Merhabalar arkadaşlar, şimdi özelliklerini inceleyeceğiz kartezyen çarpımın.
A ve B birbirlerinden farklı iki küme ise o zaman A kartezyen B ile B kartezyen A'nın birbirlerine eşit olmadığını söyleriz çünkü bundan önceki örnekleri gördüğümüzde bunların içindeki sıralı ikililer farklı geliyordu, o yüzden eşit değillerdir.
A kartezyen boş küme eşittir boş küme kartezyen A bunun sonucu arkadaşlar boş küme gelecektir çünkü boş kümeyle biz A'yı burada sıralı ikililer oluşturamayacağımız için boş küme oluşur burada.
A kartezyen B'nin eleman sayısı ayrı ayrı eleman sayılarının çarpımına eşittir yani A'nın eleman sayısıyla B'nin eleman sayısının çarpımına eşittir çünkü onun kombinasyonlarından bir sıralı ikililer oluşturuyoruz ve son olarak da A kartezyen B'nin eleman sayısıyla B kartezyen A'nın eleman sayıları birbirine eşittir.
Adet olarak aynı gelirler ama içleri aynı olmak zorunda değil zaten kümeler birbirlerinden farklı olduğunda içleri de aynı gelmiyordu.
Şimdi evet bu örneğimiz, A ve B kümeleri için A'nın eleman sayısı 7.
A kartezyen B'nin eleman sayısı 28 olduğuna göre B'nin eleman sayısı nedir diye bize sorulmuş.
Şimdi o zaman biz neyi biliyoruz?
A kartezyen B'nin eleman sayısının ayrı ayrı elemanlarının çarpımına eşit olduğunu biliyoruz yani bu şekilde formülünü yazabiliriz.
O zaman buraya ki her tarafı 7'ye böldüğümde B'nin eleman sayısını da burada 4 olarak oluşturmuş oluyorum.
Evet, diğer bir örneğimiz.
A'nın eleman sayısı B kartezyen A çarpım kümesinin eleman sayısının alabileceği en büyük ve en küçük değerin toplamı kaçtır diye bize sorulmuş.
Şimdi biz B kartezyen A'nın eleman sayısını nasıl buluyoruz?
B'nin eleman sayısıyla A'nın eleman sayısını burada çarparak buluyoruz.
O zaman demek ki en büyük olurken buradakileri iyice olabildiğince büyük tutmam lazım, en küçük olduğunda da bunları iyice küçültmem lazım.
Peki şimdi A birleşim B 7, A'da da dört tane eleman var.
Peki biz en büyük için şöyle yapsak olmaz mı: 1 tane küme ve onun dışında da bir küme A'yı buraya yazıyorum A'yı şöyle yazalım A'yı buraya yazdım.
B'yi de buraya yazdım.
Bakınız A'da dört tane eleman var, A birleşim B'de de 7 tane eleman var.
Yani aslında şuraya üç tane gelecek.
Neden?
Çünkü bakınız A birleşim B'de burada hepsini alırız yani elde etmiş oluyoruz birleşimde.
Biz bir de aynı zamanda B'nin eleman sayısını da ne yapmış oluyoruz?
7 yapmış oluyoruz.
Evet burada ilk başta A'nın eleman sayısı 4 verilmişti.
Biz de B'nin eleman sayısını olabildiğince en maksimumda 7 yapabildik.
Yani aslında birleşim kümesine eşit getirebildik biz bunu.
O zaman demek ki bunları çarptığımızda ki bu B kartezyen A'nın eleman sayısının en büyük olduğunu bize verir.
Peki en küçüğü nasıl yaparız?
Biz bu kümeleri birbirlerinden komple ayırırız.
Çünkü komple ayırdığımızda burada A ve B olarak A'nın içinde 4 tane eleman var, A birleşim B'de ne yapacağız?
Her ikisinin elemanlarını da toplayacağız burada.
O zaman demek ki B'nin içine ben en fazla kaç tane eleman koyabiliyorum?
3 tane eleman koyabiliyorum.
O zaman demek ki 4 ile 3'ün toplamından birleşim kümesi olan 7'yi veriyor bize.
Ne yapacağız?
Bunları çarptığımızda kartezyen çarpımın eleman sayısını elde etmiş oluyoruz.
O zaman demek ki ne yapalım, 4 ile 3'ü çarparsak 12 olarak burada bulmuş oluruz ki bu da en küçük değerdir.
En büyük değer 28 en küçük değer 12 bunların toplamları sorulmuş.
O zaman demek ki en son olarak 28 ile Evet son örneğimiz.
Şimdi A kümesi verilmiş, B kümesi verilmiş.
Buna göre A kartezyen B kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde B virgül iki sıralı ikilisi olan eleman bulunur diyor.
Şimdi biz alt kümeleri nasıl elde ediyorduk?
İlk başta eleman sayısına ulaşmamız lazım, o eleman sayısını 2'nin kuvvetine yerleştirdik.
O zaman demek ki A kartezyen B kümesinde kaç eleman olduğunu bulalım.
Yani direkt olarak A'nın ve B'nin eleman sayılarını çarpalım.
Bunda 4 tane eleman var, bunda da 3 tane eleman var demek ki bunları çarptığımızda biz A kartezyen B'nin eleman sayısının 12 olduğunu söyleriz.
Şimdi normalde hiçbir şart olmasa biz buraya Yani bütün alt kümeler burada.
Şimdi bu alt kümelerde biz b virgül 2 elemanını istiyorsak demek ki b virgül 2 elemanını koyduktan sonra yani b virgül 2 elemanını koyduktan sonra yanına kalan 11 tane elemandan biz alt kümeler oluşturarak buluyorduk.
Alt küme sorularında böyle yapıyorduk.
O zaman demek ki ne yapacağız?
Bu 11 tane eleman oluşturduğu alt küme sayısı bize cevabı verecektir yani 2 üzeri 11 olarak biz bunu bulmuş oluruz.
A ve B birbirlerinden farklı iki küme ise o zaman A kartezyen B ile B kartezyen A'nın birbirlerine eşit olmadığını söyleriz çünkü bundan önceki örnekleri gördüğümüzde bunların içindeki sıralı ikililer farklı geliyordu, o yüzden eşit değillerdir.
A kartezyen boş küme eşittir boş küme kartezyen A bunun sonucu arkadaşlar boş küme gelecektir çünkü boş kümeyle biz A'yı burada sıralı ikililer oluşturamayacağımız için boş küme oluşur burada.
A kartezyen B'nin eleman sayısı ayrı ayrı eleman sayılarının çarpımına eşittir yani A'nın eleman sayısıyla B'nin eleman sayısının çarpımına eşittir çünkü onun kombinasyonlarından bir sıralı ikililer oluşturuyoruz ve son olarak da A kartezyen B'nin eleman sayısıyla B kartezyen A'nın eleman sayıları birbirine eşittir.
Adet olarak aynı gelirler ama içleri aynı olmak zorunda değil zaten kümeler birbirlerinden farklı olduğunda içleri de aynı gelmiyordu.
Şimdi evet bu örneğimiz, A ve B kümeleri için A'nın eleman sayısı 7.
A kartezyen B'nin eleman sayısı 28 olduğuna göre B'nin eleman sayısı nedir diye bize sorulmuş.
Şimdi o zaman biz neyi biliyoruz?
A kartezyen B'nin eleman sayısının ayrı ayrı elemanlarının çarpımına eşit olduğunu biliyoruz yani bu şekilde formülünü yazabiliriz.
O zaman buraya ki her tarafı 7'ye böldüğümde B'nin eleman sayısını da burada 4 olarak oluşturmuş oluyorum.
Evet, diğer bir örneğimiz.
A'nın eleman sayısı B kartezyen A çarpım kümesinin eleman sayısının alabileceği en büyük ve en küçük değerin toplamı kaçtır diye bize sorulmuş.
Şimdi biz B kartezyen A'nın eleman sayısını nasıl buluyoruz?
B'nin eleman sayısıyla A'nın eleman sayısını burada çarparak buluyoruz.
O zaman demek ki en büyük olurken buradakileri iyice olabildiğince büyük tutmam lazım, en küçük olduğunda da bunları iyice küçültmem lazım.
Peki şimdi A birleşim B 7, A'da da dört tane eleman var.
Peki biz en büyük için şöyle yapsak olmaz mı: 1 tane küme ve onun dışında da bir küme A'yı buraya yazıyorum A'yı şöyle yazalım A'yı buraya yazdım.
B'yi de buraya yazdım.
Bakınız A'da dört tane eleman var, A birleşim B'de de 7 tane eleman var.
Yani aslında şuraya üç tane gelecek.
Neden?
Çünkü bakınız A birleşim B'de burada hepsini alırız yani elde etmiş oluyoruz birleşimde.
Biz bir de aynı zamanda B'nin eleman sayısını da ne yapmış oluyoruz?
7 yapmış oluyoruz.
Evet burada ilk başta A'nın eleman sayısı 4 verilmişti.
Biz de B'nin eleman sayısını olabildiğince en maksimumda 7 yapabildik.
Yani aslında birleşim kümesine eşit getirebildik biz bunu.
O zaman demek ki bunları çarptığımızda ki bu B kartezyen A'nın eleman sayısının en büyük olduğunu bize verir.
Peki en küçüğü nasıl yaparız?
Biz bu kümeleri birbirlerinden komple ayırırız.
Çünkü komple ayırdığımızda burada A ve B olarak A'nın içinde 4 tane eleman var, A birleşim B'de ne yapacağız?
Her ikisinin elemanlarını da toplayacağız burada.
O zaman demek ki B'nin içine ben en fazla kaç tane eleman koyabiliyorum?
3 tane eleman koyabiliyorum.
O zaman demek ki 4 ile 3'ün toplamından birleşim kümesi olan 7'yi veriyor bize.
Ne yapacağız?
Bunları çarptığımızda kartezyen çarpımın eleman sayısını elde etmiş oluyoruz.
O zaman demek ki ne yapalım, 4 ile 3'ü çarparsak 12 olarak burada bulmuş oluruz ki bu da en küçük değerdir.
En büyük değer 28 en küçük değer 12 bunların toplamları sorulmuş.
O zaman demek ki en son olarak 28 ile Evet son örneğimiz.
Şimdi A kümesi verilmiş, B kümesi verilmiş.
Buna göre A kartezyen B kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde B virgül iki sıralı ikilisi olan eleman bulunur diyor.
Şimdi biz alt kümeleri nasıl elde ediyorduk?
İlk başta eleman sayısına ulaşmamız lazım, o eleman sayısını 2'nin kuvvetine yerleştirdik.
O zaman demek ki A kartezyen B kümesinde kaç eleman olduğunu bulalım.
Yani direkt olarak A'nın ve B'nin eleman sayılarını çarpalım.
Bunda 4 tane eleman var, bunda da 3 tane eleman var demek ki bunları çarptığımızda biz A kartezyen B'nin eleman sayısının 12 olduğunu söyleriz.
Şimdi normalde hiçbir şart olmasa biz buraya Yani bütün alt kümeler burada.
Şimdi bu alt kümelerde biz b virgül 2 elemanını istiyorsak demek ki b virgül 2 elemanını koyduktan sonra yani b virgül 2 elemanını koyduktan sonra yanına kalan 11 tane elemandan biz alt kümeler oluşturarak buluyorduk.
Alt küme sorularında böyle yapıyorduk.
O zaman demek ki ne yapacağız?
Bu 11 tane eleman oluşturduğu alt küme sayısı bize cevabı verecektir yani 2 üzeri 11 olarak biz bunu bulmuş oluruz.
