Birinci bileşeni bir A kümesinden, ikinci bileşeni bir B kümesinden oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine biz A kartezyen çarpım B kümesi deriz ve bunun gösterilişi A çarpı B şeklinde olacak.
Buraya çarpı sembolü koyduğumuzda o bize kartezyen anlamını katacak.
Peki A kartezyen B kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi nedir?
A kartezyen B eşittir A virgül B sıralı ikilileri bunu görmüştük bu sıralı ikililer öyle ki a elemandır A ve b elemandır B.
Yani şunu demeye çalışıyoruz birinci bileşen birinci kümeden ikinci bileşen de ikinci kümeden alınacak.
Peki biz burada B kartezyen A'yı da kendimiz yazalım aslında arka taraftaki soruda göstereceğiz ama burada oluşturmak istiyorum.
B kartezyen A da bu sefer bu şekilde olur, b virgül a öyle ki bu sefer b elemandır B olacak burada ve a elemandır A olacak.
Bakınız bunun da zaten sonuçlarının farklı geldiğini göreceğiz.
Şimdi bu örneğimizde A ve B kümeleri verilmiş.
A kartezyen B, B kartezyen A, A kartezyen A kümelerini bulunuz diyor.
Şimdi o zaman demek ki ne yapacağız biz ilk önce A kartezyen B'yi oluştururken A'dan elemanlar seçeceğiz ve yanına B'den elemanlar seçerek sıralı ikililer oluşturacağız, yani şu şekilde A kartezyen B şöyle başlayacak küme sembolünü açtık şimdi, ilk önce a elemanını seçersek yanına b'den 4 gelebilir ve yine a'yı seçtiğimizde yanında 5 gelebilir bu sıralı ikililer var, daha sonra aynı şekilde devam ediyorum b'yi aldığımızda 4, daha sonra yine b'yi aldığımızda B'den alıp da A'ya yazamayız ilk olarak.
İlk önce c'den alacağız daha sonra yanına oluşturmuş olduk burada.
Bir de B kartezyen A kümesini oluşturalım.
B kartezyen A bu sefer ne olacak?
İlk elemanlar B'den seçilecek, ikinci elemanlar A'dan seçilecek.
O zaman demek ki ilk elemanlar B'den seçilecekse 4 virgül a, daha sonra 4 virgül b ve daha sonra 4 virgül c olur.
Bakınız değişti zaten direkt mevzu daha sonra yine 5 virgül a 5 virgül burada b ve en son olarak da 5 virgül c olmuş olacak.
A kartezyen B ve B kartezyen A'nın içindeki elemanların farklı olduklarını görüyoruz burada.
Bunu da zaten özelliklerde göstermiş olacağız Bir de A kartezyen A'yı oluşturalım.
A kartezyen A nasıl oluşuyor, yani ikisini de aynı kümeden seçmemiz isteniyor.
İlk önce a ile başlayacak olursak a virgül a gelir, daha sonra a virgül b gelecek, daha sonra a virgül c gelecek, daha sonra devam edelim b virgül a sırayla devam ediyorum b virgül b ve b virgül c olacak en son olarak da artık c kaldı, c virgül a, c virgül b ve burada en son olarak da c virgül c oluşmuş olacak.
Burada A kartezyen B'yi, B kartezyen A'yı, A kartezyen A'yı da göstermiş olduk ve şu ikisinin de farklı olduklarına dikkat çekmek istiyorum.
Peki A, B, C kümeleri verilmiş bu örnekte.
A kartezyen A'nın burada oluşturulmuş kümesi, C kartezyen B de oluşturulmuş olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi B kartezyen A kümesinin bir elemanıdır diye soruluyor ve şıklar var.
Şimdi ilk önce biz B kartezyen A kümesinin elemanlarını bulacaksak demek ki A, B ve C'nin elemanlarını bulalım da bu kümelerin elemanlarını bulalım da ona göre karar verelim.
Peki o zaman ilk önce ben A'ya bakmak istiyorum.
Bakınız bu A kartezyen A'yı oluşturmuş.
İncelediğimizde 1,1 1,3 3,1 3,3.
O zaman demek ki bakınız 1,1 burada ikisi zaten var daha sonra 3,3 gitmiş.
Demek ki A'nın içinde sadece 1 ile 3 var demektir bu.
B'nin içinde peki neler var B kümesinin içinde?
C kartezyen B diyor yani ikinci bileşenler B'ler.
İkinci bileşenlere bakacağım 2,3 2,3.
O zaman demek ki B'de de 2 ile 3 var.
C'de o zaman demek ki burada C kartezyen B'de verilenlerden birinci bileşenler olacak yani a,a,b,b.
O zaman demek ki bunun içinde de farklı olarak a ile b varmış.
Peki o zaman demek ki B kartezyen A'yı oluşturmak istiyoruz yani şuradan şurayı oluşturmak istiyoruz.
Birinci bileşenler B'den seçilecek ikinci bileşenler de A'dan seçilecek.
Şimdi sayılar var burada demek ki burada harfli olanları görmemize gerek yok çünkü harf olmadığı için o kümelerimizde de çıkmayacaktı zaten öyle sıralı ikililer.
Daha sonra 1 virgül 1 B'de 1 eleman olmadığı için bu gelmez.
gelmez çünkü birinci bileşenleri B'de olmak zorunda.
3 virgül 3 bakınız B'de 3 var A'da da 3 var.
Demek ki kesinlikle böyle bir sıralı ikili gelecektir burada, yani cevabımız Denizli olur.
Sıralı ikili nedir?
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için x ∈ A ve y ∈ B olmak üzere, (x,y) şeklinde yazılan ifadelere sıralı ikili denir. Verilen (x,y) sıralı ikilisinde x birinci bileşen iken, y ikinci bileşendir.
x → birinci bileşen
y → ikinci bileşen
Sıralı ikililerde bileşenlerin sırası önemlidir.
Örneğin;
x ≠ y olmak üzere (x,y) ≠ (y,x)
(a,b) ve (c,d) sıralı ikilileri birbirine eşit ise sıralı ikililer (a,b) = (c,d) şeklinde ifade edilir. Bu durumda a = c, b = d denir.
Kümelerde kartezyen çarpım nedir?
A ve B boş kümeden farklı olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen çarpım B kümesi denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A x B şeklinde gösterilir.
A x B kümesi ortak özellik yöntemi ile;
A x B = {(a,b) | a ∈ A Λ b ∈ B} şeklinde ifade edilir.
Örneğin;
A = {a,b,c}
B = {1,2} ise
A x B = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
A x B = {(1,a),(2,a),(1,b),(2,b),(1,c),(2,c)}
B x B = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} olur.
Kümelerde kartezyen çarpımı işlem özellikleri nelerdir?
- A ve B birbirinden farklı iki küme ise A x B ≠ B x A
- A x ∅ = ∅ x A = ∅
- s(A x B) = s(A)*s(B) dir.
- s(A x B) = s(B x A) dir.
Kartezyen çarpım grafiği nasıl çizilir?
R2 = R x R = {(x,y) | x ∈ R} kümesinin oluşturduğu düzleme dik koordinat sistemi denir.
Kartezyen çarpımı sonucunda elde ettiğimiz sıralı ikililerin koordinat sisteminde birer nokta olarak göstererek kartezyen çarpımın grafiğini elde ederiz.
Örneğin;
A = {-1,0,1}
B = {-2,2}
A x B kümesini grafik ile gösterelim.
Öncelikle kartezyen çarpım kümesini yazalım.
A x B = {(-1,-2),(-1,2),(0,-2),(0,2),(1,-2),(1,2)} olur.
Daha sonra bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim.
Kartezyen çarpımın grafiksel gösterimini elde etmiş olduk.
