Merhabalar arkadaşlar şimdi ispat kavramları ile alakalı soru çözümlerine devam ediyoruz.
Şimdi ilk örneğimizde bir teorem verilmiş bize.
Diyor ki: "x elemandır eksi 1 ile 0 aralığında ise x, x küpten küçüktür." diyor.
"Yukarıda verilen teoremle ilgili olarak verilen buradaki öncülerden hangileri doğrudur?
" demiş.
Şimdi x elemandır eksi 1 ile 0 aralığında ise yani demek ki negatif kesirli sayılardan bahsediyoruz burada.
Negatif kesirli sayıları aldığımız zaten bu doğru gelecektir.
Neden?
Çünkü eksi 1 bölü 2 seçtiğimiz düşünelim.
Ne olur?
Küpünü aldığınızda eksi 1 bölü 8 gelir.
Aslında normalde sol taraf daha büyük gibidir ama normalde negatiflerde olduğu için bu tam tersi olacaktır yani aslında doğru bir teorem bu.
Ne diyor?
Birinci: "Hipotezi x elemandır eksi 1 virgül 0" diyor Biz hipotezte ne diyorduk?
ise yi bulduktan önceki kısım diyorduk.
x elemandır eksi 1 virgül 0 var.
O zaman demek ki bu bunun hipotezdir yani doğru demiş.
Hükmü x, x küptür demiş.
"x küçüktür x küptür." demiş.
ise nin sağ tarafındaki kısım da bizim için hüküm oluyordu.
x küçüktür x küptür var burada.
O zaman demek ki bu da aynı şeyi söylediği için biz bunu doğru olarak kabul edebiliriz.
Aksine örnek verme yöntemiyle yanlışlığı gösterilebilir Hayır arkadaşlar gösterilemez çünkü burada x'e eğer eksi 1 ile 0 aralığında kesirli sayılardan oluşan yani rasyonel sayılardan oluşan sayılar seçtiğimizde hepsi için bu sağlar.
Hepsi için bu sağladığı için burada aksine örnek verme yöntemi ile bunun yanlışlığı gösterilemez çünkü doğru bir teoremdir bu.
O zaman demek ki buna yanlış deriz.
"Hangileri doğrudur?
" demiş.
Ne diyeceğiz?
Şimdi ikinci örneğimiz.
Burada ne diyor?
"Yukarıda boş bırakılan yerlere hangi kavramlar gelmelidir?
" diyor.
"Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere ....
denir." demiş.
"Doğruluğunu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul eden önermelere de ....
denir." demiş.
Şimdi hatırlayacak olursak doğruluğu ispatlanması gereken önermelere biz teorem diyorduk çünkü teoremleri ortaya attıktan sonra bir de onları ispatlıyorduk.
Nasıl ispatıyorduk?
p ise q şeklinde ispatlar yapmaya çalışıyorduk ve hatta onun da farklı farklı ispat yöntemleri vardı.
İkincisi doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere de biz ne diyeceğiz arkadaşlar?
Aksiyom diyeceğiz.
Bunları herhangi bir şekilde biz ispat etmiyoruz, ilk olduğu şekilde kabul ediyoruz ve o şekildeki kabullerden devam ederek matematiği de zaten oluşturmuş oluyoruz.
Evet sonuncu örneğimiz.
Ne demiş burada?
"Yukarıda verilen ispat yöntemi nedir?
" demiş.
Burada uzunca bir ispat var, teoreme bakalım.
"x elemandır tam sayılar ve x kare artı ne olacak x'i çift seçtiğimizde biz yani ya da bunun sonucunun tek olduğunu söylediğimizde x çift çıkacakmış.
Tamam bakalım şimdi.
Aslında buranın ne olduğuyla çok da ilgilenmemize gerek yok.
İspatı inceleyelim biz.
x elemandır tam sayılar için x kare artı 2x artı 1'in tek ve x'in tek olduğunu söylemiş yani şimdi normalde burada ne var?
p ise q var değil mi?
p ise q var ama bu adam napmış?
Buradaki p'yi normal almış, ve koymuş, x'in de tek olduğunu kabul etmiş yani biz ilk başta çift demiştik.
E o zaman q'ya biz x'in çift olduğunu söylüyorsak o zaman demek ki x'in tek olması da q'nun değilidir yani aslında adamın yapmaya çalıştığı şey p ve q'nun değilini ispatlamak.
Bakalım, devamında o zaman x eşittir 2k artı 1 olacak şekilde k tam sayısı vardır demiş.
Buradaki işlemi bitirmiş.
Şimdi en son inceledikten sonra ne yapmış burada?
Şimdi iki parantezine alması demek bu işlemin sonucunun artık çift olduğunu söylemesi demek.
O da öyle devam ediyor zaten.
2 parantezinde buradaki ifade çift olur.
Bu yüzden de x kare artı 2x artı 1 çift olur demiş.
Biz ilk başta tek olduğunu kabul etmiştik ama sonucunda çift olduğunu bulduk yani yanlış bir şeyler var.
Biz 2x artı 2x artı 1 sonucunu tek olarak kabul etmiştik diyor o zaman x çift sayı olur diyor.
Aslında bu cümle burada birazcık da devrik.
Ben burada direkt olarak cevap bulunmasın diye bu şekilde yazdım.
Daha düzgün bir şekilde yazılır bu.
Burada arkadaşlar çelişki yöntemi kullanılmıştır.
Çelişki bu.
Çünkü ne yapıyor çelişki yönteminde?
İlk önce p normal kabul edilir ve q'nun değili kabul ederek bu buradaki ifade gösterilir ve en sonunda bulduğumuz şey yanlış olduğunda biz tekrardan o hükmün demek ki tersinin doğru olduğunu söylemiş oluruz.
Biz yani X'in tek olduğunu kabul ederek çözdükten sonra buradaki kısımda yanlışlık buluyorsak o zaman demek ki x'in tek olmayacağını söyleriz ki x burada en sonda çift bulunarak buradaki teorem ispatlanmış olsun.
Şimdi ilk örneğimizde bir teorem verilmiş bize.
Diyor ki: "x elemandır eksi 1 ile 0 aralığında ise x, x küpten küçüktür." diyor.
"Yukarıda verilen teoremle ilgili olarak verilen buradaki öncülerden hangileri doğrudur?
" demiş.
Şimdi x elemandır eksi 1 ile 0 aralığında ise yani demek ki negatif kesirli sayılardan bahsediyoruz burada.
Negatif kesirli sayıları aldığımız zaten bu doğru gelecektir.
Neden?
Çünkü eksi 1 bölü 2 seçtiğimiz düşünelim.
Ne olur?
Küpünü aldığınızda eksi 1 bölü 8 gelir.
Aslında normalde sol taraf daha büyük gibidir ama normalde negatiflerde olduğu için bu tam tersi olacaktır yani aslında doğru bir teorem bu.
Ne diyor?
Birinci: "Hipotezi x elemandır eksi 1 virgül 0" diyor Biz hipotezte ne diyorduk?
ise yi bulduktan önceki kısım diyorduk.
x elemandır eksi 1 virgül 0 var.
O zaman demek ki bu bunun hipotezdir yani doğru demiş.
Hükmü x, x küptür demiş.
"x küçüktür x küptür." demiş.
ise nin sağ tarafındaki kısım da bizim için hüküm oluyordu.
x küçüktür x küptür var burada.
O zaman demek ki bu da aynı şeyi söylediği için biz bunu doğru olarak kabul edebiliriz.
Aksine örnek verme yöntemiyle yanlışlığı gösterilebilir Hayır arkadaşlar gösterilemez çünkü burada x'e eğer eksi 1 ile 0 aralığında kesirli sayılardan oluşan yani rasyonel sayılardan oluşan sayılar seçtiğimizde hepsi için bu sağlar.
Hepsi için bu sağladığı için burada aksine örnek verme yöntemi ile bunun yanlışlığı gösterilemez çünkü doğru bir teoremdir bu.
O zaman demek ki buna yanlış deriz.
"Hangileri doğrudur?
" demiş.
Ne diyeceğiz?
Şimdi ikinci örneğimiz.
Burada ne diyor?
"Yukarıda boş bırakılan yerlere hangi kavramlar gelmelidir?
" diyor.
"Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere ....
denir." demiş.
"Doğruluğunu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul eden önermelere de ....
denir." demiş.
Şimdi hatırlayacak olursak doğruluğu ispatlanması gereken önermelere biz teorem diyorduk çünkü teoremleri ortaya attıktan sonra bir de onları ispatlıyorduk.
Nasıl ispatıyorduk?
p ise q şeklinde ispatlar yapmaya çalışıyorduk ve hatta onun da farklı farklı ispat yöntemleri vardı.
İkincisi doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere de biz ne diyeceğiz arkadaşlar?
Aksiyom diyeceğiz.
Bunları herhangi bir şekilde biz ispat etmiyoruz, ilk olduğu şekilde kabul ediyoruz ve o şekildeki kabullerden devam ederek matematiği de zaten oluşturmuş oluyoruz.
Evet sonuncu örneğimiz.
Ne demiş burada?
"Yukarıda verilen ispat yöntemi nedir?
" demiş.
Burada uzunca bir ispat var, teoreme bakalım.
"x elemandır tam sayılar ve x kare artı ne olacak x'i çift seçtiğimizde biz yani ya da bunun sonucunun tek olduğunu söylediğimizde x çift çıkacakmış.
Tamam bakalım şimdi.
Aslında buranın ne olduğuyla çok da ilgilenmemize gerek yok.
İspatı inceleyelim biz.
x elemandır tam sayılar için x kare artı 2x artı 1'in tek ve x'in tek olduğunu söylemiş yani şimdi normalde burada ne var?
p ise q var değil mi?
p ise q var ama bu adam napmış?
Buradaki p'yi normal almış, ve koymuş, x'in de tek olduğunu kabul etmiş yani biz ilk başta çift demiştik.
E o zaman q'ya biz x'in çift olduğunu söylüyorsak o zaman demek ki x'in tek olması da q'nun değilidir yani aslında adamın yapmaya çalıştığı şey p ve q'nun değilini ispatlamak.
Bakalım, devamında o zaman x eşittir 2k artı 1 olacak şekilde k tam sayısı vardır demiş.
Buradaki işlemi bitirmiş.
Şimdi en son inceledikten sonra ne yapmış burada?
Şimdi iki parantezine alması demek bu işlemin sonucunun artık çift olduğunu söylemesi demek.
O da öyle devam ediyor zaten.
2 parantezinde buradaki ifade çift olur.
Bu yüzden de x kare artı 2x artı 1 çift olur demiş.
Biz ilk başta tek olduğunu kabul etmiştik ama sonucunda çift olduğunu bulduk yani yanlış bir şeyler var.
Biz 2x artı 2x artı 1 sonucunu tek olarak kabul etmiştik diyor o zaman x çift sayı olur diyor.
Aslında bu cümle burada birazcık da devrik.
Ben burada direkt olarak cevap bulunmasın diye bu şekilde yazdım.
Daha düzgün bir şekilde yazılır bu.
Burada arkadaşlar çelişki yöntemi kullanılmıştır.
Çelişki bu.
Çünkü ne yapıyor çelişki yönteminde?
İlk önce p normal kabul edilir ve q'nun değili kabul ederek bu buradaki ifade gösterilir ve en sonunda bulduğumuz şey yanlış olduğunda biz tekrardan o hükmün demek ki tersinin doğru olduğunu söylemiş oluruz.
Biz yani X'in tek olduğunu kabul ederek çözdükten sonra buradaki kısımda yanlışlık buluyorsak o zaman demek ki x'in tek olmayacağını söyleriz ki x burada en sonda çift bulunarak buradaki teorem ispatlanmış olsun.
