İspat Yöntemleri

Merhabalar arkadaşlar şimdi bu videomuzda ispat yöntemlerini inceleyeceğiz.
İlk ispat yöntemimiz doğrudan ispat yöntemi.
İlk önce ona bakalım.
p ise q teoreminde p'nin doğru olduğu kabul edilerek q'nun da doğru olduğu adım adım gösteriliyorsa buna biz doğrudan ispat yöntemi diyoruz.
Ne yapacağız?
İlk baştaki p'nin doğru olduğunu kabul edeceğiz ve daha sonra çözeceğiz.
q'nun da doğru olduğunu bulabiliyorsak adım adım o zaman biz bunu doğrudan ispat yöntemi diyoruz.
Mesela burada ne var?
Çift bir doğal sayının karesi çifttir diyor, onu burada direkt olarak yazdık.
O zaman ne yapacağız biz doğrudan ispat yöntemi yaparken?
Çift bir doğal sayı seçeceğiz.
Eğer karesini aldığımızda yine çift bir doğal sayı elde ediyorsak Biz burada doğrudan ispat yapmış olacağız.
Tabii çift bir doğal sayı seçerken özel bir örnek değil genel bir halde çözmüş olacağız bunu.
Genel bir halden kastımız değişken seçerek yani a çift bir doğal sayı olsun diyerek çözeceğiz bunu.
a çift bir doğal sayıysa o zaman a eşittir 2k olacak şekilde k elemanıdır bir doğal sayı vardır.
Buradaki 2k'dan kastımız iki ile çarpıldığı için buradaki k sayısı, kesinlikle çifti ifade edecektir.
O yüzden bu şekilde gösterilir.
E o zaman her iki tarafın karesini alalım.
a kare 2k'nın karesinden 4 k kare yapar ki buradaki dört çift olduğundan dolayı 4 k kareyi de komple çift yapmış olur bu.
O zaman ne yapmış olduk biz?
4 k karede çift bulduğumuz için a' nın karesinin de çift olduğunu söylemiş olduk.
Ne yaptık?
İlk başta çift doğal sayı seçtik, sonucunda da biz çift bir doğal sayı bulduğumuz için doğrudan ispat yöntemiyle bu işi bitirmiş olduk.
Şimdi, ikinci yöntemimiz olmayana ergi yöntemi ile ispat.
Bir teoremin karşıt tersinin ispatlanması yöntemine olmayana ergi yöntemi denir arkadaşlar.
Buradaki mevzumuz karşıt tersiyle alakalı olacak.
Neden karşıt tersi ile uğraşıyoruz çünkü biz şunu olduğunu biliyoruz: p ise q'nun denginin karşıt tersini aldığımızda q'nun değili ise p'nin değili olduğunu biliyoruz ve bunlar denk olduğu için o zaman demek ki sağ tarafı da biz ispatlarsak sonuçta sol tarafa da denk olmuş olacak.
İşte biz burada sağ tarafı ispatlayarak sonucu bulmuş olacağız.
Mesela bununla alakalı bir örnek verelim.
x eşittir 5 ise 7x eksi 14 eşittir 21 demiş ortaya atılmış bir burada önerme var.
O zaman demek ki biz ne olduğunu biliyoruz?
Şu kısmın p olduğunu biliyoruz şu kısmın da q olduğunu biliyoruz.
O zaman demek ki p ise q'nun denginin gecenin q'nun değili ise p'nin değili olduğunu bildiğimiz için o zaman demek ki bu kısmı ispatlayacağız biz.
Ne yapacağız?
Demek ki ilk önce yerlerini değiştireceğiz yani 7x eksi 14 eşittir 21'i buraya alacağız ama değilini almamız gerektiği için de eşit değildir alacağız, ise diyeceğiz, x eşittir 5 de sağda ama değilini almamız gerektiği için de x eşit değildir 5 diyeceğiz.
O zaman demek ki şurayı çözeceğiz ve burayı çözdükten sonra en son ne elde etmiş oluruz?
x'in 5'e eşit olmadığını elde etmiş oluruz.
E demek ki o zaman ilk başta buradaki söylediğim şeyi elde ettiğimiz için biz bunu olmayana ergi yöntemiyle ispatlamış oluruz.
Ne yaptık?
Yerlerini değiştirip bir de değillerini alarak buradaki kısmı çözmüş olduk.
Şimdi üçüncüsü aksine örnek yöntemi.
Bu da çok fazla kullanılır arkadaşlar, önermenin doğru olmadığını gösteren en az bir değer bularak önermenin yanlış olduğunu ispatlamaya aksine örnek yöntemi denir yani ortaya atılmış bir şey vardır ve bu ortaya atılmış bir şeyi biz aksine bir örnek vererek eğer bitirebiliyorsak o zaman demek ki biz bunun ispatını yapmış oluruz.
Nasıl?
"k elemandır doğal sayılar olmak üzere 2k çift sayı ise k da bir çift sayıdır." diyor yani bir tane sayı var onun iki katı alınarak çift sayı elde edilmişse o sayı kesinlikle çifttir diyor.
Acaba öyle mi?
Ters bir örnek verelim.
Mesela ne yapalım, k'yı 3 seçelim.
k'yı 3 seçtiğimiz için k'yı 2 ile çarptığımızda yani 2 k'ya baktığımızda bunun sonucu 6 olup çift olduğunu buluyoruz.
E biz sonucunu altı bulduk ama nasıl başladık soruya?
k eşittir 3 olarak yani tek olarak başladık.
İlla çift olarak mı başladık?
Hayır, tek olarak başladık O zaman demek ki biz bunu ne yapmış olduk?
Tersine bir örnek vererek biz buradaki ispatı yapmış olduk yani aslında bunun yanlışlığını göstermiş olduk.
O zaman demek ki 3 bir çift sayı olmadığından dolayı biz buradaki mevzunun da yanlış olduğunu tersini örnek vererek bitirmiş olduk.
Sonuncusu da çelişki yöntemi, bu da matematikte çok fazla kullanılan bir ispat yöntemidir.
Bir teoremde hükmün olumsuzun dan hareketle çelişki elde etme yöntemine çelişki yöntemi diyeceğiz biz burada.
Biz ne yapacağız?
Hükmün olumsuzundan yola çıkacağız yani hükmün olumsuzundan kastımız nedir?
Sağ taraftaki buradaki kısmın olumsuzundan yola çıkacağız ve biz buradaki kısmı bitirmiş olacağız.
"Tek tam sayının karesi çifttir." diyor o zaman demek ki bunu çözmeye çalışırken ne yapıyoruz k ve t elemandır pozitif tam sayılar için 2k artı 1 tek ve 2t de çift sayı olsun.
Eğer biz 2k artı 1'in tekin karesini aldığımızda çift bir sayı elde ediyorsak sıkıntı yok ama elde edemiyorsak demek ki bir sıkıntı var demektir ve bu söylediğinin yanlış olduğunu söyleriz biz.
İlki k artı 1'in karesini aldık 4 k kare artı 4 k artı 1 geldi.
Biz 4k kare artı 4k'nın çift olduğunu biliyoruz çünkü gelecektir ama ona biz artı 1 eklediğimiz anda artık sol taraf komple tek sayıya döner.
Tek bir sayı çift bir sayıya eşit mi?
Hayır değil.
O zaman demek ki biz bu eşitliği bozduğumuz için yani yanlışını bulduğumuz için bir çelişki elde etmiş olduk o yüzden buradaki teoremin de yanlışını da söylemiş olduk biz burada.