenden yani pisagordan da ne kadar uzunlukta olduğu bulabiliriz.
Bakınız onu da oluşturmak istiyorum.
Mesela şurası ne kadar uzunluktadır?
6 uzunluğundadır şurası 8 uzunluğundadır.
Çünkü eksi diye şurası 6 olacak, şurası 8 olacak bakınız burada bir dik oluşmuş oldu yani uzunluğunu da burada bulmuş oluruz.
